ペア分布関数

対分布関数は、与えられた体積内に含まれる粒子のペア間の距離の分布を表します。^{[ 1 ]}数学的には、aとbが2つの粒子である場合、 aに対するbの対分布関数は次のように表されます。${\displaystyle g_{ab}({\vec {r}})}$粒子bが距離にあるときに見つかる確率は${\displaystyle {\vec {r}}}$から、座標の原点として。

対分布関数は、媒体内における物体の分布を記述するために使用されます（例えば、木箱の中のオレンジやガスボンベの中の窒素分子など）。媒体が均質である場合（つまり、すべての空間位置が同一の特性を持つ場合）、どの位置にも物体が存在する確率密度は等しくなります。${\displaystyle {\vec {r}}}$:

${\displaystyle p({\vec {r}})=1/V}$、

どこ${\displaystyle V}$は容器の体積です。一方、特定の位置で物体のペアが見つかる確率（つまり、2体確率密度）は一様ではありません。たとえば、硬いボールのペアは、少なくともボールの直径分だけ離れていなければなりません。ペア分布関数${\displaystyle g({\vec {r}},{\vec {r}}')}$これは、二体確率密度関数を物体の総数でスケーリングすることによって得られる。${\displaystyle N}$そして容器のサイズ：

${\displaystyle g({\vec {r}},{\vec {r}}')=p({\vec {r}},{\vec {r}}')V^{2}{\frac {N-1}{N}}}$。

コンテナ内のオブジェクトの数が多い一般的なケースでは、これは次のように簡略化されます。

${\displaystyle g({\vec {r}},{\vec {r}}')\approx p({\vec {r}},{\vec {r}}')V^{2}}$。

最も単純なペア分布関数は、すべてのオブジェクトの位置が互いに独立していると仮定し、次のようになります。

${\displaystyle g({\vec {r}})=1}$、

どこ${\displaystyle {\vec {r}}}$これは、一対の物体間の距離を表します。しかし、前述のように、硬い物体の場合、これは不正確です。なぜなら、物体間に必要とされる最小距離を考慮していないからです。穴補正（HC）近似は、より優れたモデルを提供します。

${\displaystyle g(r)={\begin{cases}0,&r<b,\\1,&r\geq {}b\end{cases}},}$

どこ${\displaystyle b}$これは、物体の一つの直径です。

HC近似は疎に詰められた物体については妥当な記述を与えるが、密に詰められた物体については破綻する。これは、同一の硬球で完全に満たされた箱を考えれば説明できる。各球は隣接する球に接触している。この場合、箱の中のすべての球のペアは正確に の距離で隔てられている。${\displaystyle r=nb}$どこ${\displaystyle n}$は正の整数である。したがって、硬球で完全に満たされた体積の対分布は、次の形式のディラックのデルタ関数の集合となる。

${\displaystyle g(r)=\sum \limits _{i}\delta (r-ib)}$。

最後に、大きな距離で隔てられた一対の物体は、互いの位置に影響を与えないことに注意すべきである（容器が完全に満たされていない場合）。したがって、

${\displaystyle \lim \limits _{r\to \infty }g(r)=1}$。

In general, a pair distribution function will take a form somewhere between the sparsely packed (HC approximation) and the densely packed (delta function) models, depending on the packing density ${\displaystyle f}$.

Of special practical importance is the radial distribution function, which is independent of orientation. It is a major descriptor for the atomic structure of amorphous materials (glasses, polymers) and liquids. The radial distribution function can be calculated directly from physical measurements like light scattering or x-ray powder diffraction by performing a Fourier Transform.

In Statistical Mechanics the RDF is given by the expression

${\displaystyle g_{ab}(r)={\frac {1}{N_{a}N_{b}}}\sum \limits _{i=1}^{N_{a}}\sum \limits _{j=1}^{N_{b}}\langle \delta (\vert \mathbf {r} _{ij}\vert -r)\rangle }$

• classical-map hypernetted-chain method

Fischer-Colbrie, Bienenstock, Fuoss, Marcus. Phys. Rev. B (1988) 38, 12388

Jensen, K. M., Billinge, S. J. (2015). IUCrJ, 2(5), 481–489.