ニルシークエンス

数学において、ニルシーケンスはエルゴード理論と加法的組み合わせ論において重要な役割を果たす数値シーケンスの一種である。^{[ 1 ]}この概念は冪零リー群とほぼ周期性に関連している。この名称は、理論においてコンパクトニル多様体であるタイプのものが果たす役割に由来する。 $G/\Gamma$ どこ $G$ は冪零のリー群であり、 $\Gamma$ 格子状の構造になっている。

要素によって定義される基本的な nil シーケンスの概念 $g$ の $G$ 連続関数 $f$ の上 $G/\Gamma$ 取る $b(n)$ 、のために $n$ 整数として、 $f(g^{n}\Gamma )$ 一般的なニルシーケンスは、基本ニルシーケンスの均一極限です。 ^{[ 2 ]}予想と定理の記述には、技術的な付随条件と複雑さの定量化が導入されます。ニルシーケンスの組み合わせ論的な重要性の多くは、ガワーズノルムとの密接な関係を反映しています。 [ ^{3 ]ホスト}とクラが説明したように、ニルシーケンスは「ニルシステム」の軌道上の関数を評価することから生じ、ニルシステムは「多重相関の特徴」です。^{[ 4 ]}

円群の場合

円群は実数直線とその整数部分群の特殊な場合として現れる。円群は冪零類が1であり、アーベル群である。一般理論の要件は冪零類に一般化することである。 $s>1.$ 半開区間 $[0,1)は$ 基本領域であり、そのため、理論には分数部分関数が関わってくる。分数部分を含む関数 $\{\{x\}\}$ 円群内の変数の不連続性は、「括弧多項式」という名称で現れます。この理論はリプシッツ関数の設定に基づいているため、当然連続であるため、0 における小数部分の不連続性に対処する必要があります。

とはいえ、シーケンスは $\{\{\alpha n\}\}$ 、どこ $\alpha$ は与えられた無理実数であり、 $n$ 整数であり、ディオファントス近似で研究されているものは、この理論の簡単な例である。それらの構成は、エルゴード理論の歪積構成に1次元を追加したものとして考えることができる。^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}

多項式数列

虚数指数関数 $e(x)$ 実数を円群に写像する（オイラーの公式#位相的解釈を参照）。数値列 $e(P(n))$ どこ $P$ は実数係数を持つ多項式関数であり、 $n$ は整数変数であり、は三角多項式の一種で、冪零列理論の目的上「多項式列」と呼ばれます。アーベル群ではない冪零群への一般化は、群論のホール・ペトレスコ恒等式に基づいて、実用的な多項式理論を構築します。 ^{[ 7 ]}特に、多項式列には明確な次数が伴います。

メビウス関数とニル数列

一連の推測 $MN(s)$ ベン・グリーンとテレンス・タオによって、素数論のメビウス関数と $s$ -ステップのnilシーケンス。ここでは、基となるグループ $G$ は単連結かつ冪零であり、長さは最大でであると仮定する。 $s$ 検討対象のニルシーケンスは、 $f(g^{n}x\Gamma )$ 固定値付き $x$ で $G$ 、そして関数 $f$ $連続で、 [-1,1]$ の値をとる。^{[ 8 ]}ニル多様体上の明示された計量と暗黙の定数におけるリプシッツ境界を必要とする予想の形式は、平均が $\mu (n)f(g^{n}x\Gamma )$ まで $N$ は漸近的に任意の固定逆べき乗よりも小さい。 $logN.$ ^{[ 9 ]} 2012年に発表された予想を証明する論文では、メビウス関数はニルシーケンスに強く直交すると述べられている。^{[ 10 ]}

その後、グリーン、タオ、タマル・ジーグラーも家族であることを証明した $IG(s)$ ガワーズノルムの逆定理をニルシーケンスの観点から記述した。これにより、線形形式の同時素数の漸近性を証明するプログラムが完了した。^{[ 11 ]}

