（コンピュータ代数システム）削減

REDUCEは、もともと物理学分野への応用を目的として開発された汎用コンピュータ代数システムである。

REDUCE の開発は 1963 年にAnthony C. Hearnによって開始されました。それ以来、世界中の多くの科学者がその開発に貢献してきました。^{[ 2 ]} REDUCE は2008 年 12 月にオープンソース化され、 SourceForgeで修正 BSD ライセンスの下で無料で入手できます。以前は 695 ドルでした。

REDUCEはStandard Lispと呼ばれる独自のLisp方言で完全に記述されており^{[ 3 ]} 、RLISPと呼ばれるALGOLに似た構文で表現され、REDUCEのユーザーレベル言語の基盤としても使用されています。

REDUCEの実装は、基盤となるPortable Standard Lisp (PSL)またはCodemist Standard Lisp (CSL)の実装を使用することで、 Unix、Linux、Microsoft Windows、Apple Macintoshシステムのほとんどのバージョンで利用可能です。CSL REDUCEはグラフィカルユーザーインターフェースを提供します。REDUCEは、 Common Lispなどの他のLispでも構築できます。

• 任意精度整数、有理数、複素数、浮動小数点演算
• 1つ以上の変数を含む式と関数
• 多項式、有理関数、超越関数のアルゴリズム
• 様々な代数方程式を解くための設備
• 式の自動的かつユーザー制御による簡略化
• 置換とパターンマッチングの多様な形態
• 記号的分化、不定積分と定積分
• 常微分方程式の解
• 多種多様な特殊関数を用いた計算
• 一般行列と非可換代数
• 2次元および3次元でのプロット
  • 関数のグラフ
  • 任意の点、線、曲線
• 高エネルギー物理学で興味深いディラック行列の計算
• 解釈型一階述語論理における量化子除去と判定
• 強力で直感的なユーザーレベルのプログラミング言語。

REDUCE言語は、ALGOL 60をベースとした高水準構造化プログラミング言語ですが（ただし、標準Lispのセマンティクスを採用しています）、ALGOL 60のすべての構文をサポートしているわけではありません。ALGOL 60から発展したPascalや、同じくPascalから発展したModulaと類似しています。

REDUCE は自由形式の言語です。つまり、スペースや改行は意味を持ちませんが、入力ステートメントは互いに区切る必要があり、すべての入力はセミコロン ( ;) またはドル記号 ( $) で終了する必要があります。違いは、入力が有用な (非nil) 値になる場合、区切り文字がセミコロン ( ;) の場合は出力されますが、ドル記号 ( ) の場合は非表示になるということです$。代入演算子はコロン等号 ( :=) で、最も単純な使用法では、左側の変数に右側の式の値を代入します。ただし、REDUCE 変数は値を持たない場合があり、その場合は名前で表示されます。これは、不定元を含む数式を構築および操作できるようにするためです。REDUCE を使用する最も簡単な方法は対話的に行うことです。最後の入力プロンプトの後に入力を入力し、セミコロンで終了してReturnキーまたはEnterキーを押します。REDUCE は入力を処理し、結果を表示します。これはスクリーンショットに示されています。

"こんにちは世界！" ;

！こんにちは世界！！;​​​​

n < 0 の場合、n := - n

recip_x := if x = 0 then infinity else 1 / x

n := 5 ; fac := 1 $ for r := 2 : n do fac := fac * r ;ファック;

n := 5 ; for r := 2 : n積r ;

n := 5 ; fac := n $ while n > 1 do fac := fac * ( n := n - 1 );ファック;

