ペンローズのグラフィカル表記

数学と物理学において、ペンローズのグラフィカル表記法またはテンソル図表記法は、 1971年にロジャー・ペンローズによって提案された多重線型関数またはテンソルの（通常は手書きの）視覚的表現である。 ^[1]この表記法の図は、線でつながれたいくつかの図形で構成される。

この表記法は現代の量子論、特に行列積状態と量子回路に広く見られる。特に、カテゴリカル量子力学（ ZX計算を含む）は、ペンローズ図の観点から量子論を完全に包括的に再定式化したものである。

この表記法はプレドラグ・クヴィタノヴィッチによって広く研究されており、彼はこれをファインマンの図や他の関連表記法とともに、古典的なリー群を分類するための群論的図である「バードトラック」の開発に使用した。^{[2]ペンローズの表記法は、物理学における}スピンネットワークの表現理論の使用や、線型代数の図表をトレースする行列群の存在を利用して一般化されている。

多重線型代数の言語では、各図形は多重線型関数を表します。図形に付けられた線は関数の入力または出力を表し、何らかの方法で図形を結合することは、本質的には関数の合成です。

テンソル代数の言語では、特定のテンソルは、それぞれテンソルの抽象的な上限と 下限のインデックスに対応する、上向きと下向きに伸びる多くの線を持つ特定の形状に関連付けられています。2つの形状を結ぶ線は、インデックスの縮約に対応します。この表記法の利点の1つは、新しいインデックスのために新しい文字を発明する必要がないことです。この表記法は、明示的に基底に依存しません。^[3]

各図形は行列を表し、テンソルの乗算は水平方向に行われ、行列の乗算は垂直方向に行われます。

計量テンソルは、使用されるテンソルの種類に応じて、U 字型ループまたは逆 U 字型ループで表されます。

レヴィ・チヴィタ反対称テンソルは、使用されるテンソルの種類に応じて、下向きまたは上向きの棒が付いた太い水平バーで表されます。

リー代数の構造定数 ( ) は、1 本の線が上向き、2 本の線が下向きの小さな三角形で表されます。 ${\displaystyle {\gamma_{ab}}^{c}}$

インデックスの収縮は、インデックス ラインを結合することによって表されます。

インデックスの対称化は、インデックス ラインを水平に横切る太いジグザグまたは波状のバーによって表されます。

インデックスの反対称化は、インデックスの線を水平に横切る太い直線で表されます。

行列式は、指数に反対称化を適用することによって形成されます。

共変微分（）は、微分するテンソルの周りの円と、その円から下向きに結ばれた線で表され、その線は微分の下限指数を表します。 ${\displaystyle \nabla }$

図式表記法はテンソル代数の操作に役立ちます。通常、テンソル操作の いくつかの単純な「恒等式」が含まれます。

たとえば、 n が次元数で ある は共通の「恒等式」です。${\displaystyle \varepsilon _{a...c}\varepsilon ^{a...c}=n!}$

リーマン曲率テンソルで与えられたリッチ恒等式とビアンキ恒等式は、次の記法の威力を示している。

この表記法はスピノルとツイスターをサポートするように拡張されている。^{[4] [5]}

ウィキメディア・コモンズには、ペンローズのグラフィカル記法に関連するメディアがあります。

• 抽象インデックス表記
• 角運動量図（量子力学）
• 編み込みモノイドカテゴリ
• カテゴリカル量子力学ではテンソル図表記法を使用する
• 行列積状態はペンローズのグラフィカル表記法を使用する
• リッチ計算
• スピンネットワーク
• トレース図