神経複合体

位相幾何学において、集合族の神経複合体は、族内の集合間の交差パターンを記録する抽象複合体である。これはパベル・アレクサンドロフ^[1]によって導入され、現在では多くの変種や一般化があり、その中には被覆のチェフ神経があり、これはハイパーカバーによって一般化されている。これは、アルゴリズム的または組み合わせ的な方法で多くの興味深い位相特性を捉えている。^[2]

を添字の集合とし、を集合の族とする。の集合は添字集合 の有限部分集合の集合である。 には、その部分添字が に含まれるの共通部分が空でないような有限部分集合がすべて含まれる: ^{[3] : 81}${\displaystyle I}$${\displaystyle C}$${\displaystyle (U_{i})_{i\in I}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle I}$${\displaystyle J\subseteq I}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle J}$

${\displaystyle N(C):={\bigg \{}J\subseteq I:\bigcap _{j\in J}U_{j}\neq \varnothing ,J{\text{ 有限集合}}{\bigg \}}.}$

アレクサンドロフの元の定義では、集合はある位相空間の開集合です。 ${\displaystyle (U_{i})_{i\in I}}$${\displaystyle X}$

集合には、単集合（ が空でない要素）、対（ となる要素の対）、三重項などが含まれることがあります。の場合、の任意の部分集合も に含まれるため、抽象単体複合体 が形成されます。したがって、N(C)は の神経複合体と呼ばれることがよくあります。 ${\displaystyle N(C)}$${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle i,j\in I}$${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\neq \emptyset }$${\displaystyle J\in N(C)}$${\displaystyle J}$${\displaystyle N(C)}$${\displaystyle N(C)}$${\displaystyle C}$

1. X を円、 とします。ここで はの上半分を覆う弧、は の下半分を覆う弧で、両側でいくらか重なっています ( 全体を覆うためには、両側で重なっている必要があります)。すると となり、これは抽象的な 1 単体になります。${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle C=\{U_{1},U_{2}\}}$${\displaystyle U_{1}}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle U_{2}}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle N(C)=\{\{1\},\{2\},\{1,2\}\}}$
2. X を円、 とします。ここで、それぞれはの 1/3 を覆う弧であり、隣接する と一部重なっています。このとき、となります。3つの集合の共通部分は空であるため、{1,2,3} は に含まれないことに注意してください。また、塗りつぶされていない三角形も同様です。${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle C=\{U_{1},U_{2},U_{3}\}}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle N(C)=\{\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{2,3\},\{3,1\}\}}$${\displaystyle N(C)}$${\displaystyle N(C)}$

位相空間の開被覆、またはより一般的には サイトの被覆が与えられた場合、ペアワイズファイバー積（位相空間の場合はまさに交差 ）を考えることができます。このような交差の集合は、三重交差はと呼ばれます。 ${\displaystyle C=\{U_{i}:i\in I\}}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{ij}=U_{i}\times _{X}U_{j}}$${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}$${\displaystyle C\times _{X}C}$${\displaystyle C\times _{X}C\times _{X}C}$

自然写像とを考慮すると、 n倍のファイバー積で定義される単体オブジェクトを構築できる。これがチェフ神経である。^[4]${\displaystyle U_{ij}\to U_{i}}$${\displaystyle U_{i}\to U_{ii}}$ ${\displaystyle S(C)_{\bullet }}$${\displaystyle S(C)_{n}=C\times _{X}\cdots \times _{X}C}$

連結成分を取ることで単体集合が得られ、これを位相的に実現することができます。 ${\displaystyle |S(\pi _{0}(C))|}$

神経複合体は単純な組み合わせオブジェクトです。多くの場合、神経複合体は基礎となる位相空間 ( 内の集合の和集合) よりもはるかに単純です。したがって、 の位相が の位相と同等であるかどうかは自然な疑問です。 ${\displaystyle N(C)}$${\displaystyle C}$${\displaystyle N(C)}$${\displaystyle \bigcup C}$

一般に、これは必ずしも当てはまりません。たとえば、上記の例 1 のように、交差が空でない2 つの収縮可能な集合とで任意のn球面を覆うことができます。この場合、は抽象的な 1 単体であり、直線に似ていますが球には似ていません。 ${\displaystyle U_{1}}$${\displaystyle U_{2}}$${\displaystyle N(C)}$

しかし、場合によってはXの位相を反映します。たとえば、円が3つの開いた弧で覆われていて、上記の例2のように対になって交差している場合、 Xは2単体（内部なし）であり、元の円とホモトピー同値です。 ^[5]${\displaystyle N(C)}$${\displaystyle N(C)}$

神経定理（または神経補題）は、 C がの位相をある意味で反映することを保証する十分な条件を与える定理です。関数神経定理は、適切な意味で関数的な神経定理であり、たとえば位相データ解析では重要です。^[6]${\displaystyle N(C)}$${\displaystyle \bigcup C}$

ジャン・ルレーの基本的な神経定理によれば、 内の任意の集合の交差が収縮可能であれば（つまり、各有限 に対して集合 は空か収縮可能のいずれかである、つまり、Cは良好な開被覆である）、 は とホモトピー同値である、とされます。 ${\displaystyle N(C)}$${\displaystyle J\subset I}$${\displaystyle \bigcap _{i\in J}U_{i}}$${\displaystyle N(C)}$${\displaystyle \bigcup C}$

離散バージョンがあり、これはBorsukによるものとされています。^{[7] [3] : 81, Thm.4.4.4} K ₁ ,...,K _{n を}抽象単体複体とし、それらの和集合をKで表します。U _i = || K _i || = K _iの幾何学的実現とし、{ U ₁ , ... , U _n }の集合をNで表します。

空でない各 について、交差が空または収縮可能である場合、N はKとホモトピー同値です。 ${\displaystyle J\subset I}$${\displaystyle \bigcap _{i\in J}U_{i}}$

より強い定理がアンダース・ビョルナーによって証明されました。^[8]空でない各 に対して、交差 が空または(k-|J|+1)-連結である場合、すべてのj ≤ kに対して、Nのj番目のホモトピー群はKのj番目のホモトピー群と同型です。特に、Kがk-連結である場合に限り、Nがk-連結です。 ${\displaystyle J\subset I}$${\displaystyle \bigcap _{i\in J}U_{i}}$

もう一つの神経定理は上記のチェフ神経と関連している。 がコンパクトでC内の集合の交差がすべて収縮可能または空である場合、空間はとホモトピー同値である。^[9]${\displaystyle X}$${\displaystyle |S(\pi _{0}(C))|}$${\displaystyle X}$

次の神経定理は、被覆内の集合の交差のホモロジー群を使用する。 ^[10]各有限 に対して、のj番目の縮小ホモロジー群を表す。 ${\displaystyle J\subset I}$${\displaystyle H_{J,j}:={\tilde {H}}_{j}(\bigcap _{i\in J}U_{i})=}$${\displaystyle \bigcap _{i\in J}U_{i}}$

H _{J,j が}N( C ) のkスケルトン内のすべてのJと{0, ..., k -dim( J )}内のすべてのjに対する自明な群である場合、N( C ) は次の意味でXと「ホモロジー同値」です。

• ${\displaystyle {\tilde {H}}_{j}(N(C))\cong {\tilde {H}}_{j}(X)}${0, ..., k }内のすべてのjについて;
• ならば。 ​${\displaystyle {\tilde {H}}_{k+1}(N(C))\not \cong 0}$${\displaystyle {\tilde {H}}_{k+1}(X)\not \cong 0}$

• ハイパーカバーリング