相互性（電気ネットワーク）

電気回路網における相互性は、2 点の電圧と電流を関連付ける回路の特性です。相互性定理は、回路内の 1 点における 2 点目の電圧による電流は、1 点目の同じ電圧による 2 点目の電流と同じであると述べています。相互性定理は、ほぼすべての受動回路網に当てはまります。相互性定理は、電磁気学における相互性のより一般的な原理の特徴です。

ポートAに注入された電流 がポートBで電圧 を生成し、ポート B に注入された電流 がポート A で電圧 を生成する場合、ネットワークは可逆的であると言われます。同様に、可逆性は、ポート A に電圧 を印加するとポート B に電流が生成され、ポート B に印加するとポート A に電流が生成されるという二重の状況によって定義できます。 ^[1] 一般に、受動ネットワークは可逆的です。理想的な静電容量、インダクタンス(相互インダクタンスを含む)、および抵抗、つまり線形かつ双方向の要素のみで構成されるネットワークは、可逆的になります。^[2] ただし、非可逆の受動コンポーネントも存在します。強磁性材料を含むコンポーネントは、非可逆である可能性があります。意図的に非可逆になるように設計された受動コンポーネントの例には、サーキュレータやアイソレータ などがあります。^[3]${\displaystyle I_{\text{A}}}$${\displaystyle V_{\text{B}}}$${\displaystyle I_{\text{A}}}$${\displaystyle V_{\text{B}}}$${\displaystyle V_{\text{A}}}$${\displaystyle I_{\text{B}}}$${\displaystyle V_{\text{A}}}$${\displaystyle I_{\text{B}}}$

逆ネットワークの伝達関数は、zパラメータ、yパラメータ、またはsパラメータ行列で表現すると、主対角線に関して対称であるという性質があります。非対称行列は非逆ネットワークを意味します。対称行列は対称ネットワークを意味しません。^[4]

ネットワークのいくつかのパラメータ化では、相反ネットワークの代表行列は対称ではありません。一般的な例としてはhパラメータとABCDパラメータがありますが、これらにはすべて、パラメータから計算できる相反性に関する別の条件があります。hパラメータの場合、条件は で、ABCDパラメータの場合、条件は です。これらの表現では、同じ列ベクトルに電圧と電流が混在しているため、転置された要素に一致する単位さえありません。^[5]${\displaystyle h_{12}=-h_{21}}$${\displaystyle AD-BC=1}$

相互性の例は、非対称抵抗減衰器を使用して実証できます。対称ネットワークは自明に相互的であるため、非対称ネットワークが例として選択されています。

このネットワークのポート 1 に 6アンペアを注入すると、ポート 2 に 24ボルトが生成されます。

ポート 2 に 6 アンペアを注入すると、ポート 1 に 24 ボルトが生成されます。

したがって、ネットワークは相互的です。この例では、電流を注入していないポートはオープン回路のままです。これは、ゼロ電流を流す電流発生器がオープン回路であるためです。一方、電圧を印加して結果として生じる電流を測定する場合は、電圧が印加されていないポートをショート回路にします。これは、ゼロボルトを印加する電圧発生器がショート回路であるためです。

電気回路網の相互性はローレンツ相互性の特殊なケースであるが、回路網定理から直接証明することもできる。この証明では、2 ノードの回路網の相互性をそのアドミタンス行列で示し、次に帰納的議論によって任意の数のノードを持つ回路網の相互性を示す。線形回路網は、ノード解析によって一連の線形方程式として表すことができる。n +1 個のノード（1 つは基準ノード）で構成される回路網では、一般にアドミタンスが各ノード ペア間に接続され、各ノードに電流が注入される（ノードと基準ノード間に接続された理想的な電流源によって提供される）ため、これらの方程式はアドミタンス行列の形式で表すことができる。^[6]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\\\vdots \\I_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Y_{11}&Y_{12}&\cdots &Y_{1n}\\Y_{21}&Y_{22}&\cdots &Y_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\Y_{n1}&Y_{n2}&\cdots &Y_{nn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{1}\\V_{2}\\\vdots \\V_{n}\end{bmatrix}}}$

