バーンサイド問題

バーンサイド問題とは、すべての元が有限の順序を持​​つ有限生成群は必然的に有限群であるかどうかを問う問題である。この問題は1902年にウィリアム・バーンサイドによって提起され、群論における最も古い問題の1つとなり、組合せ群論の発展に影響を与えた。エフゲニー・ゴロドとイゴール・シャファレヴィッチが1964年に反例を示したことから、一般には否定的な答えがあることが知られている。この問題には、群の元の順序に課される追加条件が異なる多くの改良版や変種がある（下記の有界および制限を参照）。これらの変種のいくつかは、まだ未解決の問題である。

初期の研究は肯定的な答えを示唆していた。例えば、群Gが有限生成で、Gの各要素の位数が 4 の約数である場合、G は有限である。さらに、AI Kostrikin は1958 年に、与えられた生成元数と与えられた素数指数を持つ有限群の中に最大の群が存在することを証明した。これは、素数指数の場合の制限付きバーンサイド問題の解を提供している。(その後、1989 年に、Efim Zelmanov は任意の指数に対する制限付きバーンサイド問題を解くことができた。) Issai Schur は1911 年に、可逆なn × n複素行列の群の部分群である有限生成周期群は有限であることを示しており、この定理を使用してJordan–Schur 定理を証明した。^[1]

それにもかかわらず、バーンサイド問題に対する一般的な答えは否定的であることが判明しました。1964年、ゴロドとシャファレヴィッチは、すべての要素が一様に有界な順序を持つと仮定せずに、バーンサイド型の無限群を構築しました。1968年、ピョートル・ノビコフとセルゲイ・アディアンは、 4381より大きいすべての奇数指数に対する有界指数問題に対する否定的な解を提供し、これは後にアディアンによって665より大きい奇数指数に改良されました^[2]。1982年、A. Yu. Ol'shanskiiは、十分に大きな奇数指数（10 ¹⁰より大きい）に対するいくつかの印象的な反例を見つけ、幾何学的なアイデアに基づいてかなり単純な証明を提供しました。

偶数指数の場合は解決がはるかに困難であることが判明しました。1992 年に、SV イワノフは、2 の大きな累乗で割り切れる十分に大きな偶数指数の負の解を発表しました (詳細な証明は 1994 年に公開され、約 300 ページを占めました)。その後、オルシャンスキーとイワノフの共同研究により、指数が十分に大きいことを条件として、双曲群のバーンサイド問題と同様の問題に対する負の解が確立されました。対照的に、指数が小さく、2、3、4、6 と異なる場合、ほとんど何もわかっていません。

グループG は、すべての要素が有限の順序を持​​つ場合、周期的（またはねじれ）と呼ばれます。言い換えると、 Gの各gに対して、 g ⁿ = 1となる正の整数n が存在します。明らかに、すべての有限グループは周期的です。無限周期グループであるp ^∞グループなどの簡単に定義できるグループが存在しますが、後者のグループは有限生成できません。

一般的なバーンサイド問題。Gが有限生成の周期群である場合、 G は必ず有限になりますか?

この疑問は1964年にエフゲニー・ゴロドとイゴール・シャファレヴィッチによって否定的に答えられ、彼らは有限生成された無限p群の例を示しました（ゴロド・シャファレヴィッチの定理を参照）。しかし、この群の元の順序は単一の定数によって 事前に制限されるわけではありません。

一般的なバーンサイド問題の難しさの 1 つは、有限生成かつ周期的であるという要件だけでは、群の可能な構造に関する情報がほとんど得られないことです。したがって、Gにさらに要件を課します。 G内のすべてのgに対してg ⁿ = 1となる最小の整数n が存在するという追加のプロパティを持つ周期群Gを考えます。このプロパティを持つグループは、有界指数nを持つ周期的、または単に指数nを持つグループと呼ばれます。有界指数を持つグループのバーンサイド問題は、次のことを尋ねます。

バーンサイド問題 I. G が指数nを持つ有限生成群である場合、G は必ず有限であるか?

この問題は、特定の族における群の有限性に関する問題として言い換えることができることが分かります。階数m、指数nの自由バーンサイド群(B( m , n )と表記) は、 m 個の異なる生成元x ₁、...、x _{m を}持ち、すべての元xに対して恒等式x ⁿ = 1 が成り立つ群であり、これらの要件を満たす「最大の」群です。より正確には、B( m , n )の特性は、指数nのm個の生成元g ₁、...、g _mを持つ任意の群Gが与えられた場合、B( m , n )のi番目の生成元x _iをGの i番目の生成元g iにマッピングする、B( m , n )から_Gへの一意の準同型が存在することです。群表現の言語では、自由バーンサイド群 B( m , n ) にはm 個の生成元x ₁ , ..., x _mと、 x ₁ , ..., x _m内の各単語xに対して関係x ⁿ = 1があり、指数nのm 個の生成元を持つ任意の群Gは、追加の関係を課すことによってそこから得られます。自由バーンサイド群の存在と同型性までのその一意性は、群論の標準的な手法によって確立されています。したがって、Gが指数nの任意の有限生成群である場合、G はB( m , n ) の準同型像であり、mはGの生成元の数です。有界指数を持つ群のバーンサイド問題は、次のように言い換えることができます。

バーンサイド問題 II.どの正の整数m、nに対して自由バーンサイド群 B( m、n ) は有限であるか?