コメント これは複数行のコメントです 次の区切り線で終了し、 そのため、区切り文字を含めることはできません。

% これは行末で終了する1行のコメントです。 % コードの後の行に表示されることがあります。 % には区切り文字 ";" と "$" を含めることができます。

/* これは複数行のコメントです 空間がどこにでも現れ、 区切り文字「;」と「$」を含めることができます。 */

REDUCEのユーザーレベル言語は、以下の代数プログラミングの例に示すように、いくつかのプログラミングパラダイムをサポートしています。

REDUCEは関数型プログラミング言語であるLispをベースとしているため、関数型プログラミングをサポートし、すべてのステートメントに値があります（ただし、常に有用とは限りません）。また、ステートメントの値を無視することで手続き型プログラミングもサポートしています。代数計算は通常、数式を同等だが異なる形式に変換することによって行われます。これは簡略化と呼ばれますが、結果ははるかに長くなる可能性があります。（REDUCEという名前は、この中間式膨張の問題をもじったものです！）REDUCEでは、簡略化ルールとスイッチによって制御され、式が入力または計算されると自動的に簡略化が行われます。このようにして、REDUCEはルールベースプログラミングをサポートしており、これは古典的なREDUCEプログラミングパラダイムです。初期のバージョンのREDUCEでは、ルールとスイッチはグローバルに設定することしかできませんでしたが、最新のREDUCEでは、ルールとスイッチのローカル設定もサポートしており、1つの式の簡略化のみを制御できます。REDUCEプログラムには、多くの場合、複数のプログラミングパラダイムが混在しています。

このスクリーンショットは、シンプルなインタラクティブな使用例を示しています。

簡単なプログラミングの例として、次の問題を考えてみましょう。${\displaystyle n}$ 関数の^番目のテイラー多項式${\displaystyle f(x)}$その点について${\displaystyle x=a}$これは次の式で与えられる。$\displaystyle \sum _{r=0}^{n}{\frac {f^{(r)}(a)}{r!}}(xa)^{r}}$。 ここ、${\displaystyle f^{(r)}}$は${\displaystyle r}$ の^階微分${\displaystyle f}$その時点で評価${\displaystyle a}$そして${\displaystyle r!}$の階乗を表す${\displaystyle r}$（ただし、REDUCEには高度なべき級数展開機能が含まれていることに注意してください。）

REDUCE における関数型プログラミングの例として、次の 5 番目のテイラー多項式を計算する簡単な方法を示します。${\displaystyle \sin x}$約 0。次のコードでは、制御変数はr0 から 5 まで 1 刻みで値を取り、dfは REDUCE微分演算子であり、演算子はsub最初の引数を 2 番目の引数に代入します。このコードは上記の数式と非常によく似ていることに注意してください (${\displaystyle n=5}$そして${\displaystyle a=0}$)

for r := 0 : 5 sum sub ( x = 0 , df ( sin x , x , r )) * x ^ r / factorial r ;

デフォルトでは出力^{[ 4 ]を生成します}

${\displaystyle {\frac {x\left(x^{4}-20x^{2}+120\right)}{120}}}$

これは正しいのですが、テイラー級数とはあまり似ていません。出力制御スイッチをいくつか変更し、作業スペースを表す特殊変数を評価して、最後のws空でない出力式を取得することで修正できます。

allfac をオフにする; revpri 、divをオンにする; ws ;

${\displaystyle x-{\frac {1}{6}}x^{3}+{\frac {1}{120}}x^{5}}$

REDUCEにおける手続き型プログラミングの例として、展開点において良好な振る舞いをする関数に対して機能する、一般テイラー多項式を計算する手続きを以下に示します。${\displaystyle a}$。

procedure my_taylor ( f , x , x0 , n ); % x0 の周りの x の関数としてf の n 番目のテイラー多項式を返します。 begin scalar result := sub ( x = x0 , f ), mul := 1 ; for r := 1 : n do << f := df ( f , x ); mul := mul * ( x - x0 ) / r ; result := result + sub ( x = x0 , f ) * mul >> ; return result end ;

このプロシージャは、my_taylorREDUCE に既に という演算子が含まれているため、このように呼ばれます。記号に続く行末までtaylorのテキストはすべてコメントです。 キーワードは、2 つのローカル変数、およびを導入して初期化します。 キーワードおよび は、ローカル変数を含み、値を返す可能性のあるコードブロックを区切りますが、 および 記号は、ローカル変数を導入しないステートメントのグループを区切ります。%scalarresultmulbeginend<<>>

上記と同じテイラー多項式を計算するには、以下の手順を呼び出すことができます。

my_taylor ( sin x , x , 0 , 5 );

REDUCEのGUIは、以下に説明するファイルおよびパッケージ処理の一部または全部についてメニューサポートを提供します。

;終わり;

inファイル1,ファイル2, ...

outファイル;

shutファイル;

out t;

load_packageパッケージ1,パッケージ2, ...

