ペンローズのグラフィカル表記

数学と物理学において、ペンローズのグラフィカル表記法またはテンソル図表記法は、 1971年にロジャー・ペンローズによって提案された多重線型関数またはテンソルの（通常は手書きの）視覚的表現である。 ^[1]この表記法の図は、線でつながれたいくつかの図形で構成される。

この表記法は現代の量子論、特に行列積状態と量子回路に広く見られる。特に、カテゴリカル量子力学（ ZX計算を含む）は、ペンローズ図の観点から量子論を完全に包括的に再定式化したものである。

この表記法はプレドラグ・クヴィタノヴィッチによって広く研究されており、彼はこれをファインマンの図や他の関連表記法とともに、古典的なリー群を分類するための群論的図である「バードトラック」の開発に使用した。^{[2]ペンローズの表記法は、物理学における}スピンネットワークの表現理論の使用や、線型代数の図表をトレースする行列群の存在を利用して一般化されている。

解釈

多重線型代数の言語では、各図形は多重線型関数を表します。図形に付けられた線は関数の入力または出力を表し、何らかの方法で図形を結合することは、本質的には関数の合成です。

各図形は行列を表し、テンソルの乗算は水平方向に行われ、行列の乗算は垂直方向に行われます。

計量テンソルは、使用されるテンソルの種類に応じて、U 字型ループまたは逆 U 字型ループで表されます。

レヴィ・チヴィタ反対称テンソルは、使用されるテンソルの種類に応じて、下向きまたは上向きの棒が付いた太い水平バーで表されます。

リー代数の構造定数 ( ) は、1 本の線が上向き、2 本の線が下向きの小さな三角形で表されます。 ${\gamma_{ab}}^{c}$

インデックスの収縮は、インデックスラインを結合することによって表されます。

インデックスの対称化は、インデックスラインを水平に横切る太いジグザグまたは波状のバーによって表されます。

インデックスの反対称化は、インデックスの線を水平に横切る太い直線で表されます。

行列式は、指数に反対称化を適用することによって形成されます。

共変微分（）は、微分するテンソルの周りの円と、その円から下向きに結ばれた線で表され、その線は微分の下限指数を表します。 $\nabla$

図式表記法はテンソル代数の操作に役立ちます。通常、テンソル操作のいくつかの単純な「恒等式」が含まれます。

たとえば、 n が次元数であるは共通の「恒等式」です。 $\varepsilon _{a...c}\varepsilon ^{a...c}=n!$

リーマン曲率テンソルで与えられたリッチ恒等式とビアンキ恒等式は、次の記法の威力を示している。

この表記法はスピノルとツイスターをサポートするように拡張されている。^[4]^[5]

^ Roger Penrose、「負の次元テンソルの応用」、Combinatorial Mathematics and its Applications 、Academic Press (1971)。簡単な解説については、Vladimir Turaev、 「Quantum invariants of knots and 3-manifolds」(1994)、De Gruyter、p. 71 を参照してください。
^ Predrag Cvitanović (2008). 群論: バードトラック、リー、例外群。プリンストン大学出版局。
^ ロジャー・ペンローズ、『現実への道：宇宙の法則への完全ガイド』、2005年、ISBN 0-09-944068-7 、 「n次元の多様体」の章。
^ ペンローズ、R.; リンドラー、W. (1984)。スピノルと時空：第1巻、2スピノル計算と相対論的場。ケンブリッジ大学出版局。pp. 424–434。ISBN 0-521-24527-3。
^ ペンローズ、R.; リンドラー、W. (1986)。スピノルと時空：第2巻、時空幾何学におけるスピノル法とツイスター法。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-25267-9。