Taoは著書『高次フーリエ解析』の中で、逆定理の証明におけるニルシーケンスの役割についてコメントしている。問題は、IGの結果を有限体の場合から一般的な有限巡回群に拡張することであり、「古典的な位相」、つまり円群に自然な多項式の指数関数では不十分であることが判明した。ニルシーケンス以外にも選択肢があり、特に括弧多項式を直接使用する方法があった。しかし、Taoは基礎となるリー理論の構造にはニルシーケンスの方が好ましいと述べている。^{[ 12 ]}

平均化されたチョウラ予想とサルナック予想の同等形式

Tao は、ニルシーケンスに関する予想が、メビウス関数とその自己相関のみを含むSarvadaman Chowlaの有名な予想の平均形式と同等であることを証明しました。 Peter Sarnak は、エルゴード理論からのより一般的なシーケンスとメビウス関数の非相関に関する予想を立てましたが、これは Chowla の予想の結果です。平均形式に関する Tao の結果は、3 つの予想すべてが同等であることを示しました。^{[ 13 ]} Frantzikinakis と Host による2018 年の論文「エルゴード重みに対する対数 Sarnak 予想」では、このアプローチを使用して、リウヴィル関数に関する無条件の結果を証明しました。^{[ 14 ]}

注記

↑ Granville, Andrew; Nathanson, Melvyn Bernard; Solymosi, Jozsef (2007). Additive Combinatorics . American Mathematical Soc. p. 138. ISBN 978-0-8218-7039-6。
↑ Ferenczi, Sébastien; Kułaga-Przymus, Joanna; Lemańczyk, Mariusz (2018年6月15日). Ergodic Theory and Dynamical Systems in their Interactions with Arithmetics and Combinatorics: CIRM Jean-Morlet Chair, Fall 2016. Springer. p. 194 note 40. ISBN 978-3-319-74908-2。
↑エルショルツ、クリスチャン。ピーター・グラブナー（2017年5月26日）。数論 – ディオファントスの問題、一様分布と応用: ロバート F. ティシーの 60 歳の誕生日を記念してフェストシュリフト。スプリンガー。 p. 395.ISBN 978-3-319-55357-3。
↑ Host, Bernard; Kra, Bryna (2018年12月12日). Nilpotent Structures in Ergodic Theory . American Mathematical Soc. p. 7. ISBN 978-1-4704-4780-9。
↑ Bunimovich, LA; Dani, SG; Dobrushin, RL; Jakobson, MV; Kornfeld, IP; Maslova, NB; Pesin, Ya B.; Smillie, J.; Sukhov, Yu M.; Vershik, AM (2000年4月5日). Dynamical Systems, Ergodic Theory and Applications . Springer Science & Business Media. p. 24. ISBN 978-3-540-66316-4。
↑タオ、テレンス（2009）。ポアンカレの遺産、パートI：数学ブログ2年目のページ。アメリカ数学会、p.258。ISBN 978-0-8218-4883-8。
↑ Tao, Terence (2012年12月30日).高次フーリエ解析. アメリカ数学会. p. 98. ISBN 978-1-4704-5998-7。
↑ Green, Benjamin; Tao, Terence (2010). "Linear equations in primes" . Annals of Mathematics . 171 (3): 1783. arXiv : math/0606088 . doi : 10.4007/annals.2010.171.1753 . ISSN 0003-486X . JSTOR 20752252 .
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↑ Green, Ben; Tao, Terence (2012). "メビウス関数はニルシーケンスに強く直交する" . Annals of Mathematics . 175 (2): 541–566 . arXiv : 0807.1736 . doi : 10.4007/annals.2012.175.2.3 . ISSN 0003-486X . JSTOR 23234622 .
↑グレチュク、ボグダン（2021年9月21日）。21世紀数学の展望：2001～2020年の厳選された進歩。シュプリンガー・ネイチャー。10 ～ 11ページ。ISBN 978-3-030-80627-9。
↑ Tao, Terence (2012年10月4日).高次フーリエ解析. アメリカ数学会. p. 92. ISBN 978-0-8218-8986-2。
↑ Ferenczi, Sébastien; Kułaga-Przymus, Joanna; Lemańczyk, Mariusz (2018年6月15日). Ergodic Theory and Dynamical Systems in their Interactions with Arithmetics and Combinatorics: CIRM Jean-Morlet Chair, Fall 2016. Springer. p. 188. ISBN 978-3-319-74908-2。
↑ Frantzikinakis, Nikos; Host, Bernard (2018年5月1日). "エルゴード重みに対する対数的Sarnak予想". Annals of Mathematics . 187 (3). arXiv : 1708.00677 . doi : 10.4007/annals.2018.187.3.6 .