この形式のバーンサイド問題の完全な解は知られていない。バーンサイドは彼の最初の論文でいくつかの簡単なケースを検討した。

• B(1, n )は位数nの巡回群である。
• B( m ,2)は位数2の巡回群のm個の直積であり、したがって有限である。 ^[注1]

以下の追加の結果が知られています (Burnside、Sanov、M. Hall )。

• B( m ,3)、B( m ,4)、B( m ,6)はすべてのmに対して有限である。

B(2, 5)の特殊なケースは未解決のままである。

バーンサイド問題の解決における画期的な進歩は、 1968 年にピョートル・ノビコフとセルゲイ・アディアンによって達成されました。彼らは複雑な組み合わせ論的議論を使用して、n > 4381であるすべての奇数nに対して、指数nの有限生成群が無限に存在することを証明しました。アディアンは後に、奇数指数の境界を 665 に改善しました。^{[3] 2015 年に、アディアンは奇数}nに対して 101 という下限を得たと主張しましたが、この下限の完全な証明は完了せず、公開されることもありませんでした。偶数指数の場合はかなり困難であることが判明しました。セルゲイ・ヴァシリエヴィチ・イワノフがノビコフ–アディアンの定理と同様のもの^を証明できたのは¹⁹⁹⁴年になってからでした。Novikov–Adian 定理と合わせて、これはすべてのm > 1 およびn ≥ 2 ^{48に対して無限性を意味します。これは 1996 年に IG Lysënok によって}m > 1 およびn ≥ 8000に改良されました。Novikov–Adian、Ivanov、および Lysënok は、自由バーンサイド群の構造についてかなり正確な結果を確立しました。奇数指数の場合、自由バーンサイド群のすべての有限部分群は巡回群であることが示されました。偶数指数の場合、各有限部分群は 2 つの二面体群の積に含まれ、非巡回有限部分群が存在します。さらに、語問題と共役問題は、奇数指数 n と偶数指数nの両方のケースでB( m , n )で効果的に解けることが示されました。

バーンサイド問題に対する反例の有名なクラスは、すべての非自明な固有部分群が有限巡回群である有限生成非巡回無限群、いわゆるタルスキモンスターによって形成されます。このような群の最初の例は、1979年にA. Yu. Ol'shanskiiによって幾何学的手法を使用して構築され、O. Yu. Schmidtの問題を肯定的に解決しました。1982年にOl'shanskiiは、十分に大きな素数 p （ p > 10 ⁷⁵をとることができます）に対して、すべての非自明な固有部分群が位数pの巡回群である有限生成無限群の存在を確立するという結果を強化しました。1996年に発表された論文で、イワノフとOl'shanskiiは、十分に大きな指数に対する任意の双曲群におけるバーンサイド問題と同様の問題を解きました。

1930 年代に策定されたこの理論は、関連する別の疑問を提起しています。

制限付きバーンサイド問題。m個の生成元と指数n を持つ群G が有限であることがわかっている場合、 Gの位数はmとnのみに依存する定数によって制限されると結論付けることができますか? 同様に、同型を除いて、指数nのm 個の生成元を持つ有限群は有限個しかありませんか?

バーンサイド問題のこの変形は、圏論の観点から述べることもできる。^{すなわち、すべての}mに対する肯定的な答えは、指数nの有限群の圏がすべての有限極限と有限余極限を持つと言うことに等しい。 [4] これは、 m 個の生成元と指数nを 持つ特定の普遍群の観点から、より明示的に述べることもできる。群論の基本的な結果により、任意の群における有限指数の2 つの正規部分群の共通部分は、それ自体が有限指数の正規部分群である。したがって、自由バーンサイド群 B( m , n ) の有限指数を持つすべての正規部分群の共通部分 M は、 B( m , n ) の正規部分群である。したがって、自由制限バーンサイド群 B ₀ ( m , n ) を商群B( m , n )/ Mとして定義できる。指数nのm個の生成元を持つすべての有限群は、 B( m , n )/ Nと同型です。ここで、 N は有限の指数を持つ B( m , n )の正規部分群です。したがって、第 3 同型定理により、指数n のm個の生成元を持つすべての有限群は、 B ₀ ( m , n )/( N / M ) と同型です。言い換えると、これは B ₀ ( m , n ) の準同型像です。制限されたバーンサイド問題は、 B ₀ ( m , n ) が有限群であるかどうかを尋ねます。圏論では、 B ₀ ( m , n ) は、指数nの有限群の圏における位数mのn 個の巡回群の余積です。

素指数pの場合、この問題は、一般的なバーンサイド問題の否定的解決に先立って、1950年代にAI Kostrikinによって広範に研究されました。彼の解決法は、有限特性のリー代数の恒等式に関する深い疑問を伴う関係式を使用して、 B ₀ ( m、p )の有限性を確立しました。任意の指数の場合は、エフィム・ゼルマノフによって完全に肯定的に解決され、彼はその研究により1994年に フィールズ賞を受賞しました。

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• MacTutor の数学史アーカイブにおけるバーンサイド問題の歴史