REDUCEはLispから動的スコープを継承しており、これはデータには型がありますが変数自体には型がないことを意味します。つまり、変数の型は、その変数に割り当てられたデータの型です。最も単純なREDUCEデータ型は、識別子、マシン番号（つまり、コンピュータハードウェアが直接サポートする「小さな」整数と浮動小数点数）、文字列などの標準Lispアトミック型です。その他のほとんどのREDUCEデータ型は、内部的にはLispリストとして表現され、最初の要素（car）がデータ型を示します。たとえば、REDUCE入力

mat (( 1 , 2 ), ( 3 , 4 ));

ディスプレイを生成する

${\displaystyle \left({\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}}\right)}$

そしてこの行列の内部表現はLispリストである

(mat (1 2) (3 4))

REDUCEで使用される主な代数オブジェクトは、2つの多変数多項式の商であり、その不定元（カーネルと呼ばれる）は、実際には1つ以上の変数（例えば入力）の関数である可能性がある。

z := ( x + y ^ 2 ) / f ( x , y );

ディスプレイを生成する

${\displaystyle z\ \mathrm {:=} \ {\frac {x+y^{2}}{f\left(x,y\right)}}}$

REDUCE は、このような代数オブジェクトに対して 2 つの表現を使用します。1 つはプレフィックス形式と呼ばれ、これは式の標準 Lisp コードであり、入力や出力などの操作に便利です。たとえば、${\displaystyle z}$それは

(商 (プラス x (exp y 2)) (fxy))

もう1つは標準商形式と呼ばれ、加算などの代数演算を行うのに適しています。${\displaystyle z}$それは

(!*sq ((((x . 1) . 1) ((y . 2) . 1)) (((fxy) . 1) . 1)) t)

REDUCE は必要に応じてこれら 2 つの表現間で変換を行いますが、変換のオーバーヘッドを避けるために、可能な限り標準的な商の形式を維持しようとします。

REDUCEでは変数に型がないため、変数型の宣言はありませんが、変数のスコープ宣言はあります。変数のスコープとは、プログラム全体を通して変数が同じ意味を持つ範囲のことです。デフォルトでは、REDUCEの変数は自動的にグローバルスコープになります。つまり、変数はどこでも同じ意味を持ちます。つまり、変数に値が代入されると、どこでも同じ値に評価されます。変数のスコープを特定のコードブロックに限定するには、キーワードとでコードブロックを区切りbegin、ブロックの先頭で次の構文を使用してend変数を宣言します（上記の代数プログラミングの例で示されているように）。scalar

beginscalar変数1、変数2、...; ステートメントend

このように宣言された各変数には、オプションで代入演算子（:=）と初期値を指定できます。キーワードは「ローカル」scalarという意味で解釈してください。（ 「スカラー」という名前の由来はREDUCEの歴史の中に埋もれていますが、おそらくREDUCEの元々のコアであった高エネルギー物理パッケージで定義された相対論的4元ベクトルやディラックガンマ行列とローカル変数を区別するために選ばれたのでしょう。^{[ 2 ]}）

キーワードはまたはscalarに置き換えることができます。違いは、変数はデフォルトで 0 に初期化されるのに対し、および変数はデフォルトで Lisp 値(代数的値は 0 です) に初期化される点です。この違いは、REDUCE 実装言語である RLISP (シンボリックモードまたはLisp モードとも呼ばれる) ではより顕著です。それ以外の場合は、ローカル変数の意図された使用方法のドキュメントとして役立ちます。integerrealintegerscalarrealnil

REDUCEの実装、つまりシンボリックモードでのみ使用される変数宣言が他に2つあります。上記のREDUCE begin...ブロックはREDUCEパーサーによって標準Lisp形式に変換され、すべての標準Lisp変数は形式にバインドされるか、宣言されるか、またはする必要があります。RLISPでは、これらの宣言は次のようになります。endprogprogglobalfluid

fluid '(変数1変数2 ...)global '(変数1変数2 ...)

