トポロジーの変化によるエラーの伝播
精度低下 ( DOP ) または 幾何学的精度低下 ( GDOP ) は、 衛星ナビゲーション および 地理情報工学において、ナビゲーション衛星の幾何学が位置測定精度に及ぼす数学的影響として 誤差の伝播を 指定するために使用される 用語です。
例を使って精度の低下について理解します。A では、 2 つのランドマークまでの距離を測定し、その点を測定した半径を持つ 2 つの円の交点としてプロットしています。B では、 測定 に誤差範囲があり、実際の位置は緑色の領域内のどこかになります。C では、 測定 誤差は同じですが、ランドマークの配置により、位置の誤差が大幅に増加しています。
導入 精度低下（DOP）の概念は、 ロランCナビゲーションシステム のユーザーによって生まれました。 [1] 幾何学的DOPの考え方は、測定の誤差が最終的な状態の推定にどのように影響するかを示すことです。これは次のように定義できます。 [2]
グローバルDOP =
Δ （
出力場所
）
Δ （
測定データ
）
{\displaystyle \operatorname {GDOP} ={\frac {\Delta ({\text{出力場所}})}{\Delta ({\text{測定データ}})}}}
概念的には、測定の誤差によって 項が変化することを幾何学的に想像することができます。理想的には、測定データの小さな変化は出力場所の大きな変化をもたらしません。この理想の反対は、ソリューションが測定誤差に非常に敏感な状況です。この式の解釈は右の図に示されており、許容可能な GDOP と不良な GDOP の 2 つのシナリオを示しています。
Δ （
測定データ
）
{\displaystyle \Delta ({\text{測定データ}})}
衛星航法 システムが広く採用されるにつれて 、この用語はずっと広く使われるようになりました。電離層 [3] と対流圏 [4] の影響を無視すると、航法衛星からの信号の精度は固定されています。したがって、衛星と受信機の相対的な形状は、推定位置と時刻の精度を決定する上で重要な役割を果たします。受信機に対する任意の衛星の相対的な形状により、衛星の 擬似距離 の精度は、受信機によって測定される位置の 4 つの次元のそれぞれにおける対応する成分に変換されます (つまり 、、、、 および)。受信機から見た複数の衛星の精度は、衛星の相対的な位置に従って組み合わされ、受信機測定の各次元における精度のレベルを決定します 。 目に見える航法衛星が空で互いに近い場合、形状は弱いと言われ、DOP 値は高くなります。離れている場合、形状は強いと言われ、DOP 値は低くなります。異なる中心を持つ 2 つの重なり合ったリング、つまり 環状体 を考えてみましょう。直角に重なる場合、重なり合う最大範囲は、ほぼ平行に重なる場合よりもずっと小さくなります。したがって、DOP 値が低いと、ユニットの位置を計算するために使用される衛星間の角度の間隔が広くなるため、位置の精度が向上します。有効な DOP を増大させる可能性のある他の要因としては、近くの山や建物などの障害物があります。
x
{\displaystyle x}
ええ
{\displaystyle y}
ず
{\displaystyle z}
t
{\displaystyle t}
DOP は、いくつかの個別の測定値として表すことができます。
ＨＤＯＰ 精度の水平的希薄化 ＶＤＯＰ 精度の垂直的希薄化 PDOP 位置（3D）精度の希薄化 TDOP 精度の時間的希薄化 グローバルDOP 精度の幾何学的希薄化 これらの値は、使用可能な衛星の位置から数学的に導き出されます。信号受信機では、これらの位置 ( スカイプロット ) と DOP 値を表示できます。
この用語は、地理的に離れた複数のサイトを使用する他の位置システムにも適用できます。敵の発信源 ( レーダー妨害装置 や無線通信装置) の位置を計算するときに、電子対抗手段 ( 電子戦) で発生することがあります。このような 干渉 法を使用すると、不適切な構成のために考慮できない自由度がある特定の幾何学的レイアウトを提供できます。
衛星の配置が位置誤差に与える影響は、幾何学的精度低下 (GDOP) と呼ばれ、おおまかに位置誤差と距離誤差の比率として解釈されます。受信機を頂点として 4 つの衛星を結んだ線で 四角錐 が形成されると想像してください。ピラミッドの体積が大きいほど、GDOP の値は良くなり (低くなり)、体積が小さいほど、GDOP の値は悪くなります (高くなります)。同様に、衛星の数が多いほど、GDOP の値は良くなります。
解釈 DOP 係数は、 パラメータの
共分散行列の対角要素の関数であり、グローバル測地フレームまたはローカル測地フレームのいずれかで表現されます。
