多基準意思決定分析

多基準意思決定( MCDM ) または多基準意思決定分析( MCDA ) は、オペレーションズ リサーチのサブ分野であり、意思決定(日常生活とビジネス、政府、医療などの環境の両方)における複数の矛盾する基準を明示的に評価します。これは、多属性効用理論、多属性価値理論、多属性選好理論、多目的意思決定分析としても知られています。

選択肢を評価する際には、相反する基準がよく見られます。コストや価格が通常、主要な基準の 1 つであり、品質の何らかの尺度が別の基準となるのが一般的で、コストと容易に相反します。自動車を購入する場合、コスト、快適さ、安全性、燃費などが主要な基準として考えられます。最も安い自動車が最も快適で最も安全な自動車であるということは稀です。ポートフォリオ管理では、マネージャーは高いリターンを得ると同時にリスクを軽減することに関心がありますが、高いリターンをもたらす可能性のある株式は、通常、損失のリスクが高くなります。サービス業界では、顧客満足度とサービス提供コストが根本的に相反する基準となります。

日常生活において、人々は通常、暗黙のうちに複数の基準を検討し、直感だけに基づいて下された決定の結果に満足しているかもしれない。^[1]一方、利害関係が大きい場合は、問題を適切に構造化し、複数の基準を明示的に評価することが重要になる。^[2]原子力発電所を建設するかどうか、どこに建設するかという決定には、複数の基準を伴う非常に複雑な問題があるだけでなく、結果に深く影響を受ける複数の当事者もいる。

複雑な問題をうまく構造化し、複数の基準を明示的に考慮することは、より多くの情報に基づいたより良い決定につながります。1960年代初頭に現代の多基準意思決定の分野が始まって以来、この分野では重要な進歩がありました。政治やビジネスから環境やエネルギーに至るまで、さまざまな分野に適用するために、専門の意思決定ソフトウェアによって実装されるさまざまなアプローチと方法が開発されてきました。^{[ 3] [4 ]}

MCDM または MCDA は、複数基準意思決定と複数基準意思決定分析の頭字語です。スタンレー・ザイオンツは、起業家向けの 1979 年の記事「MCDM – ローマ数字でなければ、何?」でこの頭字語の普及に貢献しました。

MCDM は、複数の基準を含む意思決定および計画の問題を構造化して解決することに関係しています。その目的は、このような問題に直面している意思決定者をサポートすることです。通常、このような問題には唯一の最適なソリューションは存在せず、意思決定者の好みを使用してソリューションを区別する必要があります。

「解決」はさまざまな方法で解釈できます。これは、利用可能な選択肢のセットから「最善」の選択肢を選択することに相当する可能性があります (「最善」は、意思決定者の「最も好ましい選択肢」と解釈できます)。「解決」の別の解釈は、少数の優れた選択肢を選択すること、または選択肢をさまざまな優先セットにグループ化することです。極端な解釈は、すべての「効率的な」または「非優位な」選択肢 (これについては後で定義します) を見つけることです。

問題の難しさは、複数の基準が存在することに起因します。MCDM 問題には、選好情報を組み込むことなく得られる唯一の最適解はもはや存在しません。最適解の概念は、多くの場合、非優勢解のセットに置き換えられます。ある基準でソリューションを改善するには、別の基準を犠牲にする必要があります。したがって、意思決定者が非優勢セットからソリューションを選択することは理にかなっています。そうでない場合は、一部またはすべての基準で改善でき、いずれの基準でも悪化することはありません。ただし、一般に、非優勢解のセットは、最終的な選択のために意思決定者に提示するには大きすぎます。したがって、意思決定者が優先ソリューション (または代替案) に集中するのに役立つツールが必要です。通常、特定の基準を他の基準と「トレードオフ」する必要があります。

MCDMは1970年代から活発に研究されてきた分野です。MCDMに関連する組織としては、国際多基準意思決定学会^[6]、MCDAに関する欧州ワーキンググループ^[7]、MCDMに関するINFORMSセクション^[8]などがあります。歴史については、Köksalan、Wallenius、Zionts（2011）を参照してください。^[9] MCDMは、以下を含む多くの分野の知識を活用しています。