どこ

${\displaystyle I_{k}}$は発電機によってノードkに注入される電流です（ノードkに電流源が接続されていない場合はゼロになります）

${\displaystyle V_{k}}$は、基準ノードに対するノードkの電圧です（ノードkの電位とも言えます）。

${\displaystyle Y_{jk}}$( j ≠ k ) は、ノードjとk (存在する場合)を直接接続するアドミタンスの負数です。

${\displaystyle Y_{kk}}$ノードkに接続されているアドミタンスの合計です(アドミタンスが接続されている他のノードに関係なく)。

この表現は、ノード解析によって得られる表現に対応する。さらに、ネットワークが受動的な双方向要素で構成されていると仮定すると、

${\displaystyle Y_{jk}=Y_{kj}}$

ノードjとk間に接続されたアドミタンスはノードkとj間に接続されたアドミタンスと同じ要素であるため、行列は対称である。^[7]行列が次のように簡約される 場合、${\displaystyle n=2}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Y_{11}&Y_{12}\\Y_{21}&Y_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}}}$。

そこからわかるのは、

${\displaystyle Y_{12}=\left.{\frac {I_{1}}{V_{2}}}\right|_{V_{1}=0}}$そして

${\displaystyle Y_{21}=\left.{\frac {I_{2}}{V_{1}}}\right|_{V_{2}=0}\ .}$

しかしそれ以来、 ${\displaystyle Y_{12}=Y_{21}}$

${\displaystyle \left.{\frac {I_{1}}{V_{2}}}\right|_{V_{1}=0}=\left.{\frac {I_{2}}{V_{1}}}\right|_{V_{2}=0}}$

これは相互性の条件と同義である。つまり、駆動されるポートと測定されるポートが入れ替わっても、あるポートの電流と別のポートの電圧の比は同じである。したがって、相互性はの場合に証明される。^[8]${\displaystyle n=2}$

任意のサイズの行列の場合、ノードの削除によって行列の次数を減らすことができます。s番目のノードを削除した後、新しいアドミタンス行列は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}(Y_{11}Y_{ss}-Y_{s1}Y_{1s})&(Y_{12}Y_{ss}-Y_{s2}Y_{1s})&( Y_{13}Y_{ss}-Y_{s3}Y_{1s})&\cdots \\(Y_{21}Y_{ss}-Y_{s1}Y_{2s})&(Y_{22}Y_{ ss}-Y_{s2}Y_{2s})&(Y_{23}Y_{ss}-Y_{s3}Y_{2s})&\cdots \\(Y_{31}Y_{ss}-Y_{s1}Y_{3s})&(Y_{32}Y_{ss}-Y_{s2}Y_{3s})&(Y_{33}Y_{ss }-Y_{s3}Y_{3s})&\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \end{bmatrix}}}$

この新しい行列も対称的であることがわかります。この方法でノードを削除し続けると、2 つのノードを含む 2×2 対称行列だけが残ります。この行列は対称的であるため、1 つのノードが電圧によって駆動され、別のノードで測定された電流によって駆動される場合、相互性が任意のサイズの行列に適用されることが証明されています。メッシュ解析からのインピーダンス行列を使用した同様のプロセスは、1 つのノードが電流によって駆動され、別のノードで電圧が測定される場合の相互性を示しています。^[9]

• Bakshi, UA; Bakshi, AV、「Electrical Networks」、Technical Publications、2008 ISBN  8184314647。
• ギルマン、エルンスト A.、入門回路理論、ニューヨーク：ジョン ワイリー アンド サンズ、1953 OCLC  535111
• Kumar, KS Suresh、「Electric Circuits and Networks」、Pearson Education India、2008年ISBN 8131713903。 
• Harris, Vincent G.、「マイクロ波フェライトとその応用」、Mailadil T. Sebastian、Rick Ubic、Heli Jantunen、 『マイクロ波材料と応用』、John Wiley & Sons、2017年、ISBN 1119208521、第14章。 
• Zhang, Kequian; Li, Dejie、「マイクロ波とオプトエレクトロニクスのための電磁気理論」、Springer Science & Business Media、2013年ISBN 3662035537。