マルコフブランケット

統計学と機械学習では、一連の変数を使用してランダム変数を推測する場合、通常はサブセットで十分であり、他の変数は役に立ちません。すべての有用な情報を含むこのようなサブセットは、マルコフブランケットと呼ばれます。マルコフブランケットが最小限の場合、つまり情報を失うことなく変数を削除できない場合は、マルコフ境界と呼ばれます。マルコフブランケットまたはマルコフ境界を識別すると、有用な特徴を抽出するのに役立ちます。マルコフブランケットとマルコフ境界という用語は、1988年にJudea Pearlによって造られました。 ^{[1]マルコフブランケットは}、マルコフ連鎖の集合によって構成できます。

ランダム変数集合内のランダム変数のマルコフブランケットは、他の変数が と独立していることを条件とする の任意の部分集合です。 ${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathcal {S}}=\{X_{1},\ldots ,X_{n}\}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle Y}$

$${\displaystyle Y\perp \!\!\!\perp {\mathcal {S}}\backslash {\mathcal {S}}_{1}\mid {\mathcal {S}}_{1}.}$$

これは、 には少なくとも を推論するために必要なすべての情報が含まれていることを意味します。ただし、 の変数は冗長です。 ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathcal {S}}\backslash {\mathcal {S}}_{1}}$

一般に、与えられたマルコフ ブランケットは一意ではありません。マルコフ ブランケットを含む 内の任意の集合は、それ自体もマルコフ ブランケットです。具体的には、は内ののマルコフ ブランケットです。 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

における のマルコフ境界はのサブセットであり、それ自体は のマルコフ ブランケットですが、 の任意の適切なサブセットはのマルコフ ブランケットではありません。言い換えると、マルコフ境界は極小マルコフ ブランケットです。 ${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{2}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{2}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{2}}$${\displaystyle Y}$

ベイジアン ネットワーク内のノード のマルコフ境界は、 の親、の子、の子の別の親で構成されるノードの集合です。マルコフ ランダム フィールドでは、ノードのマルコフ境界はその隣接ノードの集合です。依存関係ネットワークでは、ノードのマルコフ境界はその親の集合です。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

マルコフ境界は常に存在します。いくつかの穏やかな条件下では、マルコフ境界は一意です。ただし、ほとんどの実際的および理論的なシナリオでは、複数のマルコフ境界が代替ソリューションを提供する可能性があります。^[2]マルコフ境界が複数ある場合、因果効果を測定する量が失敗する可能性があります。^[3]

• アンドレイ・マルコフ
• 自由エネルギーの最小化
• 道徳グラフ
• 関心の分離
• 因果関係
• 因果推論