• 数学
• 意思決定分析
• 経済
• コンピュータ技術
• ソフトウェアエンジニアリング
• 情報システム

MCDM の問題と方法にはさまざまな分類があります。MCDM の問題の主な違いは、ソリューションが明示的に定義されているか、暗黙的に定義されているかによって異なります。

• 多基準評価問題: これらの問題は、解決プロセスの開始時に明示的にわかっている、有限数の選択肢から構成されます。各選択肢は、複数の基準におけるパフォーマンスによって表されます。この問題は、意思決定者 (DM) にとって最適な選択肢を見つけること、または一連の優れた選択肢を見つけることとして定義できます。また、選択肢の「ソート」または「分類」にも関心があるかもしれません。ソートとは、優先順位が付けられた一連のクラスに選択肢を配置すること (国に信用格付けを割り当てるなど) を指し、分類とは、順序付けされていないセットに選択肢を割り当てること (症状に基づいて患者を診断するなど) を指します。このカテゴリの MCDM 手法のいくつかは、このテーマに関する Triantaphyllou の 2000 年の書籍で比較研究されています。^[10]
• 多基準設計問題 (多目的数理計画問題) : これらの問題では、代替案は明示的にはわかっていません。代替案 (ソリューション) は、数学モデルを解くことによって見つけることができます。代替案の数は有限または無限 (可算または不可算) ですが、通常は指数的に大きくなります (有限のドメインにわたる変数の数)。

評価問題であれ設計問題であれ、解決策を区別するためには DM の選好情報が必要です。MCDM 問題の解決方法は、DM から得られる選好情報のタイミングに基づいて分類されるのが一般的です。

プロセスの開始時に DM の好み情報を必要とする方法があり、これにより、問題が本質的に単一基準の問題に変換されます。これらの方法は、「好みの事前表現」によって機能すると言われています。価値関数の推定に基づく方法、または「上位関係」の概念を使用する方法、分析階層プロセス、および一部のルールベースの決定方法は、好みの事前表現を利用して、複数基準の評価問題を解決しようとします。同様に、価値関数を構築することにより、好みの事前表現を使用して複数基準の設計問題を解決するために開発された方法があります。おそらく、これらの方法の中で最もよく知られているのは、目標計画法です。価値関数が構築されると、結果として得られる単一目的の数学的プログラムが解決され、好ましいソリューションが得られます。

いくつかの方法では、解決プロセス全体を通じて DM からの好みの情報を必要とします。これらは、対話型方法、または「好みの段階的な表現」を必要とする方法と呼ばれます。これらの方法は、多基準評価 (たとえば、Geoffrion、Dyer、Feinberg、1972、^[11]および Köksalan および Sagala、1995 ^[12]を参照) と設計問題 (Steuer、1986 ^[13]を参照) の両方で十分に開発されています。

多基準設計問題では、通常、暗黙的に定義されたソリューションを明らかにするために、一連の数理計画モデルの解決が必要です。これらの問題では、「効率的なソリューション」の表現または近似も重要です。このカテゴリは「嗜好の事後表現」と呼ばれ、DM の関与は「興味深い」ソリューションの明示的な明らかに後から始まることを意味します (たとえば、Karasakal と Köksalan、2009 ^[14]を参照)。

数理計画モデルに整数変数が含まれている場合、設計問題の解決はより困難になります。多目的組み合わせ最適化（MOCO）は、そのような問題の特別なカテゴリを構成し、かなりの計算上の困難をもたらします（レビューについては、 EhrgottとGandibleux、 ^{[15] 2002を参照）。}

MCDM 問題は、基準空間または決定空間で表現できます。あるいは、異なる基準を重み付き線形関数で組み合わせると、重み空間で問題を表現することもできます。以下は、基準空間と重み空間のデモンストレーションと、いくつかの正式な定義です。

