ファレル・ジョーンズ予想

数学において、ファレル・ジョーンズ予想^[1]は、F・トーマス・ファレルとローウェル・E・ジョーンズにちなんで名付けられ、特定のアセンブリマップが同型であるという予想である。これらのマップは、特定の準同型として与えられる。

動機は、集合写像のターゲットへの興味である。これは、例えば、群環の代数的K理論である可能性がある。

${\displaystyle K_{n}(RG)}$

または群環の L理論

${\displaystyle L_{n}(RG)}$、

ここで、Gは何らかのグループです。

アセンブリ マップのソースは、Gの仮想巡回部分群の族に関してGの分類空間上で評価された同変ホモロジー理論です。したがって、ファレル–ジョーンズ予想が正しいと仮定すると、計算を仮想巡回部分群に制限して、またはなどの複雑なオブジェクトに関する情報を取得することができます。 ${\displaystyle K_{n}(RG)}$${\displaystyle L_{n}(RG)}$

バウム・コヌ予想は、被約群-代数の位相的 K 理論に対して同様の主張を展開する。 ${\displaystyle C^{*}}$${\displaystyle K_{n}^{top}(C_{*}^{r}(G))}$

任意 の環同変ホモロジー理論は、${\displaystyle R}$ ${\displaystyle KR_{*}^{?},LR_{*}^{?}}$

${\displaystyle KR_{n}^{G}(\{\cdot \})​​\cong K_{n}(R[G])}$それぞれ${\displaystyle LR_{n}^{G}(\{\cdot \})​​\cong L_{n}(R[G]).}$

ここで は群環 を表します。 ${\displaystyle R[G]}$

群Gに対するK理論的ファレル・ジョーンズ予想は、写像がホモロジー上の同型写像を誘導すること を述べている。${\displaystyle p:E_{VCYC}(G)\rightarrow \{\cdot \}}$

${\displaystyle KR_{*}^{G}(p):KR_{*}^{G}(E_{VCYC}(G))\rightarrow KR_{*}^{G}(\{\cdot \})​​\cong K_{*}(R[G]).}$

ここで、群Gの、事実上巡回的な部分群の族に関する分類空間を表します。つまり、等方性群が事実上巡回的なG -CW 複合体であり、 Gの任意の事実上巡回的な部分群に対して、不動点集合は収縮可能です。 ${\displaystyle E_{VCYC}(G)}$

L 理論的ファレル・ジョーンズ予想も同様です。

群環の代数 K 群と L 群の計算は、それらの群に存在する障害によって動機付けられます (たとえば、ウォールの有限性障害、手術障害、ホワイトヘッド捩れを参照)。そこで、群が代数 K 理論のファレル-ジョーンズ予想を満たすと仮定します。さらに、事実上巡回的な部分群の分類空間のモデルがすでに見つかったと仮定します。 ${\displaystyle R[G]}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \emptyset =X^{-1}\subset X^{0}\subset X^{1}\subset \ldots \subset X}$

-pushouts を選択し、Mayer-Vietoris シーケンスを適用します。 ${\displaystyle G}$

${\displaystyle KR_{n}^{G}(\coprod _{j\in I_{i}}G/H_{j}\times S^{i-1})\rightarrow KR_{n}^{G}(\coprod _{j\in I_{i}}G/H_{j}\times D^{i})\oplus KR_{n}^{G}(X^{i-1})\rightarrow KR_{n}^{G}(X^{i})}$${\displaystyle \rightarrow KR_{n-1}^{G}(\coprod _{j\in I_{i}}G/H_{j}\times S^{i-1})\rightarrow KR_{n-1}^{G}(\coprod _{j\in I_{i}}G/H_{j}\times D^{i})\oplus KR_{n-1}^{G}(X^{i-1})}$

このシーケンスは次のように簡略化されます。

${\displaystyle \bigoplus _{j\in I_{i}}K_{n}(R[H_{j}])\oplus \bigoplus _{j\in I_{i}}K_{n-1}(RH_{j})\rightarrow \bigoplus _{j\in I_{i}}K_{n}(RH_{j})\oplus KR_{n}^{G}(X^{i-1})\rightarrow KR_{n}^{G}(X^{i})}$${\displaystyle \rightarrow \bigoplus _{j\in I_{i}}K_{n-1}(RH_{j})\oplus \bigoplus _{j\in I_{i}}K_{n-2}(RH_{j})\rightarrow \bigoplus _{j\in I_{i}}K_{n-1}(RH_{j})\oplus KR_{n-1}^{G}(X^{i-1})}$

これは、任意のグループが特定の同型予想を満たす場合、仮想巡回グループの代数 K 理論 (L 理論) と の適切なモデルを知ることによってのみ、その代数 K 理論 (L 理論) を計算できることを意味します。 ${\displaystyle E_{VCYC}(G)}$

例えば有限部分群の族を考慮に入れることもできる。この族は扱いがずっと簡単である。無限巡回群を考えてみよう。のモデルは実数直線で与えられ、その上では平行移動が自由に作用する。同変K理論の特性を用いると、次の式が得られる。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle E_{FIN}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle K_{n}^{\mathbb {Z} }(\mathbb {R} )=K_{n}(S^{1})=K_{n}(pt)\oplus K_{n-1}(pt)=K_{n}(R)\oplus K_{n-1}(R).}$

バス・ヘラー・スワン分解は

${\displaystyle K_{n}^{\mathbb {Z} }(pt)=K_{n}(R[\mathbb {Z} ])\cong K_{n}(R)\oplus K_{n-1}(R)\oplus NK_{n}(R)\oplus NK_{n}(R).}$

