輪郭セット

関数の場合${\displaystyle f()}$関係性の観点から考える${\displaystyle \triangleright }$関数の輪郭集合への参照は、暗黙のうちに暗黙の関係の輪郭集合への参照である。

${\displaystyle (a\succcurlyeq b)~\Leftarrow ~[f(a)\triangleright f(b)]}$

実数を考える${\displaystyle x}$、そしてその関係${\displaystyle \geq }$。 それから

• 上部輪郭セット${\displaystyle x}$は、以上である数値の集合になります。${\displaystyle x}$、
• 厳密な上部輪郭セット${\displaystyle x}$は、より大きい数の集合になります${\displaystyle x}$、
• 下部輪郭セット${\displaystyle x}$は以下である数値の集合になります${\displaystyle x}$、 そして
• 厳密な下部輪郭セット${\displaystyle x}$は、以下の数より小さい数のセットになります。${\displaystyle x}$。

より一般的に、次の関係を考えてみましょう。

${\displaystyle (a\succcurlyeq b)~\Leftarrow ~[f(a)\geq f(b)]}$

それから

• 上部輪郭セット${\displaystyle x}$すべてのセットになります${\displaystyle y}$そのため${\displaystyle f(y)\geq f(x)}$、
• 厳密な上部輪郭セット${\displaystyle x}$すべてのセットになります${\displaystyle y}$そのため${\displaystyle f(y)>f(x)}$、
• 下部輪郭セット${\displaystyle x}$すべてのセットになります${\displaystyle y}$そのため${\displaystyle f(x)\geq f(y)}$、 そして
• 厳密な下部輪郭セット${\displaystyle x}$すべてのセットになります${\displaystyle y}$そのため${\displaystyle f(x)>f(y)}$。

輪郭集合を関係式で定義することは技術的には可能である。

${\displaystyle (a\succcurlyeq b)~\Leftarrow ~[f(a)\leq f(b)]}$

しかし、そのような定義は、容易な理解をかえって混乱させる傾向がある。

実数値関数の場合${\displaystyle f()}$（引数が実数である場合もそうでない場合もある）関数の輪郭集合への参照は、暗黙のうちに関係の輪郭集合への参照である。

${\displaystyle (a\succcurlyeq b)~\Leftarrow ~[f(a)\geq f(b)]}$

引数に注意してください${\displaystyle f()}$ベクトルである可能性があり、代わりに使用される表記法は次のようになる可能性がある。

${\displaystyle [(a_{1},a_{2},\ldots )\succcurlyeq (b_{1},b_{2},\ldots )]~\Leftarrow ~[f(a_{1},a_{2},\ldots )\geq f(b_{1},b_{2},\ldots )]}$

経済学では、集合${\displaystyle X}$商品やサービスの集合、あるいは起こりうる結果の集合として解釈できる関係${\displaystyle \succ }$厳密な好みとして、そして関係${\displaystyle \succcurlyeq }$弱い選好として。

• 上部輪郭セット、またはより正確にはセット、^{[ 1 ]}${\displaystyle x}$それは、少なくともそれと同じくらい望まれていたすべての商品、サービス、または結果の集合となるだろう。${\displaystyle x}$、
• 厳密な上部輪郭セット${\displaystyle x}$それは、より望まれていたすべての商品、サービス、または結果の集合となるだろう。${\displaystyle x}$、
• 下側の輪郭セット、またはより悪いセット、^{[ 1 ]}${\displaystyle x}$それは、望まれていないすべての商品、サービス、または結果の集合となるだろう。${\displaystyle x}$、 そして
• 厳密な下部輪郭セット${\displaystyle x}$それは、望ましくないすべての商品、サービス、または結果の集合となるだろう。${\displaystyle x}$。

こうした嗜好は効用関数によって捉えられる可能性がある。${\displaystyle u()}$その場合

• 上部輪郭セット${\displaystyle x}$すべてのセットになります${\displaystyle y}$そのため$u(y) ≥ u(x)$、
• 厳密な上部輪郭セット${\displaystyle x}$すべてのセットになります${\displaystyle y}$そのため${\displaystyle u(y)>u(x)}$、
• 下部輪郭セット${\displaystyle x}$すべてのセットになります${\displaystyle y}$そのため${\displaystyle u(x)\geq u(y)}$、 そして
• 厳密な下部輪郭セット${\displaystyle x}$すべてのセットになります${\displaystyle y}$そのため${\displaystyle u(x)>u(y)}$。