シュール分解

線形代数において、イサイ・シュールにちなんで名付けられたシュール分解（またはシュール三角化）は、行列分解の一種である。これは、任意の複素正方行列を、対角要素が元の行列の固有値である上三角行列とユニタリ相似な行列として表すことを可能にする。

複素シュール分解は次のように表されます。Aが複素数要素を持つn × n正方行列である場合、A は次のように表すことができます。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}$${\displaystyle A=QUQ^{-1}}$$ あるユニタリ行列Q (逆行列Q ^−1もQの共役転置行列Q * である) と、ある上三角行列Uについて、これをAのSchur 形式と呼びます。UはAと相似であるため、同じスペクトルを持ち、また三角行列であるため、その固有値はUの対角成分になります。

シュール分解は、入れ子になったA不変部分空間の列{0} = V ₀ ⊂ V ₁ ⊂ ⋯ ⊂ V _n = C ⁿが存在し、入れ子になった列に現れる各iに対して最初のi基底ベクトルがV _iを張るような順序付き正規直交基底( C ⁿの標準エルミート形式の場合) が存在することを意味します。少し異なる言い方をすると、最初の部分は、複素有限次元ベクトル空間上の線形演算子J が完全フラグ( V ₁ , ..., V _n )を安定化することを意味します。

実数シュール分解も存在する。Aが実数要素を持つn × n正方行列である場合、A は次のように表すことができる^{[ 4 ]}$${\displaystyle A=QHQ^{-1}}$$ここで、Qは直交行列であり、Hは上準三角行列または下準三角行列のいずれかです。準三角行列とは、2 × 2および1 × 1ブロックのブロック行列として表現すると三角行列になる行列のことです。これは、ヘッセンベルグであることよりも強い性質です。複素数の場合と同様に、可換な実数行列の族 { A _i } は、直交行列によって同時に準三角形式に変換できます。与えられた族の すべてのA _iに対して、次の条件を満たす直交行列Qが存在します。$${\displaystyle H_{i}=QA_{i}Q^{-1}}$$ 上部は準三角形である。

シューア分解の構成的証明は次のとおりです。複素有限次元ベクトル空間上のすべての作用素A^は、ある固有空間Vλに対応する固有値λを持ちます_。Vλ⊥をその直交補空間とします。この直交分解に関して、A は_行列表現を持つことは明らかです (ここでは、_VλとVλ⊥_をそれぞれ張る任意の正規直交基底Z1とZ2を^選択_できます)。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}Z_{1}&Z_{2}\end{bmatrix}}^{*}A{\begin{bmatrix}Z_{1}&Z_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda \,I_{\lambda }&A_{12}\\0&A_{22}\end{bmatrix}}:{\begin{matrix}V_{\lambda }\\\oplus \\V_{\lambda }^{\perp }\end{matrix}}\rightarrow {\begin{matrix}V_{\lambda }\\\oplus \\V_{\lambda }^{\perp }\end{matrix}}}$$ ここで、_Iλは_Vλ上の恒等演算子です。上記の行列_は、A22 ブロックを除いて上三角行列になります。しかし、まったく同じ手順を、Vλ⊥ 上の演算子とみなされる部分行列 A22とその部分^行列に_適用できます。結果として得られる行列が上三角行列になるまで、この手順_を続けます。各共役によって上三角ブロックの次元が少なくとも 1 つ増加するため、このプロセスは最大でnステップかかります。したがって、空間Cn^は使い果たされ、手順によって目的の結果が得られます。^{[ 5 ]}

上記の議論は次のように少し言い換えることができます。λをAの固有値とし、ある固有空間V _λに対応するものとします。Aは商空間C ⁿ / V _λ上に作用素Tを誘導します。この作用素は、まさに上記のA _{22部分行列です。これまでと同様に、} T は固有空間を持ち、例えばW _μ ⊂ C ⁿ mod V _λとします。商写像によるW _μの逆像は、 V _λを含むAの不変部分空間であることに注意してください。この手順を、結果として得られる商空間の次元が 0 になるまで続けます。すると、各ステップで見つかった固有空間の連続する逆像が、 Aが安定化するフラグを形成します。