計算 DOPを計算する最初のステップとして、 [5] では受信機から衛星への単位ベクトルを考える 。
私
{\displaystyle i}
（
x
私
− x
R
私
、
ええ
私
− ええ
R
私
、
ず
私
− ず
R
私
）
、
R
私
=
（
x
私
− x
）
2
+ （
ええ
私
− ええ
）
2
+ （
ず
私
− ず
）
2
{\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\frac {x_{i}-x}{R_{i}}},{\frac {y_{i}-y}{R_{i}}},{\frac {z_{i}-z}{R_{i}}}\right),&R_{i}&={\sqrt {(x_{i}-x)^{2}+(y_{i}-y)^{2}+(z_{i}-z)^{2}}}\end{aligned}}}
ここで、 は 受信機の位置を表し、 は 衛星 i の位置を表します。行列 A を定式化します。これは (4 つの疑似距離測定残差方程式の場合) 次のようになります。
x
,
y
,
z
{\displaystyle x,y,z}
x
i
,
y
i
,
z
i
{\displaystyle x_{i},y_{i},z_{i}}
A
=
[
x
1
−
x
R
1
y
1
−
y
R
1
z
1
−
z
R
1
1
x
2
−
x
R
2
y
2
−
y
R
2
z
2
−
z
R
2
1
x
3
−
x
R
3
y
3
−
y
R
3
z
3
−
z
R
3
1
x
4
−
x
R
4
y
4
−
y
R
4
z
4
−
z
R
4
1
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}{\frac {x_{1}-x}{R_{1}}}&{\frac {y_{1}-y}{R_{1}}}&{\frac {z_{1}-z}{R_{1}}}&1\\{\frac {x_{2}-x}{R_{2}}}&{\frac {y_{2}-y}{R_{2}}}&{\frac {z_{2}-z}{R_{2}}}&1\\{\frac {x_{3}-x}{R_{3}}}&{\frac {y_{3}-y}{R_{3}}}&{\frac {z_{3}-z}{R_{3}}}&1\\{\frac {x_{4}-x}{R_{4}}}&{\frac {y_{4}-y}{R_{4}}}&{\frac {z_{4}-z}{R_{4}}}&1\end{bmatrix}}}
A の各行の最初の 3 つの要素は、 受信機から指定された衛星までの単位ベクトルの成分です。各行の最後の要素は、受信機のクロック バイアスに対する疑似距離の 偏微分 を表します。行列 Q を、 最小二乗正規行列 から得られる 共分散行列 として定式化します。
Q
=
(
A
T
A
)
−
1
{\displaystyle Q=\left(A^{\mathsf {T}}A\right)^{-1}}
一般的に：
Q
=
(
J
x
T
(
J
d
C
d
J
d
T
)
−
1
J
x
)
−
1
{\displaystyle Q=\left(J_{\mathsf {x}}^{\mathsf {T}}\left(J_{d}C_{d}J_{d}^{\mathsf {T}}\right)^{-1}J_{x}\right)^{-1}}
ここで、は 未知数に関する センサ測定残差方程式のヤコビアン 、 は 測定量に関するセンサ測定残差方程式のヤコビアン 、 は 測定量のノイズの相関行列です。
J
x
{\displaystyle J_{x}}
f
i
(
x
_
,
d
_
)
=
0
{\displaystyle f_{i}\left({\underline {x}},{\underline {d}}\right)=0}
x
_
{\displaystyle {\underline {x}}}
J
d
{\displaystyle J_{d}}
d
_
{\displaystyle {\underline {d}}}
C
d
{\displaystyle C_{d}}
前述の 4範囲 測定 残差方程式の場合 、、、、、、、、 および異なる測定ノイズは 独立
して いる と仮定されているため、 と なり ます 。
x
_
=
(
x
,
y
,
z
,
τ
)
T
{\displaystyle {\underline {x}}=(x,y,z,\tau )^{\mathsf {T}}}
d
_
=
(
τ
1
,
τ
2
,
τ
3
,
τ
4
)
T
{\displaystyle {\underline {d}}=\left(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{4}\right)^{\mathsf {T}}}
