一般相対性理論によって修正された物理理論

この記事では、アインシュタインの総和規則を使用します。

一般相対性理論では、非ユークリッド幾何学を説明するために、既存の物理、電磁気、量子効果の理論を適応させる必要がありました。一般相対性理論によって修正されたこれらの物理理論について、以下に説明します。

特殊相対性理論は多くの点で一般相対性理論と古典力学の中間に位置し、古典力学と多くの属性を共有しているため、ここでは古典力学と特殊相対性理論をまとめて扱っています。

以下の議論では、一般相対性理論の数学が多用されています。また、最小結合の原理の下では、ミンコフスキー計量 ( η _ab ) を関連する時空計量 ( g _ab ) に置き換え、偏微分を共変微分に置き換えることで、特殊相対性理論の物理方程式を一般相対性理論の方程式に変換できます。以下の議論では、計量の変更が暗示されています。

慣性運動は、すべての力から自由な運動です。ニュートン力学では、質量mの粒子に作用する力Fは、ニュートンの第二法則で与えられ、加速度は時間tに対する位置rの第二導関数で与えられます。力がゼロということは、慣性運動が加速度ゼロの運動であることを意味します。 ${\displaystyle F=m{\ddot {r}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}r}{\mathrm {d} t^{2}}}=0}$

特殊相対性理論でも同じ考え方です。直交座標を使用すると、慣性運動は数学的に次のように記述されます。

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x^{a}}{\mathrm {d} \tau ^{2}}}=0}$

ここでは位置座標、τは固有時間です。(ニュートン力学では、τ ≡ t、つまり座標時間です)。 ${\displaystyle x^{a}}$

ニュートン力学と特殊相対性理論の両方において、空間と時空は平坦であると仮定され、グローバルな直交座標系を構築できます。一般相対性理論では、時空の形状と使用する座標系に関するこれらの制限はなくなります。したがって、慣性運動の別の定義が必要になります。相対性理論では、慣性運動は、固有時間によってパラメーター化された時間的測地線またはヌル測地線に沿って発生します。これは、測地線方程式によって数学的に表現されます。

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x^{a}}{\mathrm {d} \tau ^{2}}}+\Gamma _{bc}^{a}\,{ \frac {\mathrm {d} x^{b}}{\mathrm {d} \tau }}\,{\frac {\mathrm {d} x^{c}}{\mathrm {d} \タウ }}=0}$

ここで、 はクリストッフェル記号です。一般相対性理論は 4 次元時空を記述するため、これは 4 つの方程式を表し、各方程式は固有時間に関する座標の 2 次導関数を記述します。直交座標の平坦空間の場合は となるため、この方程式は特殊相対性形式に簡約されます。 ${\displaystyle \Gamma_{bc}^{a}}$${\displaystyle \Gamma _{bc}^{a}=0}$

重力に関しては、ニュートンの重力理論と一般相対性理論の関係は対応原理によって決まります。つまり、ニュートン物理学が正確であることが証明されている場合、一般相対性理論は重力と同じ結果を生み出さなければなりません。

ニュートンの重力理論によれば、球対称の物体の周りでは、物体は物理的に次の法則によって物体の中心に向かって加速されると予測される。

${\displaystyle \mathbf {\ddot {r}} =GM\mathbf {\hat {r}} /r^{2}}$

ここで、Gはニュートンの万有引力定数、Mは重力物体の質量、rは重力物体までの距離、は質量のある物体への方向を示す単位ベクトルです。 ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$

一般相対性理論の弱場近似では、同一の座標加速度が存在する必要があります。シュワルツシルト解（質量の大きい物体を取り囲む可能な限り単純な時空）の場合、積分定数を2MG/c ²に設定すると、（ニュートン物理学で）重力によって生成されるものと同じ加速度が得られます。詳細については、「シュワルツシルト解の導出」を参照してください。

一般相対性理論の基本概念のいくつかは、相対論の領域外で概説することができます。特に、質量/エネルギーが空間に曲率を生成し、曲率が質量の運動に影響を与えるという考え方は、ニュートンの設定で説明できます。

一般相対性理論は、測地線方程式と場の方程式を相対論的領域に一般化し、空間の軌道を時空の世界線に沿ったフェルミ・ウォーカー輸送に置き換えます。方程式は、より複雑な曲率にも一般化されます。

測地線方程式やアインシュタイン場の方程式を含む一般相対性理論の基本構造は、地球の周りの円軌道上の粒子の運動学と動力学を調べることによって特殊相対性理論から得ることができます。対称性の観点から見ると、この遷移には、グローバルなローレンツ共変性をローカルなローレンツ共変性に置き換えることが含まれます。

古典力学では、エネルギーと運動量の保存則は、エネルギー保存則と運動量保存則という2つの原理で別々に扱われていました。特殊相対性理論の出現により、これら2つの保存則は質量エネルギー等価性の概念を通じて統合されました。

数学的には、エネルギーと運動量保存の一般相対性理論は次のようになります。

${\displaystyle {T_{a}}^{b}{}_{;b}={T_{a}}^{b}{}_{,b}+{\Gamma ^{b}}_{cb}\,{T_{a}}^{c}-{\Gamma ^{c}}_{ab}\,{T_{c}}^{b}=0}$

ここで、は応力エネルギーテンソル、コンマは偏微分、セミコロンは共変微分を表します。クリストッフェル記号を含む項は、特殊相対論におけるエネルギー・運動量保存則には存在しません。 ${\displaystyle {T_{a}}^{b}}$

古典力学や特殊相対論とは異なり、一般相対論では全エネルギーと運動量を明確に定義することは通常不可能であるため、テンソル保存則は局所的な記述にすぎません (ただし、 ADM エネルギーを参照してください)。これは、局所法則は常に満たされているにもかかわらず、明らかにエネルギーを保存しない時間依存時空でしばしば混乱を引き起こします。任意の形状でのエネルギー運動量保存の正確な定式化には、一意ではない応力エネルギー運動量擬似テンソルを使用する必要があります。

一般相対性理論は、マクスウェル方程式の新しいバージョンを採用することで、電磁気現象の記述を修正します。これらは、共変微分を介してクリストッフェル記号が方程式内に存在するという点で、特殊相対性理論の形式とは異なります。

曲がった時空における電磁力学の源方程式は（ CGS単位）

${\displaystyle F^{\,ab}{}_{;b}={4\pi \over c}\,J^{\,a}}$

ここで、F ^{ab は}電磁場を表す電磁場テンソルであり、 J ^{a は}電磁場の発生源を表す 4 元電流です。

ソースフリー方程式は、特殊相対論の方程式と同じです。

帯電物体に対する 電磁場の影響は次のように変化する。

${\displaystyle P^{\,a}{}_{\,;\tau }=(q/m)\,F^{\,ab}P_{b}}$、

ここでqは物体の電荷、mは物体の静止質量、P ^aは荷電物体の4元運動量である。平坦時空におけるマクスウェル方程式は、共変微分を偏微分に戻すことで直交座標で復元される。曲線座標における平坦時空におけるマクスウェル方程式については、[1]または[2]を参照のこと。