実際、アセンブリ マップが正規の包含によって与えられているかどうかを確認します。

${\displaystyle K_{n}(R)\oplus K_{n-1}(R)\hookrightarrow K_{n}(R)\oplus K_{n-1}(R)\oplus NK_{n}(R)\oplus NK_{n}(R)}$

したがって、 が同型となるのは の場合のみであり、 が正則環である場合に当てはまります。したがって、この場合は有限部分群の族を実際に使用できます。一方で、これは代数的 K 理論と有限部分群の族に対する同型予想が真でないことを示しています。この予想を、すべての反例を含むより大きな部分群の族に拡張する必要があります。現在、ファレル-ジョーンズ予想の反例はわかっていません。反例がある場合は、その反例を含むより大きな族に部分群の族を拡大する必要があります。 ${\displaystyle NK_{n}(R)=0}$${\displaystyle R}$

ファイバー化されたファレル・ジョーンズ予想を満たす群のクラスには、以下の群が含まれる。

• 事実上循環的なグループ（定義）
• 双曲群（^[2]を参照）
• CAT(0)基（^[3]参照）
• 可解群（^[4]を参照）
• マッピングクラスグループ（^[5]を参照）

さらに、クラスには次の継承プロパティがあります。

• 群の有限積に対して閉じている。
• サブグループを受講中は閉鎖されます。

同変ホモロジー理論を固定します。射影によって誘導される写像がホモロジー上の同型を誘導する 場合に限り、群G は部分群の族に対する同型予想を満たすと言えます。${\displaystyle H_{*}^{?}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle E_{F}(G)\rightarrow \{\cdot \}}$

${\displaystyle H_{*}^{G}(E_{F}(G))\rightarrow H_{*}^{G}(\{\cdot \})​​}$

群Gが部分群族Fのファイバー同型予想を満たすことと、任意の群準同型に対して群Hが族の同型予想を満たすこと は同じである。${\displaystyle \alpha :H\rightarrow G}$

${\displaystyle \alpha ^{*}F:=\{H'\leq H|\alpha (H)\in F\}}$。

この状況では、ファミリー に対するファイバー同型予想も満たされていることがすぐにわかります。 ${\displaystyle H}$${\displaystyle \alpha^{*}F}$

推移性原理は、考慮する部分群の族を変更するためのツールです。の部分群の族が 2 つ与えられます。すべての群が族 に関して (ファイバー) 同型性予想を満たすと仮定します。すると、群 が族 に関してファイバー同型性予想を満たすのは、族 に関して (ファイバー) 同型性予想を満たす場合のみです。 ${\displaystyle F\subset F'}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H\in F'}$${\displaystyle F|_{H}:=\{H'\in F|H'\subset H\}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F'}$

任意の群準同型が与えられ、 G"' が部分群の族Fに対してファイバー同型予想を満たすと仮定します。すると、 H"' も族 に対してファイバー同型予想を満たします。たとえば、が有限核を持つ場合、族はHの事実上巡回部分群の族と一致します。 ${\displaystyle \alpha \colon H\rightarrow G}$${\displaystyle \alpha ^{*}F}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha ^{*}VCYC}$

適切な場合は、推移性原理を使用して、ファミリを再度縮小することができます。 ${\displaystyle \alpha }$

ファレル・ジョーンズ予想からノビコフ予想へのつながりもある。以下の写像のいずれかが成立する場合、

${\displaystyle H_{*}^{G}(E_{VCYC}(G),L_{R}^{\langle -\infty \rangle })\rightarrow H_{*}^{G}(\{\cdot \},L_{R}^{\langle -\infty \rangle })=L_{*}^{\langle -\infty \rangle }(RG)}$

${\displaystyle H_{*}^{G}(E_{FIN}(G),K^{top})\rightarrow H_{*}^{G}(\{\cdot \},K^{top})=K_{n}(C_{r}^{*}(G))}$

が有理的に単射であるならば、ノビコフ予想は に対して成り立つ。例えば、^{[6] [7]を参照。}${\displaystyle G}$

ボスト予想（ジャン＝ブノワ・ボストにちなんで名付けられた）は、アセンブリマップ

${\displaystyle H_{*}^{G}(E_{FIN}(G),K_{l^{1}}^{top})\rightarrow H_{*}^{G}(\{\cdot \},K_{l^{1}}^{top})=K_{*}(l^{1}(G))}$

は同型である。環準同型はK理論における写像を誘導する。この準同型で上側のアセンブリ写像を合成すると、バウム・コヌ予想で生じるアセンブリ写像とまったく同じになる。 ${\displaystyle l^{1}(G)\rightarrow C_{r}(G)}$${\displaystyle K_{*}(l^{1}(G))\rightarrow K_{*}(C_{r}(G))}$

${\displaystyle H_{*}^{G}(E_{FIN}(G),K_{l^{1}}^{top})=H_{*}^{G}(E_{FIN}(G),K^{top})\rightarrow H_{*}^{G}(\{\cdot \},K^{top})=K_{*}(C_{r}(G))}$

カプランスキー予想は、整域と捩れのない群に対して、における唯一のべき等元はであると予言する。そのようなべき等元のそれぞれは、との右乗法の像をとることによって射影加群を与える。したがって、カプランスキー予想と の消失の間には関連があるように思われる。カプランスキー予想とファレル・ウィリアムズ・ジョーンズ予想を関連付ける定理がある（^[8]と比較）。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle G}$${\displaystyle R[G]}$${\displaystyle 0,1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle R[G]}$${\displaystyle p}$${\displaystyle K_{0}(R[G])}$