通常の埋め込み

代数幾何学において、スキームの閉じた浸漬は、 Xの各点xがYの開いたアフィン近傍Uを持ち、そのイデアルが長さrの正則な列によって生成される場合、余次元rの正則な埋め込みです。余次元 1 の正則な埋め込みは、まさに有効なカルティエ因子です。 ${\displaystyle i:X\hookrightarrow Y}$${\displaystyle X\cap U}$

例えば、XとYがスキームS上で滑らかで、iがS射であれば、iは正則埋め込みである。特に、滑らかな射のすべてのセクションは正則埋め込みである。^[1]が正則スキームに正則に埋め込まれている場合、Bは完全な交差環である。^[2]${\displaystyle \operatorname {Spec} B}$

この概念は、例えば、交差理論に対するフルトンのアプローチにおいて本質的に使用されています。重要な事実は、i が正則埋め込みのとき、I がYにおけるXの理想層である場合、の双対である正規層 は局所的に自由であり（したがってベクトル束）、自然写像は同型であるということです。つまり、正規円錐は正規束と一致です。 ${\displaystyle I/I^{2}}$${\displaystyle \operatorname {Sym} (I/I^{2})\to \oplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (\oplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1})}$

例として、等次元でないスキームがあります。例えば、次のスキーム

${\displaystyle X={\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(xz,yz)}}\right)}$

は、との和集合です。このとき、 - 軸上の任意の非原点を取ると次元 になり、 - 平面上の任意の非原点を取ると次元 になるため、埋め込みは正規ではありません。 ${\displaystyle \mathbb {A} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle X\hookrightarrow \mathbb {A} ^{3}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle xy}$${\displaystyle 2}$

有限型の射が（局所）完全交差射と呼ばれるのは、 Xの各点x が開いたアフィン近傍Uを持ち、 f | _{U が}次のように因数分解される場合です。ここでj は正則埋め込みで、gは滑らかです。 ^[3] たとえば、f が滑らかな多様体間の射である場合、f は次のように因数分解されます。ここで最初の写像はグラフ射であり、したがって完全交差射です。この定義は、平坦射の特殊なケースに対する EGA IV の定義と互換性があることに注目してください。^[4]${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle U{\overset {j}{\to }}V{\overset {g}{\to }}Y}$${\displaystyle X\to X\times Y\to Y}$

を大域的因数分解が許す局所完全交差射とする。これは、が正則埋め込みと滑らかな射である合成である。このとき、仮想接線束は、次のように与えられるX上のベクトル束のグロタンディーク群の要素である。^[5]${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle X{\overset {i}{\hookrightarrow }}P{\overset {p}{\to }}Y}$${\displaystyle i}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle T_{f}=[i^{*}T_{P/Y}]-[N_{X/P}]}$、

ここでは の相対接線層 ( は滑らかなので局所的に自由)であり、 は正規層 ( はにおけるの理想層) であり、 は 正則埋め込みなので局所的に自由です。 ${\displaystyle T_{P/Y}=\オメガ _{P/Y}^{\vee }}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle N}$${\displaystyle ({\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2})^{\vee }}$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P}$${\displaystyle i}$

より一般的には、がスキームの任意の局所完全交差射 である場合、そのコタンジェント複体はTor振幅[-1,0]の完全である。さらに、が局所的に有限型かつ局所的にノイザンである場合、逆もまた真である。^[6]${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle L_{X/Y}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle Y}$

これらの概念は、例えばグロタンディーク・リーマン・ロッホの定理で使用されます。

SGA 6 Exposé VII では、正規埋め込みの概念の次のわずかに弱い形式が使用されています。これは、上記の Noetherian スキームで示したものと一致します。

まず、可換環A上の射影加群 Eが与えられたとき、A線型写像は、それによって決定されるKoszul 複体が次元 > 0 で非巡回であるとき(したがって、 uの余核の分解であるとき)、 Koszul 正則と呼ばれます。^[7] 次に、閉じた浸漬は、それによって決定されるイデアル層が、局所的に、有限の自由A加群Eと、 Eからイデアル層への Koszul 正則な全射が存在するようなとき、 Koszul 正則と呼ばれます。^[8]${\displaystyle u:E\to A}$${\displaystyle X\hookrightarrow Y}$

^{SGA 6 [9]}で局所完全交差射の定義に使用されたのはこの Koszul 正則性です 。そこには、Koszul 正則性が、この論文の前半で示した定義を置き換えることを意図しており、その定義は元々、すでに出版されていた EGA IV ^{[10]に登場していたことが示されています。}

(この疑問が生じるのは、非ネーター環の場合、関連する素数の理論を使用できないため、零因子の議論が難しいためです。)

• 正則部分多様体

• ピエール・ベルトロ;アレクサンドル・グロタンディーク;リュック・イリュージー編（1971年）。Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1966-67 - Théorie des Intersections et théorème de Riemann-Roch - (SGA 6) (数学の講義ノート225 ) (フランス語)。ベルリン;ニューヨーク: Springer-Verlag。 xii+700。土井：10.1007/BFb0066283。ISBN 978-3-540-05647-8MR  0354655 。
• Fulton、William (1998)、交差理論、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete。 3.フォルゲ。数学における一連の現代調査 [数学および関連分野の結果。シリーズ第3弾。数学における現代調査シリーズ]、vol. 2、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-62046-4、MR  1644323、セクション B.7
• アレクサンドル・グロタンディーク;ジャン・デュドネ(1967)。 「幾何学計算の要素: IV. スキーマのロケールとスキーマの形態の練習、Quatrième party」。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。32 : 5–361。土井：10.1007/bf02732123。MR  0238860。、セクション16.9、p.46
• Illusie, Luc (1971)、Complexe Cotangent et Déformations I、Lecture Notes in Mathematics 239 (フランス語)、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-05686-7
• セルネージ、エドアルド (2006)。代数スキームの変形。フィジカ・フェルラグ。ISBN 9783540306153。