特定の問題状況で、複数の基準を使用してソリューションを評価すると仮定します。さらに、各基準は多ければ多いほど良いと仮定します。すると、考えられるすべてのソリューションの中で、考慮したすべての基準で優れたパフォーマンスを発揮するソリューションが理想的です。ただし、考慮したすべての基準で優れたパフォーマンスを発揮する単一のソリューションが存在する可能性は低いです。通常、ソリューションの中には、ある基準で優れたパフォーマンスを発揮するものもあれば、他の基準で優れたパフォーマンスを発揮するものもあります。基準間のトレードオフの方法を見つけることは、MCDM 文献の主な取り組みの 1 つです。

数学的には、上記の議論に対応するMCDM問題は次のように表される。

「最大」q

対象となる

q ∈ Q

ここで、q はk 個の基準関数（目的関数）のベクトルであり、 Q は実行可能集合、Q ⊆ R ^kです。

Q が明示的に（選択肢のセットによって）定義されている場合、結果として生じる問題は複数基準評価問題と呼ばれます。

Q が暗黙的に（一連の制約によって）定義されている場合、結果として生じる問題は複数基準設計問題と呼ばれます。

引用符は、ベクトルの最大化が明確に定義された数学的演算ではないことを示すために使用されます。これは、すべての基準で良好なパフォーマンスを発揮するソリューションが存在しない場合に、基準間のトレードオフを解決する方法を見つける必要があるという議論に対応しています(通常は意思決定者の好みに基づきます)。

決定空間は、私たちが利用できる可能性のある決定のセットに対応します。基準値は、私たちが下す決定の結果になります。したがって、決定空間で対応する問題を定義できます。たとえば、製品を設計する場合、設計パラメータ (決定変数) を決定します。各パラメータは、製品を評価するパフォーマンス測定 (基準) に影響します。

数学的には、多基準設計問題は意思決定空間で次のように表すことができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\max q&=f(x)=f(x_{1},\ldots ,x_{n})\\{\text{subject to}}\\q\in Q&=\{f(x):x\in X,\,X\subseteq \mathbb {R} ^{n}\}\end{aligned}}}$

ここで、X は実行可能集合であり、x はサイズ n の決定変数ベクトルです。

X が線形不等式と線形等式によって定義される多面体である場合、十分に発達した特殊なケースが得られます。すべての目的関数が決定変数に関して線形である場合、このバリエーションは、MCDM 問題の重要なサブクラスである多重目的線形計画法 (MOLP) につながります。

MCDM には中心となる定義がいくつかあります。密接に関連する 2 つの定義は、非優位性 (基準空間表現に基づいて定義) と効率性 (決定変数表現に基づいて定義) です。

定義 1. q* ∈ Qが非劣であるとは、 q ≥ q*かつq ≠ q*となる別のq ∈ Qが存在しないことを意味する。

大まかに言えば、考慮されるすべての基準において、利用可能な他のソリューションより劣っていない限り、ソリューションは非優位です。

定義2. x* ∈ Xが効率的であるとは、 f ( x ) ≥ f ( x *)かつf ( x ) ≠ f ( x *)となる別のx ∈ Xが存在しないことである。

MCDM 問題が意思決定状況を適切に表現している場合、DM の最も好ましい解は意思決定空間における効率的な解でなければならず、そのイメージは基準空間における非劣点です。次の定義も重要です。

定義3. q* ∈ Qが弱非優勢であるとは、 q > q*となる別のq ∈ Qが存在しないことを意味する。

定義4. x* ∈ X は、 f ( x ) > f ( x *)となる別のx ∈ Xが存在しない場合に弱効率的である。

弱非劣点には、すべての非劣点といくつかの特殊劣点が含まれます。これらの特殊劣点の重要性は、実際によく現れるため、非劣点と区別するには特別な注意が必要であるという事実に由来します。たとえば、単一の目的を最大化する場合、弱非劣点が優位になることがあります。弱非劣集合の優位点は、基準空間の垂直面または水平面 (超平面) 上にあります。

理想点: (基準空間内) 各目的関数の最良の点 (最大化問題の場合は最大値、最小化問題の場合は最小値) を表し、通常は実行不可能な解に対応します。

天底点: (基準空間において) 非劣集合内の点の中で各目的関数の最悪値 (最大化問題の場合は最小値、最小化問題の場合は最大値) を表し、通常は優勢点となります。

理想点と最下点は、DM がソリューションの範囲を「感じ取る」のに役立ちます (ただし、基準が 2 つ以上ある設計問題では、最下点を見つけるのは簡単ではありません)。

