多項式行列スペクトル分解

多項式行列スペクトル分解または行列フェイエル・リース定理は、多項式行列の行列分解を研究するために使用されるツールです。多項式行列は、システム理論や制御理論の分野で広く研究されており、安定多項式に関連する他の用途も見られています。安定性理論では、スペクトル分解は、2変量安定多項式と実数ゼロ多項式の行列式表現を見つけるために使用されています。^[1]

単変数 正多項式、すなわちすべての に対してが与えられると、フェイエル・リースの定理により多項式スペクトル分解が得られます。この形式の結果は一般にPositivstellensatzと呼ばれます。 ${\displaystyle p(t)>0}$${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p(t)=q(t){\bar {q}}(t)}$

同様に、多項式行列スペクトル因数分解は、正定値多項式行列の因数分解を提供します。この分解は、スカラー行列のコレスキー分解にも関連しています。この結果はもともと、積分可能な対数行列式を持つ積分可能な行列値関数に関係したより一般的な文脈で、ノーバート・ウィーナーによって証明されました。 ^[2]応用では多項式制限が関係することが多いため、このケースに焦点を当てたより簡単な証明と個別の分析が存在します。^[3]より弱い正定値条件、特に多項式行列が実数の半代数的部分集合上に正定値像を持つ場合について研究されています。^[4]最近、多くの出版物がこれらの関連する結果の証明を合理化することに焦点を当てています。^{[5] [6]この記事は、初等}線型代数と複素解析のみに依存するラシャ・エフレミゼの最近の証明方法^[7]に大体従っています。 ${\displaystyle A=LL^{*}}$

スペクトル因数分解は線形-二次-ガウス制御で広く使用されており、スペクトル因子を計算するためのアルゴリズムは数多く存在します。^[8]いくつかの最新のアルゴリズムは、ウィーナーが最初に研究したより一般的な設定に焦点を当てていますが、他のアルゴリズムはテプリッツ行列の進歩を利用して因子計算を高速化しています。^{[9] [10]}

各要素が最大で - 次までの複素係数多項式である多項式行列を考えます 。 がすべての に対して正定値エルミート行列である場合、 となる多項式行列が存在します 。ここで は共役転置です。が複素係数多項式または複素係数有理関数である場合、その共役転置の要素も複素係数多項式または複素係数有理関数です。 $${\displaystyle P(t)={\begin{bmatrix}p_{11}(t)&\ldots &p_{1n}(t)\\\vdots &\ddots &\vdots \\p_{n1}(t)&\cdots &p_{nn}(t)\\\end{bmatrix}},}$$${\displaystyle p_{ij}(t)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle P(t)}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$$${\displaystyle Q(t)={\begin{bmatrix}q_{11}(t)&\ldots &q_{1n}(t)\\\vdots &\ddots &\vdots \\q_{n1}(t)&\cdots &q_{nn}(t)\\\end{bmatrix}},}$$${\displaystyle P(t)=Q(t)Q(t)^{*}}$${\displaystyle Q(t)^{*}}$${\displaystyle q_{ij}(t)}$

さらに、下半平面上で特異でないものを見つけることができます。 ${\displaystyle Q(t)}$

をすべての に対してとなる有理関数とします。すると、 となり、下半平面に極も零点も持たないような有理関数が存在します。この分解は、ノルム の複素スカラーによる乗算を除き一意です。 ${\displaystyle p(t)}$${\displaystyle p(t)>0}$${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$${\displaystyle q(t)}$${\displaystyle p(t)=q(t){\bar {q}}(t)}$${\displaystyle q(t)}$${\displaystyle 1}$

存在を証明するには、 のところで と書きます。 とすると、 は実数かつ正であると結論付けることができます。 を で割ると、単数の場合になります。分子と分母は異なる根の集合を持つため、どちらかに現れるすべての実根は、重複度が偶数でなければなりません (局所的に符号が変わるのを防ぐため)。これらの実根を割り算すると、 が複素根と極のみを持つ場合に帰着します。仮定により、 が得られます。 はすべて複素数 (したがって共役の固定点ではない) であるため、両方とも共役のペアになります。共役のペアごとに、上半平面で零点または極を選択し、これらを累積して を取得します。一意性の結果は標準的な方法で得られます。 $${\displaystyle p(x)=c{\frac {\prod _{i}(x-\alpha _{i})}{\prod _{j}(x-\beta _{j})}},}$$${\displaystyle \alpha _{i}\neq \beta _{j}}$${\displaystyle x\to \infty }$${\displaystyle c}$${\displaystyle {\sqrt {c}}}$${\displaystyle p(t)}$$${\displaystyle p(x)={\frac {\prod _{i}(x-\alpha _{i})}{\prod _{j}(x-\beta _{j})}}={\frac {\prod _{i}(x-{\bar {\alpha }}_{i})}{\prod _{j}(x-{\bar {\beta }}_{j})}}={\overline {p(x)}}.}$$${\displaystyle \alpha _{i},\beta _{j}}$${\displaystyle q(t)}$