τ
=
c
t
{\displaystyle \tau =ct}
τ
i
=
c
t
i
{\displaystyle \tau _{i}=ct_{i}}
R
i
=
|
τ
i
−
τ
|
=
(
τ
i
−
τ
)
2
{\displaystyle R_{i}=|\tau _{i}-\tau |={\sqrt {(\tau _{i}-\tau )^{2}}}}
f
i
(
x
_
,
d
_
)
=
(
x
i
−
x
)
2
+
(
y
i
−
y
)
2
+
(
z
i
−
z
)
2
−
(
τ
i
−
τ
)
2
{\displaystyle f_{i}\left({\underline {x}},{\underline {d}}\right)={\sqrt {(x_{i}-x)^{2}+(y_{i}-y)^{2}+(z_{i}-z)^{2}}}-{\sqrt {(\tau _{i}-\tau )^{2}}}}
J
x
=
A
{\displaystyle J_{x}=A}
J
d
=
−
I
{\displaystyle J_{d}=-I}
τ
i
{\displaystyle \tau _{i}}
C
d
=
I
{\displaystyle C_{d}=I}
Q のこの式は、現在のソリューション についてのセンサー測定残差方程式の線形化バージョンに最良線形不偏推定を適用することから生じます 。ただし、 BLUE は 、DOP で使用されるノイズ相関行列ではなく、ノイズ共分散行列であり、DOP がこの置き換えを行う理由は、 相対 誤差を取得するためです。が ノイズ共分散行列の場合、 は、 測定量のノイズによる未知数のノイズの共分散行列の推定値です。これは、1980 年代の最先端技術であった 1 次 2 次モーメント (FOSM) 不確実性定量化手法によって取得される推定値です。 FOSM 理論を厳密に適用するには、入力ノイズ分布がガウス分布であるか、測定ノイズ標準偏差がソリューション付近の出力の変化率に比べて小さい必要があります。
Δ
x
_
=
−
Q
∗
(
J
x
T
(
J
d
C
d
J
d
T
)
−
1
f
)
{\displaystyle \Delta {\underline {x}}=-Q*\left(J_{x}^{\mathsf {T}}\left(J_{d}C_{d}J_{d}^{\mathsf {T}}\right)^{-1}f\right)}
C
d
{\displaystyle C_{d}}
C
d
{\displaystyle C_{d}}
Q
{\displaystyle Q}
この計算（すなわち、4つの到着時間/距離測定残差方程式）は[6]に従っており、重み付け行列は
単位行列に単純化されます。
P
=
(
J
d
C
d
J
d
T
)
−
1
{\displaystyle P=\left(J_{d}C_{d}J_{d}^{\mathsf {T}}\right)^{-1}}
P は単位行列にのみ簡略化されることに注意してください。これは、すべてのセンサー測定残差方程式が到着時間 (疑似範囲) 方程式であるためです。他のケース、たとえば 国際遭難周波数 で放送している人の位置を特定しようとする場合、は単位行列に簡略化さ れず 、 その場合は TDOP コンポーネントに加えて、またはその代わりに「周波数 DOP」または FDOP コンポーネントが存在することになります。(「TDOP コンポーネントの代わりに」について: 従来の 国際 Cospas-Sarsat プログラム LEO 衛星のクロックは GPS クロックよりもはるかに精度が低いため、その時間測定を破棄すると、実際には地理位置情報ソリューションの精度が向上します。)
P
{\displaystyle P}
の要素は 次のように指定されます。
Q
{\displaystyle Q}
Q
=
[
σ
x
2
σ
x
y
σ
x
z
σ
x
t
σ
x
y
σ
y
2
σ
y
z
σ
y
t
σ
x
z
σ
y
z
σ
z
2
σ
z
t
σ
x
t
σ
y
t
σ
z
t
σ
t
2
]
{\displaystyle Q={\begin{bmatrix}\sigma _{x}^{2}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}&\sigma _{xt}\\\sigma _{xy}&\sigma _{y}^{2}&\sigma _{yz}&\sigma _{yt}\\\sigma _{xz}&\sigma _{yz}&\sigma _{z}^{2}&\sigma _{zt}\\\sigma _{xt}&\sigma _{yt}&\sigma _{zt}&\sigma _{t}^{2}\end{bmatrix}}}