決定変数空間における次の 2 変数 MOLP 問題は、いくつかの重要な概念をグラフィカルに示すのに役立ちます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\max f_{1}(\mathbf {x} )&=-x_{1}+2x_{2}\\\max f_{2}(\mathbf {x} )&=2x_{1}-x_{2}\\{\text{subject to}}\\x_{1}&\leq 4\\x_{2}&\leq 4\\x_{1}+x_{2}&\leq 7\\-x_{1}+x_{2}&\leq 3\\x_{1}-x_{2}&\leq 3\\x_{1},x_{2}&\geq 0\end{aligned}}}$

図 1 では、極点「e」と「b」がそれぞれ第 1 および第 2 の目的を最大化します。この 2 つの極点間の赤い境界は、効率的なセットを表します。図からわかるように、効率的なセット外の任意の実行可能なソリューションについては、効率的なセット上のいくつかのポイントによって両方の目的を改善できます。逆に、効率的なセット上の任意のポイントについては、他の実行可能なソリューションに移動しても両方の目的を改善することはできません。これらのソリューションでは、もう一方の目的を改善するために、もう一方の目的を犠牲にする必要があります。

上記の問題は単純なので、次のようにxをfに置き換えることで基準空間で表現できます。

最大f ₁

最大f ₂

対象となる

f ₁ + 2 f ₂ ≤ 12

2f1 + f2≤12で_ある​_​

f ₁ + f ₂ ≤ 7

f ₁ – f ₂ ≤ 9

− f ₁ + f ₂ ≤ 9

f ₁ + 2 f ₂ ≥ 0

2 f ₁ + f ₂ ≥ 0

図 2 に基準空間をグラフィカルに示します。基準空間では、非優越点 (決定空間の効率的なソリューションに対応) を検出するのが簡単になります。実行可能空間の北東領域は、非優越点の集合を構成します (最大化問題の場合)。

非劣解を生成する方法はいくつかあります。ここではそのうちの 2 つについて説明します。最初のアプローチでは、特別なクラスの非劣解を生成できますが、2 番目のアプローチでは、任意の非劣解を生成できます。

• 加重和（ガス＆サアティ、1955 ^[16]）

各基準に正の重みを掛けて重み付けされた基準を合計することで、複数の基準を単一の基準にまとめると、結果として得られる単一基準問題の解は特別な効率的な解になります。これらの特別な効率的な解は、利用可能な解の集合のコーナーポイントに現れます。コーナーポイントにない効率的な解は特別な特性があり、この方法ではそのようなポイントを見つけることができません。数学的には、この状況を次のように表すことができます。

最大w ^T . q = w ^T . f(x)、w > 0

対象となる

x ∈ X

重みを変えることで、加重和を使用して、設計問題に対する効率的な極値点ソリューションや、評価問題に対するサポートされた（凸非優勢）点を生成できます。

• 達成度のスケール化関数（Wierzbicki, 1980 ^[17]）

達成スカラー化関数は、複数の基準を非常に特殊な方法で重み付けして 1 つの基準に結合します。基準点から利用可能な効率的なソリューションに向かう長方形の輪郭を作成します。この特殊な構造により、達成スカラー化関数はあらゆる効率的なソリューションに到達できます。これは、これらの関数を MCDM 問題に非常に役立つものにする強力な特性です。

数学的には、この問題は次のように表すことができます。

最小s ( g, q, w, ρ ) = 最小{最大_i [( g _i − q _i )/ w _i ] + ρ Σ _i ( g _i − q _i ) },

