平均場理論

物理学と確率論において、平均場理論( MFT ) または自己無撞着場理論は、自由度(統計の最終計算で自由に変化できる値の数)を平均して元のモデルを近似するより単純なモデルを研究することにより、高次元ランダム ( 確率 ) モデルの挙動を研究します。このようなモデルでは、相互に作用する多数の個別のコンポーネントを考慮します。

MFT の主なアイデアは、あらゆる 1 つの物体に対するすべての相互作用を平均的または有効な相互作用 (分子場と呼ばれることもある) に置き換えることです。^[1]これにより、あらゆる多体問題が有効1 体問題に簡略化されます。MFT の問題を簡単に解決できるということは、システムの挙動に関する洞察をより低い計算コストで得られることを意味します。

MFTはそれ以来、統計的推論、グラフィカルモデル、神経科学、^[2] 人工知能、伝染病モデル、^[3] 待ち行列理論、^[4] コンピュータネットワークのパフォーマンスとゲーム理論、^{[5]量子応答均衡[要出典]}など、物理学以外の幅広い分野に応用されてきました。

この考え方は、ピエール・キュリー^[6]とピエール・ワイス^[7]の研究で相転移を説明するために物理学（統計力学）に初めて登場しました。MFTは、ブラッグ・ウィリアムズ近似、ベーテ格子上のモデル、ランダウ理論、ピエール・ワイス近似、フローリー・ハギンズ解理論、およびショイチェンス・フリーア理論で使用されてきました。

多くの（時には無限の）自由度を持つシステムは、いくつかの単純なケース（例えば、特定のガウスランダムフィールド理論、1Dイジングモデル）を除いて、正確に解いたり、閉じた解析形式で計算したりすることが一般的に困難です。システムのパーティション関数の計算などを困難にする組み合わせ問題が頻繁に発生します。MFT は、元の問題を解けるようにし、計算できるようにする近似法であり、場合によっては MFT によって非常に正確な近似が得られることがあります。

場の理論では、ハミルトニアンは場の平均の周りの変動の大きさに関して展開されることがあります。この文脈では、MFT は変動におけるハミルトニアンの「ゼロ次」展開として見ることができます。物理的には、これは MFT システムに変動がないことを意味しますが、これはすべての相互作用を「平均場」に置き換えるという考えと一致します。

多くの場合、MFT は高次の変動を研究するための便利な出発点を提供します。たとえば、分割関数を計算するときに、ハミルトニアンの相互作用項の組み合わせ論を研究すると、せいぜい摂動結果や、平均場近似を修正する ファインマン図が生成されることがあります。

一般的に、次元は、平均場アプローチが特定の問題に有効かどうかを決定する際に重要な役割を果たします。場合によっては、それを超えると MFT が有効になり、それ以下になると無効になる 臨界次元が存在することがあります。

経験的に、MFT では多くの相互作用が 1 つの有効相互作用に置き換えられます。したがって、フィールドまたは粒子が元のシステムで多くのランダムな相互作用を示す場合、それらは互いに打ち消し合う傾向があるため、平均有効相互作用と MFT はより正確になります。これは、高次元の場合、ハミルトニアンに長距離力が含まれる場合、または粒子が拡張されている場合 (例:ポリマー) に当てはまります。ギンツブルグ基準は、変動がMFT をいかに悪い近似にするかを正式に表現したもので、多くの場合、対象システムの空間次元の数に依存します。

平均場理論の正式な基礎はボゴリュボフの不等式である。この不等式は、ハミルトニアンを持つ系の 自由エネルギーが

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H}}_{0}+\Delta {\mathcal {H}}}$

上限は次のようになります。

${\displaystyle F\leq F_{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \langle {\mathcal {H}}\rangle _{0}-TS_{0},}$

ここではエントロピー、および はヘルムホルツ自由エネルギーです。平均は、ハミルトニアン を持つ参照システムの平衡アンサンブルにわたって取られます。参照ハミルトニアンが非相互作用システムのものである特別な場合、次のように書くことができます。 ${\displaystyle S_{0}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F_{0}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{0}}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{0}=\sum _{i=1}^{N}h_{i}(\xi _{i}),}$

ここで、 は統計システムの個々のコンポーネント (原子、スピンなど) の自由度です。不等式の右辺を最小化することで上限を明確にすることができます。最小化する参照システムは、相関のない自由度を使用した真のシステムに対する「最良の」近似であり、平均場近似として知られています。 ${\displaystyle \xi_{i}}$

最も一般的なケースでは、対象ハミルトニアンにはペアワイズ相互作用のみが含まれる。つまり、

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{(i,j)\in {\mathcal {P}}}V_{i,j}(\xi _{i},\xi _{j} )、}$

