記憶喪失

確率論および統計学において、無記憶性とは確率分布の特性の一つです。これは、過去の失敗や経過時間が将来の試行や待ち時間に影響を与えない状況を指します。無記憶性を持つのは幾何分布と指数分布のみです。

確率変数${\displaystyle X}$記憶がない$${\displaystyle \Pr(X>t+s\mid X>s)=\Pr(X>t)}$$どこ${\displaystyle \Pr }$確率質量関数または確率密度関数は、${\displaystyle X}$それぞれ離散的または連続的であり、${\displaystyle t}$そして${\displaystyle s}$は非負の数です。 ^{[ 1 ] [ 2 ]}離散的なケースでは、定義は、表が出るまでのコイン投げの回数のように、独立で同一の分布に従う無限のベルヌーイ試行の最初の成功を表します。 ^{[ 3 ]}連続的な状況では、記憶のなさは、2 つの地震の間隔のようなランダムな現象をモデル化します。^{[ 4 ]}記憶のなさの性質は、以前に失敗した試行の数または経過時間が、将来の試行またはリードタイムとは独立している、つまり影響がないと主張します。

この等式は、それぞれ離散的および連続的な文脈における幾何分布と指数分布を特徴づけるものである。[ 1 ] [ 5 ^{]言い換えれば、幾何確率}変数は唯一の離散的無記憶分布であり、指数確率変数は唯一の連続的無記憶分布である。

個別の文脈では、定義は次のように変更されます。${\textstyle \Pr(X>t+s\mid X\geq s)=\Pr(X>t)}$幾何分布が始まるとき${\displaystyle 0}$の代わりに${\displaystyle 1}$したがって、等号は依然として満たされている。^{[ 6 ] [ 7 ]}

連続確率分布が無記憶性を持つならば、それは指数分布でなければならない。

無記憶性から、$${\displaystyle \Pr(X>t+s\mid X>s)=\Pr(X>t).}$$条件付き確率の定義は、$$\displaystyle {\frac {\Pr(X>t+s)}{\Pr(X>s)}}=\Pr(X>t).}$$生存関数との等式を整理すると、${\displaystyle S(t)=\Pr(X>t)}$与える$${\displaystyle S(t+s)=S(t)S(s).}$$これは、任意の自然数に対して${\displaystyle k}$$${\displaystyle S(kt)=S(t)^{k}.}$$同様に、生存関数の入力を分割し、${\displaystyle k}$-th 根、$${\displaystyle S\left({\frac {t}{k}}\right)=S(t)^{\frac {1}{k}}.}$$一般に、等号は、の代わりに任意の有理数に対して成り立つ。${\displaystyle k}$生存関数は連続であり、有理数は実数において稠密である（つまり、任意の実数に任意に近づく有理数が常に存在する）ため、等号は実数に対しても成り立つ。結果として、$${\displaystyle S(t)=S(1)^{t}=e^{t\ln S(1)}=e^{-\lambda t}}$$どこ${\displaystyle \lambda =-\ln S(1)\geq 0}$これは指数分布の生存関数です。^{[ 5 ]}

離散確率分布が無記憶性を持つならば、それは幾何分布でなければならない。

無記憶性から、 $${\displaystyle \Pr(X>t+s\mid X\geq s)=\Pr(X>t).}$$条件付き確率 の定義は、 $${\displaystyle {\frac {\Pr(X>t+s)}{\Pr(X\geq s)}}=\Pr(X>t).}$$ このことから帰納法によって証明できるのは $${\displaystyle \Pr(X>k)=\Pr(X>1)^{k}.}$$ すると、 $${\displaystyle f_{X}(x)=\Pr(X\leq x)=1-\Pr(X>x)=1-\Pr(X>1)^{x},}$$ そしてもし私たちが許せば $${\displaystyle p:=1-\Pr(X>1)\in [0,1]}$$ 簡単にわかるように${\displaystyle X}$あるパラメータを持つ幾何分布に従う${\displaystyle p}$; 言い換えると $${\displaystyle X\sim \operatorname {Geo} (p).}$$