優勢収束定理

測度論では、ルベーグの優勢収束定理は、関数列の極限と積分が交換可能な緩やかな十分条件を与えます。より技術的には、関数列が積分可能な関数によって絶対値が制限され、ほぼすべての点で関数に収束する場合、その列はその点ごとの極限に収束し、特に極限の積分は積分の極限である、とされています。その威力と有用性は、リーマン積分に対するルベーグ積分の2つの主要な理論的利点です。 ${\displaystyle L_{1}}$

数学的解析や偏微分方程式に頻繁に登場するほか、確率変数の期待値が収束するための十分条件を与えるため、確率論でも広く使用されています。

ルベーグの優勢収束定理。^[1]を測度空間上の複素数値の測定可能な関数の列とする。この列が関数に点ごとに収束すると仮定する。 すなわち${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)}$

は任意のに対して存在する。さらに、この数列は次のような意味で 何らかの積分可能な関数によって支配されていると仮定する。${\displaystyle x\in S}$${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq g(x)}$

全ての点とインデックスセット内の全てに対してである。すると、積分可能（ルベーグの意味で）であり、 ${\displaystyle x\in S}$${\displaystyle n}$${\displaystyle f_{n},f}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu =\int _{S}\lim _{n\to \infty }f_{n}d\mu =\int _{S}f\,d\mu }$。

実際、私たちはより強い声明を出しています

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{S}|f_{n}-f|\,d\mu =0.}$

注 1.「 は積分可能」という文は、測定可能な関数がルベーグ積分可能であることを意味します。つまり、 であるためです。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g\geq 0}$

${\displaystyle \int _{S}g\,d\mu <\infty .}$

注 2。数列 と による支配の収束は、ほとんどどこでも、つまり-測度の測定可能な集合 上を除いて、 -のみが成り立つように緩和できます。実際、積分の値を変更せずに、関数(したがってその点ごとの極限) を 上で 0 になるように変更できます。(例えば、極限 が存在する場合は常に として定義することにこだわると、内の測定不可能な部分集合が生じる可能性があります。この場合、測定空間が完全でない場合は収束が妨げられ、測定不可能になる可能性があります。ただし、空集合 内の極限を無視しても問題はありません)。したがって、 と は、 - 測度 0 の集合を除いて定義されていると考えることができます。${\displaystyle g}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle f}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle f}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mu}$

注3. の場合、支配的な積分可能関数が存在するという条件は、数列( f _n )の一様積分可能性に緩和することができます。Vitaliの収束定理を参照してください。 ${\displaystyle \mu (S)<\infty }$${\displaystyle g}$

注意 4。はルベーグ積分可能ですが、一般にリーマン積分可能ではありません。たとえば、 の有理数を順序付けし、 が上で定義されて、最初の n 個の有理数で値 1 を取り、それ以外では 0 を取るとします。すると、 は上のディリクレ関数となり、リーマン積分可能ではありませんが、ルベーグ積分可能です。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [0,1]}$

注5支配収束定理のより強いバージョンは、次のように再定式化できる。測定可能な複素関数の列がほぼすべての点で関数に収束し、ほぼすべての点で積分可能な関数によって絶対値が制限される場合、バナッハ空間において${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f_{n}\to f}$ ${\displaystyle L_{1}(S,\mu )}$

一般性を失うことなく、 f が実数であると仮定することができます。なぜなら、f を実数部と虚数部に分割し (複素数の列が収束するのは、その実数部と虚数部の両方が収束する場合のみであることを思い出してください)、最後に 三角不等式を適用できるからです。

ルベーグの優勢収束定理は、ファトゥ-ルベーグの定理の特殊なケースです。ただし、以下は、ファトゥの補題を基本的なツールとして 使用する直接的な証明です。

f はgによって支配される測定可能な関数の列 ( f _n ) の点ごとの極限であるため、測定可能でgによって支配され、したがって積分可能である。さらに、(これらは後で必要になります)

${\displaystyle |f-f_{n}|\leq |f|+|f_{n}|\leq 2g}$

すべてのnに対して、

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }|f-f_{n}|=0.}$

2番目は自明に正しい（ fの定義により）。ルベーグ積分の線形性と単調性を用いると、

${\displaystyle \left|\int _{S}{f\,d\mu }-\int _{S}{f_{n}\,d\mu }\right|=\left|\int _{S}{(f-f_{n})\,d\mu }\right|\leq \int _{S}{|f-f_{n}|\,d\mu }.}$

逆ファトゥの補題により（ここでは、| f − f _n |が積分可能な関数によって上方に制限されるという事実を使用する）

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\int _{S}|f-f_{n}|\,d\mu \leq \int _{S}\limsup _{n\to \infty }|f-f_{n}|\,d\mu =0,}$

これは、限界が存在し、消滅することを意味する。

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{S}|f-f_{n}|\,d\mu =0.}$

最後に、

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|\int _{S}fd\mu -\int _{S}f_{n}d\mu \right|\leq \lim _{n\to \infty }\int _{S}|f-f_{n}|\,d\mu =0.}$

私たちはそれを持っています

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu =\int _{S}f\,d\mu .}$

定理は次のようになります。

仮定がμ-ほぼすべての場所で成り立つ場合、関数f _n 1 _{S  \  N}がS上のすべての場所で仮定を満たす ようなμ-ヌル集合N ∈ Σが存在する。すると、_x ∈ S \ Nに対するf n ( x ) の点ごとの極限として定義され、 x ∈ N に対する f ( x ) = 0 によって定義 さ れる関数f ( x )は測定可能であり、この修正された関数列の点ごとの極限である。これらの積分の値は、この μ-ヌル集合 N上の積分関数に対するこれらの変更の影響を受けない ため、定理は引き続き成立する。