[1] Granville, Andrew; Nathanson, Melvyn Bernard; Solymosi, Jozsef (2007). Additive Combinatorics . American Mathematical Soc. p. 138. ISBN 978-0-8218-7039-6。

[2] Ferenczi, Sébastien; Kułaga-Przymus, Joanna; Lemańczyk, Mariusz (2018年6月15日). Ergodic Theory and Dynamical Systems in their Interactions with Arithmetics and Combinatorics: CIRM Jean-Morlet Chair, Fall 2016. Springer. p. 194 note 40. ISBN 978-3-319-74908-2。

[3] エルショルツ、クリスチャン。ピーター・グラブナー（2017年5月26日）。数論 – ディオファントスの問題、一様分布と応用: ロバート F. ティシーの 60 歳の誕生日を記念してフェストシュリフト。スプリンガー。 p. 395.ISBN 978-3-319-55357-3。

[4] Host, Bernard; Kra, Bryna (2018年12月12日). Nilpotent Structures in Ergodic Theory . American Mathematical Soc. p. 7. ISBN 978-1-4704-4780-9。

[5] Bunimovich, LA; Dani, SG; Dobrushin, RL; Jakobson, MV; Kornfeld, IP; Maslova, NB; Pesin, Ya B.; Smillie, J.; Sukhov, Yu M.; Vershik, AM (2000年4月5日). Dynamical Systems, Ergodic Theory and Applications . Springer Science & Business Media. p. 24. ISBN 978-3-540-66316-4。

[6] タオ、テレンス（2009）。ポアンカレの遺産、パートI：数学ブログ2年目のページ。アメリカ数学会、p.258。ISBN 978-0-8218-4883-8。

[7] Tao, Terence (2012年12月30日).高次フーリエ解析. アメリカ数学会. p. 98. ISBN 978-1-4704-5998-7。

[8] Green, Benjamin; Tao, Terence (2010). "Linear equations in primes" . Annals of Mathematics . 171 (3): 1783. arXiv : math/0606088 . doi : 10.4007/annals.2010.171.1753 . ISSN 0003-486X . JSTOR 20752252 .

[9] Green, Benjamin; Tao, Terence (2010). "Linear equations in primes" . Annals of Mathematics . 171 (3): 1788. arXiv : math/0606088 . doi : 10.4007/annals.2010.171.1753 . ISSN 0003-486X . JSTOR 20752252 .

[10] Green, Ben; Tao, Terence (2012). "メビウス関数はニルシーケンスに強く直交する" . Annals of Mathematics . 175 (2): 541–566 . arXiv : 0807.1736 . doi : 10.4007/annals.2012.175.2.3 . ISSN 0003-486X . JSTOR 23234622 .

[11] グレチュク、ボグダン（2021年9月21日）。21世紀数学の展望：2001～2020年の厳選された進歩。シュプリンガー・ネイチャー。10 ～ 11ページ。ISBN 978-3-030-80627-9。

[12] Tao, Terence (2012年10月4日).高次フーリエ解析. アメリカ数学会. p. 92. ISBN 978-0-8218-8986-2。

[13] Ferenczi, Sébastien; Kułaga-Przymus, Joanna; Lemańczyk, Mariusz (2018年6月15日). Ergodic Theory and Dynamical Systems in their Interactions with Arithmetics and Combinatorics: CIRM Jean-Morlet Chair, Fall 2016. Springer. p. 188. ISBN 978-3-319-74908-2。

[14] Frantzikinakis, Nikos; Host, Bernard (2018年5月1日). "エルゴード重みに対する対数的Sarnak予想". Annals of Mathematics . 187 (3). arXiv : 1708.00677 . doi : 10.4007/annals.2018.187.3.6 .

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3 ]ホスト

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