ノモグラム

ノモグラム（ギリシャ語のνόμος （nomos）「法則」とγράμμα （gramma）「描かれたもの」に由来）は、ノモグラフ、アライメントチャート、またはアバックとも呼ばれ、数学関数の近似的なグラフ計算を可能にするために設計された2次元の図であるグラフ計算装置です。ノモグラフィーの分野は、1884年にフランスのエンジニア、フィルベール・モーリス・ドカーニュ（1862-1938）によって発明され、エンジニアが複雑な数式を実用的な精度で迅速にグラフ計算できるようにするために長年広く使用されました。ノモグラムは、標準的なデカルト座標ではなく、ドカーニュによって発明された平行座標系を使用します。  

ノモグラムは、方程式の各変数に対応するn個の目盛りから構成されます。n-1個の変数の値が分かっていれば、未知の変数の値を求めることができます。また、いくつかの変数の値を固定することで、固定されていない変数間の関係を調べることもできます。結果は、目盛りの既知の値に定規を当て、その変数に対応する目盛りと交わる点から未知の値を読み取ることで得られます。定規によって作成される仮想線または描画線は、指標線または等値線と呼ばれます。

ノモグラムは、ポケット電卓が登場する以前の時代、約75年間にわたり、さまざまな場面で迅速かつ正確な計算を可能にしたため、広く利用されてきました。ノモグラムの結果は、1本または複数本の線を引くだけで、非常に迅速かつ確実に得られます。ユーザーは、代数方程式の解き方、表からのデータの検索方法、計算尺の使い方、数値を方程式に代入する方法などを知る必要はありません。ノモグラムが表す基礎となる方程式を知る必要さえありません。さらに、ノモグラムは、暗黙的または明示的なドメイン知識を自然に設計に取り入れています。たとえば、より高い精度を得るために大きなノモグラムを作成する場合、ノモグラム作成者は通常、問題にとって妥当で関心のあるスケール範囲のみを含めます。多くのノモグラムには、参照ラベルや色付き領域など、その他の便利なマーキングが含まれています。これらはすべて、ユーザーにとって有用なガイドとなります。

ノモグラムは、計算尺と同様に、グラフィカルなアナログ計算装置です。また、計算尺と同様に、その精度は、物理的な目盛りの描画、再現、表示、および位置合わせの精度によって制限されます。汎用計算装置である計算尺とは異なり、ノモグラムは、装置の 目盛りに組み込まれた値の表を用いて特定の計算を実行するように設計されています。ノモグラムは通常、その精度が十分かつ有用な用途で使用されます。あるいは、ノモグラムは、より正確ではあるものの誤差が生じやすい計算によって得られた答えを検証するためにも使用できます。

切片図、三線図、六角形図などの他のタイプのグラフ計算機も、ノモグラムと呼ばれることがあります。しかし、これらの装置は、1つ以上の線形等値線を用いて解を求めるグラフ計算機というノモグラムの定義を満たしていません。

3変数方程式のノモグラムは通常、3つの独立した尺度を持ちますが、2つまたは3つすべての尺度を組み合わせたノモグラムもあります。ここでは、2つの尺度が既知の値を表し、3つ目の尺度は結果を読み取るための尺度です。このような方程式の中で最も単純なものは、3つの変数u ₁、u ₂、u _{3に対して}u ₁ + u ₂ + u ₃ = 0です。このタイプのノモグラムの例を右側に示し、ノモグラムの各部分を説明するために使用される用語を注釈として付けています。

より複雑な方程式は、3つの変数の関数の和として表現できる場合があります。例えば、この記事の冒頭にあるノモグラムは、方程式の両辺の対数を取ることでそのような和として表現できるため、平行尺度ノモグラムとして構築することができます。

未知変数の目盛りは、他の2つの目盛りの間にある場合もあれば、それらの外側にある場合もあります。計算で得られた既知の値は、それぞれの変数の目盛りにマークされ、これらのマークの間に線が引かれます。結果は、その線が未知の変数の目盛りと交差する点で読み取られます。目盛りには、正確な数値の位置を示す「目盛り」が含まれており、ラベル付きの参照値が含まれている場合もあります。これらの目盛りは、線形、対数、またはその他のより複雑な関係を持つ場合があります。

