ハリネズミ（幾何学）

微分幾何学において、ハリネズミまたは平面ハリネズミは平面曲線の一種であり、サポート関数によって決定される線族の包絡線です。より直感的に言えば、十分に行儀の良いハリネズミは、各方向に 1 つの接線を持つ平面曲線です。射影ハリネズミは、反対称サポート関数から定義される制限されたタイプのハリネズミであり、（これも十分に行儀が良い場合）方向に関係なく、各方向に 1 つの接線を持つ曲線を形成します。

すべての閉じた凸曲線、およびその支持線の包絡線。小惑星は非凸ハリネズミを形成し、三角曲線は射影ハリネズミを形成します。

ヘッジホッグは、高次元の超平面のサポート関数から定義することもできます。

正式には、平面サポート関数は、平面上の単位円から実数への連続的に微分可能な関数 として定義できます。または、角度から実数への関数として定義することもできます。単位円上の各点に対して、直線、つまり となる点の集合を定義します。この直線はベクトル に垂直で、点 を通り、原点からの距離にあります。サポート関数は、すべての、に対して、または同等に角度 に関して となり、と が互いに同じ直線を定義する場合、反対称です。 ^[1]${\displaystyle h}$${\displaystyle f(\theta )=h{\bigl (}(\cos \theta ,\sin \theta ){\bigr )}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p\cdot q=h(q)}$${\displaystyle q}$${\displaystyle qh(q)}$${\displaystyle |h(q)|}$${\displaystyle q}$${\displaystyle h(-q)=-h(q)}$${\displaystyle f(\theta )=-f(\theta +\pi )}$${\displaystyle q}$${\displaystyle -q}$

任意のサポート関数が与えられた場合、そのハリネズミは と表記されます。関数と角度に関して、パラメトリック方程式が存在します^[1]${\displaystyle h}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{h}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \theta}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=f(\theta )\cos \theta -f'(\theta )\sin \theta \\y&=f(\theta )\sin \theta +f'(\theta )\cos \theta \end{整列}}}$

ハリネズミは、各点で接線を持つ場合、特異ではない。射影ハリネズミは反対称サポート関数によって定義される。ハリネズミは、サポート関数によって定義された超平面のエンベロープとして、高次元でも同様に定義できる。^{[2] [3]}

凸集合のサポート線を記述するサポート関数は によって定義されます。任意の厳密な凸集合のサポート関数のヘッジホッグは、サポート線の角度によってパラメータ化された境界です。^[4]凸集合が厳密な凸でない場合（境界に線分がある場合）、そのサポート関数は連続ですが連続的に微分可能ではなく、上記のパラメトリック方程式は連続曲線を定義する代わりに線分を不連続に飛び越えるため、ヘッジホッグとして定義されません。アステロイドは非凸ヘッジホッグの例を提供します。^[5]${\displaystyle K}$${\displaystyle h(q)=\max\{p\cdot q\mid p\in K\}}$

反対称サポート関数から定義される射影ハリネズミの例は、三角曲線で与えられます。三角曲線は単純な閉曲線ですが、他のハリネズミは自己交差したり、その他の点で動作が悪くなることがあります。特に、ワイエルシュトラス関数に基づく反対称サポート関数が存在し、それに対応する射影ハリネズミは連続しているがどこでも微分不可能で長さが無限のフラクタル曲線です。 ^[4]

平面上の厳密に凸な物体はすべて射影ハリネズミを定義し、その中間のハリネズミ は、各平行支持線の間の中間にある線の包絡線です。三角形は厳密に凸ではありませんが、三角形に対してこのように定義された包絡線は、その中点三角形です。中間のハリネズミの点は、各平行支持線が物体に接する点のペアを結ぶ線分の中点です。その長さは有限で、物体の周囲の半分に等しくなります。中間のハリネズミの凸包の各端点は凸点であり、この点を通る物体の反射との結合が凸となる点です。このような点は常に少なくとも 3 つあり、三角形とルーローの三角形は、ちょうど 3 つある例です。^[6]

特異でないハリネズミは、定義する線族に属する、各方向に固有の接線を持ちます。同様に、十分に振る舞いの良い射影ハリネズミは、方向に関係なく、各方向に固有の接線を持ちます。

ハリネズミのペアは、そのサポート関数の点ごとの和によって結合できます。この操作は、凸体のミンコフスキー加算を拡張したもので、さまざまな点でミンコフスキー加算に類似しています。 ^{[7]これは、}一定幅の曲線を特徴付けるために使用できます。凸ハリネズミが一定幅を持つのは、そのサポート関数が射影ハリネズミのサポート関数に追加されることによって形成される場合のみです。つまり、一定幅の曲線は、射影ハリネズミと円の和として形成される凸ハリネズミとまったく同じです。^[1]${\displaystyle w}$${\displaystyle w/2}$

すべての射影ハリネズミには少なくとも3つの特異点（典型的には尖点）がある。射影ハリネズミの長さが有限である場合、レオンハルト・オイラーの構成によれば、十分に大きな半径を持つそのインボリュートは一定幅の曲線となる。 ^[8]

より一般的には、ハリネズミは凸体の形式的な差を表す自然な幾何学的オブジェクトです。ユークリッドベクトル空間内の凸体の順序付きペア (K,L) が与えられた場合、内の形式的な差 K – L を表すハリネズミが 1 つだけ存在します。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$

平面上の多角形の場合:

正のガウス曲率を持つ滑らかな凸体の場合:

同じ外単位法線に対応する点を減算することによって 2 つの凸超曲面 (正のガウス曲率を持つ) を減算すると、(おそらく特異で自己交差する) 超曲面が得られます。

凸体のミンコフスキー差を利用するというアイデアは、1930年代のADアレクサンドロフとH.ゲッパートによる2つの論文^[9]に遡ることができる。凸体に関する多くの古典的な概念はハリネズミにまで拡張され、古典的な結果の相当数が対応するものを見つけている。もちろん、いくつかの適応が必要である。特に、ボリュームは代数バージョンに置き換える必要がある。^[10]

一連の論文の中で、ハリネズミとその拡張は、Y. マルティネス＝モールによって様々な観点から研究された。^[11]このハリネズミ理論の最も印象的な結果は、2次元球面の古くから予想されていた特徴に対する反例の構築であった。^{[12] [13] [14] [15] [10]}