Loading article…
統計分析において、3の法則とは、 n人の被験者からなるサンプルで特定の事象が発生しなかった場合、0から3/ nまでの区間が母集団における発生率の95%信頼区間となるという法則です。nが30より大きい場合、これはより感度の高い試験の結果の良い近似値となります。例えば、鎮痛薬を1500人の被験者で試験し、有害事象が記録されなかったとします。3の法則から、500人に1人未満（または3/1500）が有害事象を経験すると95%の信頼度で結論付けることができます。対称性により、成功のみの場合、95%信頼区間は[1 − 3/ n ,1]となります。
このルールは、臨床試験全般の解釈に役立ちますが、特に期間や統計的検出力に制限があることが多い第II相 および第III相試験では有用です。3の法則は、医学研究にとどまらず、n回実施されるあらゆる試験に適用されます。300個のパラシュートを無作為にテストしてすべてが正常に開いた場合、同じ特性を持つパラシュートのうち100個に1個未満（3/300）が失敗すると95%の信頼度で結論付けられます。[ 1 ]
集団内の任意のランダムに選択された1人の個人について、n回のベルヌーイ試行で発生が観測されていないという条件の下で、イベントが発生する確率pに対する95%信頼区間を求めます。イベントの数をXとすると、 Pr( X = 0) ≤ 0.05となる二項分布のパラメータpの値を求めたいことになります。このルールは、二項分布のポアソン近似から、または二項分布におけるゼロイベントの確率の式(1 − p ) nから導出できます[ 2 ]。後者の場合、信頼区間の境界はPr( X = 0) = 0.05で与えられ、したがって(1 − p ) n = 0.05となり、n ln (1 – p ) = ln .05 ≈ −2.996となります。後者を −3 に丸め、pが0 に近い場合の近似値 ln(1 − p ) ≈ − p (テイラーの公式) を使用すると、区間の境界 3/ nが得られます。
同様の議論により、3.51、4.61、5.3の分子値はそれぞれ97%、99%、99.5%の信頼区間に使用でき、一般に信頼区間の上限は次のように表すことができます。、 どこは、希望する信頼水準です。
ヴィソチャンスキー・ペトゥニン不等式は、二項分布だけでなく、有限分散を持つ単峰性分布に対しても3の法則が成り立つことを示し、異なる信頼度が必要な場合に係数3を変更する方法を提供します。チェビシェフの不等式は、より高い乗数（95%信頼度の場合約4.5）を代償として、単峰性の仮定を取り除きます。カンテリの不等式は、チェビシェフの不等式の片側版です。
1世紀半前、チャールズ・ダーウィンは「実際の測定と3の法則以外には何も信じない」と述べた。ここで彼が意味していたのは、19世紀の紳士が「6対3は9対xに等しい」という式でxを求める、算術的能力の極致だったと思われる。それから数十年後の1900年代初頭、カール・ピアソンは3の法則の意味を「3σ（3標準偏差）を確実に有意とみなす」と解釈し、自身の新しい有意性検定誌『バイオメトリカ』でその定義を主張した。晩年のダーウィンでさえ、この混乱に陥っていたようだ。（ジリアックとマクロスキー、2008年、26ページ、括弧内の注釈は原文）
