準凸関数

数学において、準凸関数とは、実ベクトル空間の凸部分集合上で定義された実数値関数であり、任意の実数yに対して、関数値がy以下となる点の集合が凸集合となるような関数である。言い換えれば、の形の任意の集合の逆像は、${\displaystyle (-\infty ,y)}$は凸集合である。同等の定義は、関数の定義域内の任意の区間において、関数は端点のいずれかで最大値をとる、ということである。

準凸性は凸性よりも一般的な性質である。すべての凸関数は準凸関数でもあるが、すべての準凸関数が凸関数であるとは限らない。

1次元関数（R上の関数）の場合、関数が準凸関数であるかどうかをグラフで確認するには、マイナス無限大から水平線を上に移動させ、その線が関数グラフの上の領域と交差するたびに、その交点が区間であることを確認します。

準凹関数は準凸関数の負の値です。準凹関数では、任意の実数yに対して、関数値がy以上となる 点の集合は凸です。言い換えれば、関数の定義域内の任意の区間において、関数は端点のいずれかで最小値をとります。1 次元の場合、関数グラフの下の領域と交差する任意の水平線について、その交点が区間であることを確認してください。

単変数単峰関数は準凸関数または準凹関数ですが、これは引数が複数ある関数には必ずしも当てはまりません。例えば、2次元ローゼンブロック関数は単峰関数ですが準凸関数ではありません。また、星型凸サブレベル集合を持つ関数は、準凸関数でなくても単峰関数になることがあります。

関数${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} }$凸部分集合上で定義される${\displaystyle S}$実ベクトル空間の は、すべての に対して が成り立つ場合に準凸である。${\displaystyle x,y\in S}$そして${\displaystyle \lambda \in [0,1]}$我々は持っています

${\displaystyle f(\lambda x+(1-\lambda )y)\leq \max {\big \{}f(x),f(y){\big \}}.}$

言葉で言えば、目的は${\displaystyle f}$が準凸であるのは、最大値が${\displaystyle f}$任意の2つの端点間の直線上の値は、より高い端点の値を超えることはありません。点に注意してください。${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$n次元空間内の点である可能性があります。不等式が厳密な場合、つまり

${\displaystyle f(\lambda x+(1-\lambda )y)<\max {\big \{}f(x),f(y){\big \}}}$

すべての人々のために${\displaystyle x\neq y}$そして${\displaystyle \lambda \in (0,1)}$、 それから${\displaystyle f}$厳密に準凸である。つまり、厳密な準凸性とは、他の2点のちょうど中間にある点が、他の2点のうちの1点よりも低い関数値を与えることを意味する。

準凸関数を定義する別の方法（序論を参照）${\displaystyle f(x)}$各サブレベルセットを要求する ${\displaystyle S_{\alpha }(f)=\{x\mid f(x)\leq \alpha \}}$ は凸集合である。したがって、厳密に準凸な関数すべてに対して、厳密に単調増加する座標変換が存在する。${\displaystyle m:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ そのため${\displaystyle m(f(x))}$厳密に凸である。

準凹関数とは、負の値が準凸関数である関数であり、厳密に準凹関数とは、負の値が厳密に準凸関数である関数である。同様に、関数${\displaystyle f}$準凹関数であるのは、

${\displaystyle f(\lambda x+(1-\lambda )y)\geq \min {\big \{}f(x),f(y){\big \}}.}$

厳密に準凸関数は、厳密に凸な下側輪郭集合を持ち、厳密に準凹関数は、厳密に凸な上側輪郭集合を持つ。ガウス分布のような単峰性確率分布は、凹関数ではない準凹関数の一般的な例である。

準凸かつ準凹である関数は準線形であり、

$\displaystyle \min {\big \{}f(x),f(y){\big \}}\leq f(\lambda x+(1-\lambda )y)\leq \max {\big \{}f(x),f(y){\big \}}}$

平面上で定義された準線形関数の場合、レベルセットは常に直線になります。より一般的には、平面上の準線形関数のレベルセットは直線になります。$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$は${\displaystyle n-1}$次元平面。

準凸関数は、数学解析、数学的最適化、ゲーム理論、経済学などの分野で応用されている。

• すべての凸関数は準凸関数である。
• 凹関数は準凸関数になり得る。例えば、${\displaystyle x\mapsto \log(x)}$凹面かつ準凸面である。
• 単調関数は、準凸かつ準凹である。より一般的には、ある点まで減少し、その点から増加する関数は準凸である（単峰性と比較せよ）。
• 床の機能${\displaystyle x\mapsto \lfloor x\rfloor }$これは、凸関数でも連続関数でもない準凸関数の例です。

• 凸関数
• 凹関数
• 対数的に凹関数
• 複数の複素変数における擬似凸性（一般化された凸性ではない）
• 擬凸関数
• インベックス関数
• 凹面化

• Avriel, M.、Diewert, WE、Schaible, S.、Zang, I.、『Generalized Concavity』、Plenum Press、1988年。
• Crouzeix, J.-P. (2008). "準凹面性".Steven  N. Durlauf、Lawrence  E Blume (編)『The New  Palgrave Dictionary of Economics (Second  ed.)』Palgrave Macmillan、pp. 815–816 . doi : 10.1057/ 9780230226203.1375 . ISBN  978-0-333-78676-5。
• シンガー、イヴァン『抽象凸解析』。カナダ数学会モノグラフ・上級テキストシリーズ。ワイリー・インターサイエンス出版。ジョン・ワイリー・アンド・サンズ社、ニューヨーク、1997年。xxii+491ページ。ISBN  0-471-16015-6

• シオン、モーリス（1958）。「一般ミニマックス定理について」。パシフィック・ジャーナル・オブ・マセマティクス。8（1）：171–176。
• 数理計画法用語集（ 2006年7月15日にWayback Machineにアーカイブ済み）
• 準凹面性と準凸面性― マーティン・J・オズボーン著、トロント大学経済学部