対象となる

q ∈ Q

達成スカラー化関数は、効率的フロンティア上の任意の点 (実行可能または実行不可能) を投影するために使用できます。任意の点 (サポートされているかどうかに関係なく) に到達できます。目的関数の 2 番目の項は、非効率的なソリューションの生成を回避するために必要です。図 3 は、達成スカラー化関数を使用して、実行可能点g ₁と実行不可能点g ₂が、方向wに沿って非優越点q ₁とq ₂にそれぞれ投影される様子を示しています。破線と実線の等高線は、それぞれ目的関数の 2 番目の項がある場合とない場合の目的関数等高線に対応します。

MCDM問題（設計型と評価型の両方）を解決するために、さまざまな学派が発展してきました。それらの発展を時系列で示す文献計量研究については、Bragge、Korhonen、H. Wallenius、J. Wallenius [2010]を参照してください。^[18]

多目的数理計画スクール

（１）ベクトル最大化：ベクトル最大化の目的は非劣集合を近似することであり、もともと多目的線形計画問題のために開発された（Evans and Steuer, 1973; ^[19] Yu and Zeleny, 1975 ^[20]）。

（２）対話型プログラミング：計算フェーズと意思決定フェーズが交互に繰り返される（Benayoun et al., 1971; ^[21] Geoffrion, Dyer and Feinberg, 1972; ^[22] Zionts and Wallenius, 1976; ^[23] Korhonen and Wallenius, 1988 ^[24]）。DMの価値関数に関する明示的な知識は想定されていない。

目標プログラミングスクール

その目的は、目標に対して事前に目標値を設定し、これらの目標からの重み付けされた偏差を最小限に抑えることです。重要度重みと辞書式事前重みの両方が使用されています（Charnes and Cooper、1961 ^[25]）。

ファジィ集合理論家

^{ファジィ集合は、古典的な集合の概念の拡張としてZadeh (1965) [26]}によって導入されました。この考え方は、ファジィ問題をモデル化して解決するための多くのMCDMアルゴリズムで使用されています。

順序データに基づく方法

順序データは、現実世界の状況で幅広く応用されています。この点で、いくつかの MCDM 手法は、順序データを入力データとして処理するように設計されています。たとえば、Ordinal Priority Approachや Qualiflex 手法などです。

多属性効用理論家

多属性効用関数または価値関数を引き出し、最も好ましい選択肢を特定したり、選択肢を順位付けしたりするのに使用する。線形加法的効用関数や乗法的非線形効用関数を引き出すための精巧なインタビュー技法が使用されることもある (Keeney and Raiffa, 1976 ^[27] )。別のアプローチとしては、仮想的な選択肢の中から選択するという一連のペアワイズランキング質問を意思決定者に尋ねることで、間接的に価値関数を引き出す方法がある ( PAPRIKA 法、Hansen and Ombler, 2008 ^[28] )。

フランスの学校

フランス学派は意思決定支援、特に1960年代半ばにフランスで生まれたELECTRE群のアウトランキング法に重点を置いています。この方法はベルナール・ロイ（Roy, ​​1968 ^[29]）によって最初に提案されました。

進化型多目的最適化スクール (EMO)

EMOアルゴリズムは初期集団から始まり、自然な適者生存の原理と遺伝的変異演算子を模倣するように設計されたプロセスを使用して、平均集団を世代ごとに改善するように更新します。目標は、非劣勢セットを表すソリューションの集団に収束することです（Schaffer、1984; ^[30] SrinivasとDeb、1994 ^[31]）。最近では、EMOアルゴリズムのソリューションプロセスに好みの情報を組み込む取り組みがあります（DebとKöksalan、2010 ^[32]を参照）。

グレーシステム理論に基づく方法

1980年代に、鄧巨龍はグレーシステム理論（GST）と、その最初の複数属性意思決定モデルである鄧のグレー関係分析（GRA）モデルを提唱しました。その後、グレーシステムの研究者は、劉思鋒の絶対GRAモデル^[33] 、グレーターゲット意思決定（GTDM）^{[34] 、グレー絶対意思決定分析（GADA） [35]}など、GSTに基づく多くの手法を提唱しました。

