インベックス関数

ベクトル解析において、invex関数とは、からへの微分可能な関数 であり、次のような ベクトル値関数が存在する。${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \eta}$

${\displaystyle f(x)-f(u)\geq \eta (x,u)\cdot \nabla f(u),\,}$

すべてのxとuに対して。

不等関数はハンソンによって凸関数の一般化として導入された。^[1] ベン＝イスラエルとモンドは、関数が不等であるためにはすべての定常点が大域的最小値となるという簡単な証明を与えた。この定理はクレイブンとグローバーによって初めて示された。^{[2] [3]}

ハンソンはまた、最適化問題の目的関数と制約条件が同じ関数に関して逆数である場合、カルシュ・キューン・タッカー条件が大域的最小値に十分であることも示した。 ${\displaystyle \eta (x,u)}$

不等関数の一般化はタイプI不等関数と呼ばれ、カルシュ・キューン・タッカー条件が大域的最小値に必要かつ十分である関数の最も一般的なクラスである。 ^[4]次の形式の数学プログラムを考える。

${\displaystyle {\begin{array}{rl}\min &f(x)\\{\text{st}}&g(x)\leq 0\end{array}}}$

ここで、およびは微分可能な関数である。このプログラムの実行可能領域を とする。関数はタイプIの目的関数であり、関数はに関してタイプIの制約関数である。ただし、で定義されたベクトル値関数が存在し、 ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle F=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\;|\;g(x)\leq 0\}}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \eta}$${\displaystyle \eta}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle f(x)-f(x_{0})\geq \eta (x)\cdot \nabla {f(x_{0})}}$

そして

${\displaystyle -g(x_{0})\geq \eta (x)\cdot \nabla {g(x_{0})}}$

すべての に対して。^[5]不屈性とは異なり、タイプIの不屈性は点 に対して定義されることに注意してください。 ${\displaystyle x\in {F}}$${\displaystyle x_{0}}$

^{定理（ [4]}の定理2.1 ）：およびがに関して点においてタイプIの複素数であり、においてカルシュ・キューン・タッカー条件が満たされる場合、 は上のの大域的最小値となる。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle x^{*}}$${\displaystyle \eta}$${\displaystyle x^{*}}$${\displaystyle x^{*}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle F}$

から、からを非空開集合 上の -微分可能関数とする。すると、が E-invex 関数であるとは、次のような ベクトル値関数が存在する場合を言う 。${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {M} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathbb {M} \subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \eta}$

${\displaystyle (f\circ E)(x)-(f\circ E)(u)\geq \nabla (f\circ E)(u)\cdot \eta (E(x),E(u)) 、\、}$

すべておよびにおいて。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \mathbb {M} }$

E-invex関数は微分可能凸関数の一般化としてアブドゥラリームによって導入された。^[6]

• 凸関数
• 擬似凸関数
• 準凸関数

• SK Mishra および G. Giorgi、「不均衡と最適化」、Nonconvex Optimization and Its Applications、Vol. 88、Springer-Verlag、ベルリン、2008 年。
• SK Mishra、S.-Y. Wang、KK Lai、「一般化凸性とベクトル最適化」、Springer、ニューヨーク、2009年。