この結果のインスピレーションは、正定値行列を特徴付ける因数分解です。

任意の正定値スカラー行列 が与えられると、コレスキー分解によりと書くことができます。ここで は下三角行列です。下三角行列に限定しない場合は、 の形式のすべての因数分解を検討できます。ユニタリ行列 による右乗法の下での の軌道を見ることで、すべての因数分解が達成されていることを確認するのは難しくありません。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle A=LL^{*}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle A=VV^{*}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle V=LU}$

下三角分解を得るには、最初の行と最初の列を分割して帰納的に計算する。これを次のように解くと、$${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&\mathbf {a} _{12}^{*}\\\mathbf {a} _{12}&A_{22}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}l_{11}&0\\\mathbf {l} _{21}&L_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}l_{11}^{*}&\mathbf {l} _{21}^{*}\\0&L_{22}^{*}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}l_{11}l_{11}^{*}&l_{11}\mathbf {l} _{21}^{*}\\l_{11}^{*}\mathbf {l} _{21}&\mathbf {l} _{21}\mathbf {l} _{21}^{*}+L_{22}L_{22}^{*}\end{bmatrix}}}$$${\displaystyle a_{ij}}$$${\displaystyle l_{11}={\sqrt {a_{11}}}}$$$${\displaystyle \mathbf {l} _{21}={\frac {1}{\sqrt {a_{11}}}}\mathbf {a} _{12}}$$$${\displaystyle L_{22}L_{22}^{*}=A_{22}-{\frac {1}{a_{11}}}\mathbf {a} _{12}\mathbf {a} _{12}^{*}}$$

は正定値なので、は正の実数であり、平方根を持ちます。右辺はのシューア補数であり、それ自体が正定値であるため、帰納法からの最後の条件となります。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle a_{11}}$${\displaystyle A}$

有理多項式行列は、各 要素が複素有理関数である行列として定義されます 。 がすべての に対して正定値エルミート行列である場合、上で実行した対称ガウス消去法によって、となる有理数が存在することを示すだけで済みます。これは、有理スペクトル因数分解から得られます。 それがわかれば、 を解くことができます。シューア補数は、極から離れた実数に対して正定値であり、シューア補数は有理多項式行列であるため、 を求めるために帰納的に実行できます。 $${\displaystyle P(t)={\begin{bmatrix}p_{11}(t)&\ldots &p_{1n}(t)\\\vdots &\ddots &\vdots \\p_{n1}(t)&\cdots &p_{nn}(t)\\\end{bmatrix}},}$$${\displaystyle p_{ij}(t)}$${\displaystyle P(t)}$${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$${\displaystyle q_{11}(t)}$${\displaystyle p_{11}(t)=q_{11}(t)q_{11}(t)^{*}}$${\displaystyle l_{11}(t),\mathbf {l} _{21}(t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle L_{22}}$

下半平面に極を持たない有理多項式行列である、が 得られることを確認するのは難しくありません。${\displaystyle P(t)=L(t)L(t)^{*}}$${\displaystyle L(t)}$

多項式行列のスペクトル因数分解の存在を証明する 1 つの方法は、有理多項式行列にコレスキー分解を適用し、下半平面の特異点を除去するように変更することです。つまり、 の 各要素がすべての に対して複素係数多項式である場合、となる下半平面の極を持たない有理多項式行列が存在します。実数 に対してユニタリ値の有理多項式行列が与えられると、別の分解が存在します^{[説明が必要]} 場合、となる スカラーユニタリ行列が存在し、 これはの最初の列が で消えることを意味します。 での特異点を除去するには、に を掛けると、どの要素の下半平面にも極を導入することなく、 a でゼロが 1 つ少ない (重複度によって) 行列式になります。 $${\displaystyle P(t)={\begin{bmatrix}p_{11}(t)&\ldots &p_{1n}(t)\\\vdots &\ddots &\vdots \\p_{n1}(t)&\cdots &p_{nn}(t)\\\end{bmatrix}},}$$${\displaystyle p_{ij}(t)}$${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$${\displaystyle L(t)}$${\displaystyle P(t)=L(t)L(t)^{*}}$${\displaystyle U(t)}$${\displaystyle t}$ $${\displaystyle P(t)=L(t)L(t)^{*}=L(t)U(t)U(t)^{*}L(t)^{*}.}$$${\displaystyle \det(L(a))=0}$ ${\displaystyle U}$$${\displaystyle Ue_{1}={\frac {a}{|a|}}.}$$${\displaystyle L(t)U}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$$${\displaystyle U(t)=\operatorname {diag} (1,\ldots ,{\frac {z-{\bar {a}}}{z-a}},\ldots ,1)}$$${\displaystyle L(t)UU(t)}$