変数はフォームglobal内で再バインドできませんprogが、fluid変数は再バインドできます。この違いは通常、Lispコンパイラにとってのみ重要であり、効率を最大化するために使用されます。インタプリタコードでは、これらの宣言はスキップでき、未宣言の変数は実質的に となりますfluid。

REDUCE は、独立したポータブルなオープンソースのグラフィック パッケージであるgnuplotを介したグラフィック表示をサポートしています。gnuplot は、すべての REDUCE バイナリ ディストリビューションに含まれています。REDUCE GNUPLOT パッケージは、コマンドplot(...を介して、数式やデータセットで定義された曲線や曲面の表示をサポートしています)。このコマンドは、gnuplot の機能の一部のみを公開します。REDUCE TURTLE パッケージと LOGOTURTLE パッケージは、REDUCE GNUPLOT パッケージをベースに構築されており、 2 次元のタートル グラフィックスをサポートしています。LOGOTURTLE パッケージは、色や線の太さの制御、塗りつぶし、テキスト注釈など、gnuplot の追加機能も公開しています。

REDUCE はSourceForgeから入手できます。バイナリ ディストリビューションは、 Subversionリポジトリのスナップショットとして、決まったスケジュールなしで年に数回リリースされます^{[ 1 ]}。また、完全なソース コードの圧縮アーカイブ スナップショットも提供されます。SourceForge では、新しいリリースが利用可能になったときにユーザーに通知するように設定できます。2024 年に、macOS、Linux ( DebianおよびRed Hatベースのシステム)、およびMicrosoft Windowsの 64 ビット バージョン用のバイナリ ディストリビューションがリリースされました。インストーラーには、CSL-REDUCE と PSL-REDUCE の両方が含まれているか、両方で利用可能であり、REDUCE ソース コードが含まれている場合があります。REDUCE は、より広範囲のプラットフォームやCommon Lispなどの他の Lisp システムでソース コードからビルドできます。^{[ 5 ]}

以下のプロジェクトはREDUCEを使用しています。

• ALLTYPES ^{[ 6 ]} (ALgebraic Language and TYPe System) は、微分代数と微分方程式に特に重点を置いたコンピュータ代数型システムです。
• DAISY ^{[ 7 ]} (Differential Algebra for Identifiability of SYstems) は、多項式または有理式の常微分方程式で記述される線形および非線形動的モデルの構造的識別可能性解析を実行するためのソフトウェアツールです。
• MTT ^{[ 8 ]} (モデル変換ツール) は、ボンドグラフ手法を使用して動的な物理システムをモデル化するためのツールセットです。
• Reduce.jl ^{[ 9 ]}は、REDUCE 代数を使用してJulia言語の項書き換えを行う記号構文解析器です。
• Redlog ^{[ 10 ]} (REDUCE Logic System) は、1 階の式に関する 100 を超える関数を提供し、元々は独立したものでしたが、現在は REDUCE パッケージとして利用可能です。
• Pureはプログラミング言語であり、REDUCEのバインディングを備えているため、コンピュータを活用した科学研究を行うための非常に興味深い環境を提供する。

• コンピュータ代数システムの一覧
• アルトラン
• REDUCEがCAMALと出会う- JPフィッチ

• SourceForgeでの削減
• Anthony C. Hearn 他著、REDUCE ユーザーマニュアル[ HTML | PDF ]。
• アンソニー・C・ハーン、「REDUCE：最初の40年」。フォルカー・ヴァイスフェニングの60歳の誕生日を記念して開催されたA3Lカンファレンスで発表された招待論文、2005年4月。
• Andrey Grozin、「TeXmacs-Reduceインターフェース」、2012年4月。