ここで、相互作用するペアの集合は、最小化手順を形式的に実行することができます。 を、単一成分の自由度にわたる観測量の一般化された合計（離散変数の場合は合計、連続変数の場合は積分）として定義します。近似自由エネルギーは次のように与えられます。 ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle \operatorname {Tr} _{i}f(\xi _{i})}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{0}&=\operatorname {Tr} _{1,2,\ldots ,N}{\mathcal {H}}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N})P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N})\\&+kT\,\operatorname {Tr} _{1,2,\ldots ,N}P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N})\log P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N}),\end{aligned}}}$

ここで、は変数によって指定された状態にある参照システムを見つける確率である。この確率は正規化されたボルツマン因子によって与えられる。${\displaystyle P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\dots ,\xi _{N})}$${\displaystyle (\xi _{1},\xi _{2},\dots ,\xi _{N})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N})&={\frac {1}{Z_{0}^{(N)}}}e^{-\beta {\mathcal {H}}_{0}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N})}\\&=\prod _{i=1}^{N}{\frac {1}{Z_{0}}}e^{-\beta h_{i}(\xi _{i})}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \prod _{i=1}^{N}P_{0}^{(i)}(\xi _{i}),\end{aligned}}}$

ここで は分割関数である。したがって ${\displaystyle Z_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{0}&=\sum _{(i,j)\in {\mathcal {P}}}\operatorname {Tr} _{i,j}V_{i,j}(\xi _{i},\xi _{j})P_{0}^{(i)}(\xi _{i})P_{0}^{(j)}(\xi _{j})\\&+kT\sum _{i=1}^{N}\operatorname {Tr} _{i}P_{0}^{(i)}(\xi _{i})\log P_{0}^{(i)}(\xi _{i}).\end{aligned}}}$

最小化するために、ラグランジュ乗数を使用して1自由度確率に関する微分をとり、適切な正規化を確実にします。最終結果は、自己無撞着方程式のセットです。 ${\displaystyle P_{0}^{(i)}}$

${\displaystyle P_{0}^{(i)}(\xi _{i})={\frac {1}{Z_{0}}}e^{-\beta h_{i}^{MF}(\xi _{i})},\quad i=1,2,\ldots ,N,}$

ここで平均場は次のように与えられる。

${\displaystyle h_{i}^{\text{MF}}(\xi _{i})=\sum _{\{j\mid (i,j)\in {\mathcal {P}}\}}\operatorname {Tr} _{j}V_{i,j}(\xi _{i},\xi _{j})P_{0}^{(j)}(\xi _{j}).}$

平均場理論は、相転移などの現象を研究するために、多くの物理系に適用することができます。^[8]

上に示したボゴリュボフの不等式は、2次元イジング格子の平均場モデルのダイナミクスを見つけるために使用できます。磁化関数は、結果として得られる近似自由エネルギーから計算できます。^[9]最初のステップは、真のハミルトニアンのより扱いやすい近似を選択することです。非相互作用場ハミルトニアンまたは有効場ハミルトニアンを使用すると、

${\displaystyle -m\sum _{i}s_{i}}$、

変分自由エネルギーは

${\displaystyle F_{V}=F_{0}+\left\langle \left(-J\sum s_{i}s_{j}-h\sum s_{i}\right)-\left(-m\sum s_{i}\right)\right\rangle _{0}.}$

ボゴリュボフの不等式により、この量を単純化し、変分自由エネルギーを最小化する磁化関数を計算すると、実際の磁化に最も近似した値が得られる。最小化関数は

${\displaystyle m=J\sum \langle s_{j}\rangle _{0}+h,}$

これはスピンの集団平均である。これは次のように簡略化される。

${\displaystyle m={\text{tanh}}(zJ\beta m)+h.}$

すべてのスピンが感じる有効磁場を平均スピン値と等しくすることは、変分アプローチを変動の抑制に関連付けます。磁化関数の物理的解釈は、個々のスピンの平均値のフィールドになります。

次元格子上のイジングモデルを考える。ハミルトニアンは次のように与えられる。 ${\displaystyle d}$

${\displaystyle H=-J\sum _{\langle i,j\rangle }s_{i}s_{j}-h\sum _{i}s_{i},}$

ここで、 は最も近い隣接スピンのペアの合計を示し、 は隣接するイジングスピンです。 ${\displaystyle \sum _{\langle i,j\rangle }}$${\displaystyle \langle i,j\rangle }$${\displaystyle s_{i},s_{j}=\pm 1}$

スピン変数をその平均値からの変動を導入して変換してみましょう。ハミルトニアンを次のように書き直すことができます。 ${\displaystyle m_{i}\equiv \langle s_{i}\rangle }$

${\displaystyle H=-J\sum _{\langle i,j\rangle }(m_{i}+\delta s_{i})(m_{j}+\delta s_{j})-h\sum _{i}s_{i},}$