PDOP、TDOP、GDOPは次のように与えられる: [6]
PDOP
=
σ
x
2
+
σ
y
2
+
σ
z
2
TDOP
=
σ
t
2
GDOP
=
PDOP
2
+
TDOP
2
=
tr
Q
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {PDOP} &={\sqrt {\sigma _{x}^{2}+\sigma _{y}^{2}+\sigma _{z}^{2}}}\\\operatorname {TDOP} &={\sqrt {\sigma _{t}^{2}}}\\\operatorname {GDOP} &={\sqrt {\operatorname {PDOP} ^{2}+\operatorname {TDOP} ^{2}}}\\&={\sqrt {\operatorname {tr} Q}}\\\end{aligned}}}
GDOP は行列の トレース の平方根であることに注意してください 。
Q
{\displaystyle Q}
水平方向と垂直方向の精度の希薄化、
HDOP
=
σ
n
2
+
σ
e
2
VDOP
=
σ
u
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {HDOP} &={\sqrt {\sigma _{n}^{2}+\sigma _{e}^{2}}}\\\operatorname {VDOP} &={\sqrt {\sigma _{u}^{2}}}\end{aligned}}}
、 どちらも使用される座標系に依存します。 ローカルの東北上 座標系に対応するには、
EDOP^2 xxx
x NDOP^2 xx
xxVDOP^2 x
xxx TDOP^2 そして得られた希釈度は次の通りです。
GDOP
=
EDOP
2
+
NDOP
2
+
VDOP
2
+
TDOP
2
HDOP
=
EDOP
2
+
NDOP
2
PDOP
=
EDOP
2
+
NDOP
2
+
VDOP
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {GDOP} &={\sqrt {\operatorname {EDOP} ^{2}+\operatorname {NDOP} ^{2}+\operatorname {VDOP} ^{2}+\operatorname {TDOP} ^{2}}}\\\operatorname {HDOP} &={\sqrt {\operatorname {EDOP} ^{2}+\operatorname {NDOP} ^{2}}}\\\operatorname {PDOP} &={\sqrt {\operatorname {EDOP} ^{2}+\operatorname {NDOP} ^{2}+\operatorname {VDOP} ^{2}}}\end{aligned}}}
参照
参考文献
^ Richard B. Langley (1999 年 5 月)。「精度の低下」 (PDF) 。GPS World。2011 年 10 月 4 日のオリジナルから アーカイブ (PDF) 。2011 年 10 月 12 日 閲覧 。
^ Dudek, Gregory ; Jenkin, Michael (2000). モバイルロボットの計算原理 . ケンブリッジ大学出版局 . ISBN
0-521-56876-5 。
^ ポール・キントナー、コーネル大学、トッド・ハンフリーズ、テキサス大学オースティン校、ジョアンナ・ヒンクス、コーネル大学 (2009 年 7 月 - 8 月)。「GNSS と電離層シンチレーション: 次の太陽活動極大期を乗り切る方法」。Inside GNSS。2011 年 11 月 6 日時点のオリジナルよりアーカイブ 。2011 年 10 月 12 日 閲覧 。 ^ 「GPSエラー（Trimbleチュートリアル）」。2016年3月7日時点のオリジナルよりアーカイブ 。 2016年2月8日 閲覧。 ^ ab Isik, Oguz Kagan; Hong, Juhyeon; Petrunin, Ivan; Tsourdos, Antonios (2020年8月25日). 「都市環境におけるUAVのGPSベースナビゲーションの整合性分析」. ロボティクス . 9 (3): 66. doi : 10.3390/robotics9030066 . ^ 衛星測位の原理のセクション1.4.9。
さらに読む DOP 要因 GDOPを手動で計算する HDOP と GPS の水平位置エラー 