この記事冒頭のノモグラムに赤色で示されている等値線は、S = 7.30、R = 1.17の場合のTの値を示しています。等値線はTの目盛りを 4.65 弱で横切ります。高解像度で紙に印刷すると、T = 4.64 となり、小数点以下 3 桁の精度が得られます。なお、任意の変数は他の 2 つの変数の値から計算できます。これは、ある変数を他の変数から代数的に分離できない方程式において特に役立つノモグラムの特徴です。      

直線目盛は比較的単純な計算には便利ですが、より複雑な計算には、単純な曲線目盛または複雑な曲線目盛の使用が必要になる場合があります。3つ以上の変数のノモグラムは、2つの変数の目盛グリッドを組み込むか、より少ない数の変数の個別のノモグラムを連結して複合ノモグラムを作成することによって構築できます。

ノモグラムは、幅広い用途で使用されています。例としては、以下のようなものがあります。

• ドカーニュによる最初の応用例は、フランス国鉄建設における土砂除去のための複雑な切土・盛土計算の自動化であった。これは重要な概念実証であり、計算は容易ではなく、その結果は時間、労力、費用の大幅な節約につながった。
• 水流を調整するための水路、パイプ、電線などの設計。
• ローレンス・ヘンダーソンの研究は、血液生理学のさまざまな側面を関連付けるためにノモグラムを用いたものでした。これは米国におけるノモグラムの最初の主要な使用例であり、また世界でも最初の医学的ノモグラムでもありました。
• 薬学や腫瘍学などの医療分野。^{[ 1 ]}
• 射撃管制システムが開発される以前の弾道計算では、時間の計算が非常に重要だった。
• 機械加工における計算では、設計図の寸法を変換したり、材料の寸法や特性に基づいて計算を行ったりします。これらのノモグラムには、標準寸法や入手可能な既製部品の寸法を示すマーキングが含まれていることがよくあります。
• 統計学は、分布の特性に関する複雑な計算や、品質管理のための受入試験の設計を含むオペレーションズリサーチに用いられる。
• オペレーションズ・リサーチは、様々な最適化問題において結果を得るための手法である。
• 化学および化学工学は、一般的な物理的関係と特定の化合物に関する経験的データの両方を包含する分野である。
• 航空学においては、ノモグラムは数十年にわたり、あらゆる種類の航空機の操縦席で使用されてきた。航法および飛行制御補助ツールとして、ノモグラムは高速でコンパクト、かつ使いやすい計算ツールであった。
• PE エリアスバーグによるスプートニク 1 号の打ち上げ後の軌道計算のような天文学的計算。^{[ 2 ]}
• あらゆる種類のエンジニアリング業務：フィルタや送電線の電気設計、応力や荷重の機械的計算、光学的計算など。
• 軍事分野では、複雑な計算を現場で迅速かつ確実に、電気機器に依存しない方法で行う必要がある。
• 地震学では、地震の規模を推定し、確率論的地震ハザード解析の結果を示すためにノモグラムが開発されている^{[ 3 ]。}

• カルトグラム
• ヒルベルトの第13問題
• コルモゴロフ・アーノルド表現定理
• 負荷線（電子機器）
• 対数グラフ
• 半対数グラフ
• 計算尺

• 『ノモグラフィーの技法』は、幾何学、行列式、および変換を用いてノモグラムを設計する方法を解説しています。
• 『ノモグラフィーの失われた芸術』は、ノモグラフィーの分野を概観した数学誌の記事である。
• ウォーゲーム用のノモグラムですが、一般的な関心事としても役立ちます。
• PyNomo –ノモグラムを作成するためのオープンソースソフトウェア。
• シンプルなノモグラムを作成するためのJava アプレット(2009 年 9 月 24 日にWayback Machineにアーカイブされました) 。
• 3つの変数間の関係を視覚化するためのノモグラム- useR!2011でのJonathan Rougierによる招待講演のビデオとスライド。