ここで を定義します。これはスピンの 変動です。${\displaystyle \delta s_{i}\equiv s_{i}-m_{i}}$

右辺を展開すると、スピンの平均値に完全に依存し、スピン構成とは無関係な項が 1 つ得られます。これは自明な項であり、システムの統計的特性には影響しません。次の項は、スピンの平均値と変動値の積に関係する項です。最後に、最後の項は 2 つの変動値の積に関係します。

平均場近似は、この2次変動項を無視することから成ります。

${\displaystyle H\approx H^{\text{MF}}\equiv -J\sum _{\langle i,j\rangle }(m_{i}m_{j}+m_{i}\delta s_{j}+m_{j}\delta s_{i})-h\sum _{i}s_{i}.}$

これらの変動は低次元で強化されるため、MFT は高次元に対してより優れた近似値となります。

再び、加数は再展開できる。さらに、イジング鎖は並進不変なので、各スピンの平均値はサイトに依存しないと予想される。これは、

${\displaystyle H^{\text{MF}}=-J\sum _{\langle i,j\rangle }{\big (}m^{2}+2m(s_{i}-m){\big )}-h\sum _{i}s_{i}.}$

隣接するスピンの合計は と書き直すことができ、ここで は「 の最も近い隣接」を意味し、各結合が2つのスピンに関与するため、前置因子は二重カウントを回避します。簡略化すると、最終的な式は次のようになります。 ${\displaystyle \sum _{\langle i,j\rangle }={\frac {1}{2}}\sum _{i}\sum _{j\in nn(i)}}$${\displaystyle nn(i)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle 1/2}$

${\displaystyle H^{\text{MF}}={\frac {Jm^{2}Nz}{2}}-\underbrace {(h+mJz)} _{h^{\text{eff.}}}\sum _{i}s_{i},}$

ここで、 は配位数です。この時点で、イジングハミルトニアンは、有効平均場を持つ一体ハミルトニアンの和に分離されています。有効平均場は、外部場と、隣接するスピンによって誘導される平均場の合計です。この平均場は、最も近い隣接の数、したがってシステムの次元に直接依存することに注意してください (たとえば、次元 の超立方格子の場合は) 。 ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle h^{\text{eff.}}=h+Jzm}$${\displaystyle h}$${\displaystyle d}$${\displaystyle z=2d}$

このハミルトニアンを分割関数に代入し、有効1D問題を解くと、次の式が得られます。

${\displaystyle Z=e^{-{\frac {\beta Jm^{2}Nz}{2}}}\left[2\cosh \left({\frac {h+mJz}{k_{\text{B}}T}}\right)\right]^{N},}$

ここで は格子点の数です。これはシステムの分配関数の閉じた正確な表現です。システムの自由エネルギーを取得し、臨界指数を計算できます。特に、磁化を の関数として取得できます。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle m}$${\displaystyle h^{\text{eff.}}}$

したがって、との間には 2 つの方程式があり、を温度の関数として 決定することができます。これにより、次のことが分かります。${\displaystyle m}$${\displaystyle h^{\text{eff.}}}$${\displaystyle m}$

• 温度が特定の値 を超える場合、唯一の解は です。このシステムは常磁性です。${\displaystyle T_{\text{c}}}$${\displaystyle m=0}$
• の場合、ゼロでない解が 2 つあります: 。このシステムは強磁性です。${\displaystyle T<T_{\text{c}}}$${\displaystyle m=\pm m_{0}}$

${\displaystyle T_{\text{c}}}$は次の関係で与えられます。 ${\displaystyle T_{\text{c}}={\frac {Jz}{k_{B}}}}$

これは、MFT が強磁性相転移を説明できることを示しています。

同様に、MFT は次のような他のタイプのハミルトニアンにも適用できます。

• 金属-超伝導転移を研究する。この場合、磁化の類似物は超伝導ギャップです。${\displaystyle \Delta }$
• ディレクターフィールドのラプラシアンがゼロでない場合に出現する液晶の分子場。
• タンパク質構造予測において、固定されたタンパク質骨格を与えられた場合の最適なアミノ酸 側鎖パッキングを決定する（自己無撞着平均場（生物学）を参照）。
• 複合材料の弾性特性を決定します。

平均場理論のような変分最小化も統計的推論に使用できます。

平均場理論では、単一サイト問題に現れる平均場は時間に依存しないスカラー量またはベクトル量です。しかし、常にそうであるとは限りません。平均場理論の変形である動的平均場理論(DMFT) では、平均場は時間に依存する量になります。たとえば、DMFT をハバード モデルに適用して、金属-モット絶縁体転移を研究することができます。

• 動的平均場理論
• 平均場ゲーム理論