次の有理行列分解を考えてみましょう 。この分解では、上半平面に極がありません。しかし、 であるため、 における特異点を取り除くために分解を修正する必要があります。まず、 が分解の新しい候補となるような スカラーユニタリ行列を で乗算します 。ここで、最初の列は で消えるので、 （右側） を通して を で乗算して、 を取得します 。 ここで、 これは下半平面に特異点がない、 目的の分解です。$${\displaystyle A(t)={\begin{bmatrix}t^{2}+1&2t\\2t&t^{2}+1\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}t-i&0\\{\frac {2t}{t+i}}&{\frac {t^{2}-1}{t+i}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}t+i&{\frac {2t}{t-i}}\\0&{\frac {t^{2}-1}{t-i}}\\\end{bmatrix}}.}$$$${\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}t-i&0\\{\frac {2t}{t+i}}&{\frac {t^{2}-1}{t+i}}\\\end{bmatrix}}\right)={\frac {(t-1)(t-i)(t+1)}{t+i}},}$$${\displaystyle -i}$$${\displaystyle U={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\i&-i\\\end{bmatrix}},}$$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}t-i&0\\{\frac {2t}{t+i}}&{\frac {t^{2}-1}{t+i}}\\\end{bmatrix}}U={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}t-i&t-i\\i{\frac {(t-i)^{2}}{t+i}}&-i(t+i)\\\end{bmatrix}},}$$${\displaystyle t=i}$$${\displaystyle U(t)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}{\frac {t+i}{t-i}}&0\\0&1\end{bmatrix}},}$$$${\displaystyle Q(t)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}t-i&t-i\\i{\frac {(t-i)^{2}}{t+i}}&-i(t+i)\\\end{bmatrix}}U(t)={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}t+i&t-i\\i(t-i)&-i(t+i)\\\end{bmatrix}},}$$$${\displaystyle \det(Q(t))=i(1-t^{2}).}$$${\displaystyle A(t)=Q(t)Q(t)^{*}}$

修正後、分解は下半平面上で正則かつ可逆であることを満たす。解析性を上半平面に拡張するには、次の重要な観察が必要である。可逆有理行列が下半平面上で正則である場合、下半平面上でも正則である。解析性は、随伴行列の公式から得られる（および の要素は両方とも下半平面上で解析的であるため）。有理多項式行列の行列式は、その要素が極を持つ場合にのみ極を持つことができるため、下半平面上には極を持たない。^{[注 1]}${\displaystyle P(t)=Q(t)Q(t)^{*}}$${\displaystyle Q(t)}$${\displaystyle Q(t)}$${\displaystyle Q(t)^{-1}}$${\displaystyle Q(t)}$${\displaystyle \det(Q(t))^{-1}}$${\displaystyle \det(Q(t))}$

続いて、 は下半平面上で解析的で あるため、 は上半平面上で解析的です。最後に、 が実数直線上に極を持つ場合、 は実数直線上に同じ極を持ちますが、これは、実数直線上に極が存在しない (つまり、どこでも解析的である) という仮説と矛盾します。 $${\displaystyle Q(t)=(P(t)Q(t)^{-1})^{*}.}$$${\displaystyle Q(t)^{-1}}$${\displaystyle Q(t)}$${\displaystyle Q(t)}$${\displaystyle Q(t)^{*}}$${\displaystyle P(t)}$

上記は、下半平面上で解析的かつ可逆である場合、確かにどこでも解析的であり、したがって多項式行列であることを示しています。 ${\displaystyle Q(t)}$${\displaystyle Q(t)}$

下半平面上で可逆な 2 つの多項式行列分解がある 場合、 は 下半平面上で解析的かつ非特異なので、 は下半平面上で解析的かつ可逆な有理多項式行列です。 したがって、はすべての に対してユニタリな多項式行列です。 これは、がの行である場合、 であることを意味します。 実数では、これは定数に加算される非負の多項式の合計であり、各加数が実際には定数多項式であることを意味します。 はスカラーユニタリ行列です。 $${\displaystyle P(t)=Q(t)Q(t)^{*}=R(t)R(t)^{*},}$$$${\displaystyle R(t)^{-1}Q(t)Q(t)^{*}(R(t)^{*})^{-1}=I.}$$${\displaystyle R(t)}$${\displaystyle R(t)^{-1}Q(t)}$${\displaystyle R(t)^{-1}Q(t)}$${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbf {q} _{i}(t)}$${\displaystyle i^{th}}$${\displaystyle Q(t)}$${\displaystyle \mathbf {q} _{i}(t)\mathbf {q} _{i}(t)^{*}=1}$${\displaystyle t}$${\displaystyle Q(t)=R(t)U}$${\displaystyle U}$

• 多項式の行列分解

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