ゼロ次元空間

数学において、零次元位相空間（または無次元空間）とは、与えられた位相空間に次元を割り当てるいくつかの異なる概念のうちの1つに関して次元がゼロである位相空間のことである。^{[ 1 ]}零次元空間の図解は点である。^{[ 2 ]}

具体的には：

• 位相空間は、その空間のすべての開被覆が互いに素な開集合による被覆となるような細分化を持つ場合、ルベーグ被覆次元に関してゼロ次元である。
• 位相空間は、その空間のすべての有限開被覆に対して、その空間内の任意の点がちょうど１つの開集合に含まれるような有限開被覆の細分化が存在する場合、有限から有限への被覆次元に関して零次元である。
• 位相空間は、開集合からなる基底を持つ場合、小さな帰納的次元に関してゼロ次元である。

上記の３つの概念は、分離可能で計量可能な空間については一致する（ 帰納的次元§ 次元間の関係を参照）。

• 零次元ハウスドルフ空間は必然的に完全不連結であるが、その逆は成り立たない。しかし、局所コンパクトハウスドルフ空間は、完全不連結である場合に限り零次元となる。（非自明な方向については、（Arhangel'skii & Tkachenko 2008 、命題3.1.7、p.136）を参照。）
• 零次元ポーランド空間は、記述集合論にとって特に都合の良い設定である。そのような空間の例としては、カントール空間やベール空間などが挙げられる。
• ハウスドルフ零次元空間は、位相冪の部分空間に他ならない。$2I$どこ${\displaystyle 2=\{0,1\}}$離散位相が与えられます。このような空間はカントール立方体と呼ばれることもあります。Iが可算無限である場合、$2I$はカントール空間である。

零次元多様体のすべての点は孤立している。

• アルハンゲルスキー、アレクサンダー；トカチェンコ、ミハイル（2008）。位相群と関連構造。アトランティス数学研究。第 1巻。アトランティス出版。ISBN 978-90-78677-06-2。
• エンゲルキング、リザード（1977）。一般的なトポロジ。 PWN、ワルシャワ。
• ウィラード、スティーブン（2004）。一般トポロジー。ドーバー出版。ISBN 0-486-43479-6。