DCT は、 f _{n が}測度 (有限測度) でfに収束し、支配関数がほぼすべての点で非負で ある場合でも成立します。

シーケンスが何らかの積分可能なgによって支配されているという仮定は、無視できない。これは次のようにしてわかる。区間(0, 1/ n ]内のxに対してf _n ( x ) = n を定義し、それ以外の場合はf _n ( x ) = 0 と定義する。シーケンスを支配するgは、点ごとの上限h = sup _n f _nも支配している必要がある。

${\displaystyle \int _{0}^{1}h(x)\,dx\geq \int _{\frac {1}{m}}^{1}{h(x)\,dx}=\sum _{n=1}^{m-1}\int _{\left({\frac {1}{n+1}},{\frac {1}{n}}\right]}{h(x)\,dx}\geq \sum _{n=1}^{m-1}\int _{\left({\frac {1}{n+1}},{\frac {1}{n}}\right]}{n\,dx}=\sum _{n=1}^{m-1}{\frac {1}{n+1}}\to \infty \qquad {\text{as }}m\to \infty }$

調和級数の発散によって。したがって、ルベーグ積分の単調性は、[0,1]上の数列を支配する積分可能な関数が存在しないことを示しています。直接計算すると、積分と点ごとの極限はこの数列では可換ではないことがわかります。

${\displaystyle \int _{0}^{1}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)\,dx=0\neq 1=\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{1}f_{n}(x)\,dx,}$

なぜなら、数列の点ごとの極限はゼロ関数だからです。数列 ( f _n ) は一様積分可能でもなく、したがってVitali の収束定理も適用できないことに注意してください。

優勢収束定理の系の一つは有界収束定理であり、これは、( f _n ) が一様に有界な 複素数値測定可能関数の列であり、それが有界測度空間 ( S , Σ, μ) (つまり、μ( S ) が有限である空間) 上で関数fに点ごとに収束する場合、極限fは積分可能関数であり、

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{S}{f_{n}\,d\mu }=\int _{S}{f\,d\mu }.}$

注意:測度空間( S、Σ、μ)が完備であるか、またはμ-ほぼどこでも存在する点ごとの極限と μ-ほぼどこでも一致する測定可能な関数としてfが選択されている場合、シーケンスの点ごとの収束 と一様有界性は、 μ-ほぼどこでも のみを保持するように緩和できます。

数列は一様有界なので、すべてのx ∈ Sおよびすべてのnに対して| f _n ( x )| ≤ Mとなる実数Mが存在します。すべてのx ∈ Sに対してg ( x ) = Mと定義します。すると数列はgによって支配されます。さらに、g は有限測度の集合上の定数関数であるため積分可能です。したがって、結果は支配収束定理に従います。

仮定がμ-ほぼすべての場所で成り立つ場合、関数f _n 1 _{S \ N}がS上のすべての場所で仮定を満たす ようなμ-ヌル集合N∈Σが存在する。

を測度空間、を実数、を-測度可能な関数の列とします。 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}$${\displaystyle 1\leq p<\infty }$${\displaystyle (f_{n})}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle f_{n}:\Omega \to \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$

数列がほぼどこでも-測定可能な関数に収束し、 によって支配されていると仮定します ( Lp 空間を参照)。つまり、すべての自然数に対して、 、ほぼどこでも μ が成り立ちます。 ${\displaystyle (f_{n})}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g\in L^{p}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle |f_{n}|\leq g}$

すると、すべてと はに含まれ、シーケンスはの意味でに収束します。つまり、 ${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle (f_{n})}$${\displaystyle f}$${\displaystyle L^{p}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|f_{n}-f\|_{p}=\lim _{n\to \infty }\left(\int _{\Omega }|f_{n}-f|^{p}\,d\mu \right)^{\frac {1}{p}}=0.}$

証明のアイデア:支配関数 を持つ関数シーケンスに元の定理を適用します。 ${\displaystyle h_{n}=|f_{n}-f|^{p}}$${\displaystyle (2g)^{p}}$

優勢収束定理は、バナッハ空間に値を持つ測定可能な関数にも適用されますが、優勢関数は上記のように非負かつ積分可能です。ほぼすべての場所で収束するという仮定は、測度 での収束のみを要求するように弱めることができます。

優勢収束定理は条件付き期待値にも適用される。^[2]

• 確率変数の収束、平均の収束
• 単調収束定理（積分可能な関数による支配を必要とせず、代わりにシーケンスの単調性を仮定する）
• シェッフェの補題
• 均一な積分可能性
• ヴィタリ収束定理（ルベーグの優勢収束定理の一般化）

• バートル、RG (1995)。積分の要素とルベーグ測度。ワイリーインターサイエンス。ISBN 9780471042228。
• ロイデン、HL（1988）。実分析。プレンティスホール。ISBN 9780024041517。
• ウィアー、アラン J. (1973)。「収束定理」。ルベーグ積分と測度。ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局。93～118 ページ。ISBN 0-521-08728-7。
• ウィリアムズ、D. (1991)。マルチンゲールによる確率。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-40605-6。
• Zitkovic, Gordan (2013 年秋)。「講義 10: 条件付き期待値」(PDF) 。2020 年12 月 25 日に閲覧。