すべての正方行列はシューア分解を持つが、一般にこの分解は一意ではない。例えば、固有空間Vλ_の次元が1より大きい場合、 Vλ_の任意の正規直交基底を用いても目的の結果が得られる。

三角行列U をU = D + Nと書きます。ここで、 Dは対角行列、Nは厳密に上三角行列（したがって冪零行列）です。対角行列Dには、 Aの固有値が任意の順序で含まれています（したがって、そのフロベニウスノルムの二乗は、 Aの固有値の絶対値の二乗の和であり、 Aのフロベニウスノルムの二乗は、 Aの特異値の二乗の和です）。冪零部分Nも一般に一意ではありませんが、そのフロベニウスノルムはAによって一意に決定されます（A のフロベニウスノルムがU = D + Nのフロベニウスノルムに等しいからです）。^{[ 6 ]}

Aが正規行列である場合、そのシュール分解から得られるUは対角行列となり、 Qの列ベクトルはAの固有ベクトルとなることは明らかである。したがって、シュール分解はスペクトル分解を拡張したものである。特に、Aが正定値行列である場合、 Aのシュール分解、スペクトル分解、および特異値分解は一致する。

可換な行列族{ A _i } は同時に三角化できる。つまり、与えられた族のすべてのA _iに対して、 QA _i Q*が上三角となるようなユニタリ行列Qが存在する。これは上記の証明から容易に導き出せる。{ A _i } から要素Aを取り、再び固有空間V _Aを考える。すると、V _{A は}{ A _i }のすべての行列に対して不変である。したがって、{ A _i }のすべての行列は、V _Aに共通の固有ベクトルを 1 つ共有しなければならない。帰納法により、この主張が証明される。系として、すべての可換な正規行列族は同時に対角化できることがわかる。

無限次元の場合、バナッハ空間上のすべての有界作用素が不変部分空間を持つとは限りません。しかし、任意の正方行列の上三角化はコンパクト作用素にも一般化できます。複素バナッハ空間上のすべてのコンパクト作用素は、閉じた不変部分空間の入れ子構造を持ちます。

与えられた行列のシュール分解は、QRアルゴリズムまたはその変種によって数値的に計算されます。言い換えれば、シュール分解を得るために、行列に対応する特性多項式の根を事前に計算する必要はありません。逆に、QRアルゴリズムは、対応する行列のシュール分解を見つけることによって、任意の特性多項式の根を計算するために使用できます。同様に、QRアルゴリズムは、任意の行列の固有値を計算するために使用されます。固有値は、シュール分解の上三角行列の対角成分です。その計算量は${\displaystyle {\mathcal {O}}(n^{3})}$[ ^{7 ] [ 8 ]​}

嘘理論の応用例には以下のようなものがある。

• すべての可逆演算子はボレル群に含まれる。
• すべての演算子は、フラグ多様体の点を固定します。

正方行列AとBが与えられた場合、一般化シュール分解は両方の行列を次のように因数分解します。${\displaystyle A=QSZ^{*}}$そして${\displaystyle B=QTZ^{*}}$ここで、QとZはユニタリ行列、SとTは上三角行列である。一般化された Schur 分解は、 QZ 分解とも呼ばれることがある。^{[ 2 ] : 375 [ 9 ]}

一般化固有値${\displaystyle \lambda }$一般化固有値問題を解く${\displaystyle A\mathbf {x} =\lambda B\mathbf {x} }$( xは未知の非ゼロベクトル)は、 Sの対角要素とTの対角要素の比として計算できます。つまり、添え字を使って行列要素を表すと、i番目の一般化固有値は$\displaystyle \lambda _{i}}$満たす${\displaystyle \lambda _{i}=S_{ii}/T_{ii}}$。