階層分析法（AHP）

AHP は、まず意思決定の問題をサブ問題の階層に分解します。次に、意思決定者は、一対比較によってさまざまな要素の相対的な重要性を評価します。AHP は、これらの評価を数値 (重みまたは優先度) に変換し、各選択肢のスコアを計算するのに使用します (Saaty、1980 ^[36] )。一貫性指数は、意思決定者の応答がどの程度一貫しているかを測定します。AHP は、ここで挙げた手法の中でも最も議論の多い手法の 1 つであり、MCDA コミュニティの一部の研究者は、AHP には欠陥があると考えています。^{[37] [38]}

いくつかの論文では、ファジーMCDM、^[39]クラシックMCDM、^[40]持続可能で再生可能なエネルギー、^[41] VIKOR技術、^[42]輸送システム、^[43]サービス品質、^[44] TOPSIS法、^[45]エネルギー管理問題、^[46] eラーニング、^[47]観光とホスピタリティ、^[48] SWARA法とWASPAS法など、さまざまな分野におけるMCDM技術の応用についてレビューされています。^[49]

MCDMには以下の方法があり、その多くは専門的な意思決定ソフトウェアによって実装されている：^{[3] [4]}

• 集約インデックスランダム化法(AIRM)
• 階層分析法（AHP）
• 分析ネットワークプロセス(ANP)
• バランスビームプロセス
• ベストワーストメソッド（BWM）^{[50] [51]}
• ブラウン・ギブソンモデル
• 特徴的なオブジェクト 方法 (COMET) ^{[52] [53]}
• 利点による選択 (CBA)
• コンジョイント価値階層（CVA）^{[54] [55]}
• データ包絡分析
• 意思決定エキスパート(DEX)
• 分解 – 集約アプローチ (UTA*、UTAII、UTADIS)
• ラフセット（ラフセットアプローチ）
• 優位性に基づくラフ集合アプローチ(DRSA)
• ELECTRE (上位)
• 平均解からの距離に基づく評価（EDAS）^[56]
• 証拠推論アプローチ(ER)
• FITradeoff（www.fitradeoff.org）^{[57] [58]}
• ゴールプログラミング（GP）
• グレーリレーショナル分析(GRA)
• ベクトルの内積(IPV)
• カテゴリベースの評価手法による魅力の測定 (MACBETH)
• 多属性グローバル品質推論(MAGIQ)
• 多属性効用理論(MAUT)
• 多属性価値理論 (MAVT)
• マルコフ多基準意思決定
• 評価への新しいアプローチ(NATA)
• 非構造ファジィ意思決定支援システム (NSFDSS)
• 順序優先アプローチ（OPA）^{[59] [60]}
• 可能性のあるすべての選択肢のペアワイズランキング(PAPRIKA)
• プロメシー（上位）
• シンプル多属性評価法（SMART）^[61]
• 階層化多基準意思決定 (SMCDM)
• 確率的多基準受容性分析(SMAA)
• 優劣順位付け法（SIR法）
• 共有価値の創造に向けたシステム再設計（SYRCS）^[62]
• 理想解との類似性による優先順位付け手法 (TOPSIS)
• 価値分析（VA）
• バリューエンジニアリング（VE）
• VIKOR法^[63]
• 加重積モデル(WPM)
• 加重合計モデル(WSM)

• アーキテクチャトレードオフ分析方法
• 意思決定
• 意思決定ソフトウェア
• 意思決定のパラドックス
• 決定的バランスシート
• 多基準分類問題
• 意思決定における順位の逆転
• 優劣順位付け法

• Maliene, V. ( 2011 ). 「専門的な不動産評価：多基準意思決定分析」。Journal of Retail & Leisure Property。9 ( 5): 443–50。doi : 10.1057/rlp.2011.7。
• Mulliner E、Smallbone K、Maliene V (2013)。「多基準意思決定法を用いた持続可能な住宅の入手可能性の評価」( PDF)。オメガ。41 (2): 270–79。doi :10.1016/j.omega.2012.05.002 。
• Maliene, V.; et al. (2002). 「不動産評価における新しい多基準分析法の応用」(PDF) FIG XXII 国際会議: 19–26。
• シュテュアーとザイオンツが作成した簡単な歴史
• Malakooti,​​ B. (2013)。「複数の目的を持つオペレーションと生産システム」John Wiley & Sons。