哲学的論理

狭義の哲学的論理学とは、論理的手法を哲学的問題に適用することを研究する論理学の領域であり、様相論理のような拡張された論理体系の形で用いられることが多い。一部の理論家は、哲学的論理学を、より広い意味で、論理一般の範囲と性質の研究と考える。この意味で、哲学的論理学は、論理の定義方法や論理の基本概念の議論などの追加トピックを含む論理の哲学と同一と見なすことができる。本稿では、狭義の哲学的論理学を扱い、論理の哲学内の研究分野の 1 つを形成する。

哲学的論理学にとって重要な問題は、非常に多様な非古典的な論理体系をどのように分類するかという問題であり、その多くは比較的最近に起源を持つ。文献によく見られる分類の 1 つの形式は、拡張論理と逸脱論理を区別するというものである。論理学自体は、有効な 推論の研究として定義できる。古典論理学は論理学の支配的な形式であり、排中律、二重否定除去、真理の二価性など、多くの人が共有する論理的直観に従って推論の規則を明確に表現する。

拡張論理は、古典論理とその推論規則に基づいた論理システムですが、新しい論理記号と、これらの記号を管理する対応する推論規則を導入することで、古典論理を新しい分野に拡張します。論理的様相論理の場合、これらの新しい記号は、単純に真であるものだけでなく、可能性のある真または必然的に真であるものも表現するために使用されます。 これは、可能世界意味論と組み合わせられることが多く、可能世界意味論では、命題は、ある可能世界で真であれば可能性のある真であり、すべての可能世界で真であれば必然的に真であるとされています。義務論理は倫理に関係し、義務や許可などの倫理的概念を形式的に扱います。時相論理は、命題間の時間的関係を形式化します。 これには、あるものがいつかまたは常に真であるかどうか、将来または過去に真であるかどうかなどのアイデアが含まれます。認識論論理は認識論に属します。 これは、何が事実であるかだけでなく、誰かが事実であると信じている、または知っていることも表現するために使用できます。その推論規則は、誰かがこのような精神状態を持っているという事実から何が導かれるかを明確に表現します。高階論理は、古典論理を哲学内の特定の新しいサブフィールドに直接適用するのではなく、個体だけでなく述語に対しても定量化を可能にすることで古典論理を一般化します。

逸脱論理は、これらの形式の拡張論理とは対照的に、古典論理の基本原理の一部を拒否し、しばしばそのライバルと見なされます。直観主義論理は、真理は証明による検証に依存するという考えに基づいています。これにより、この仮定と互換性のない古典論理に見られる特定の推論規則を拒否します。自由論理は、名前や明確な説明などの空である可能性のある単数形の使用に関連する存在の前提を回避するために、古典論理を修正します。多値論理は、真と偽に加えて追加の真理値を許容します。これにより、真理の二価性の原理を拒否します。矛盾論理は、矛盾に対処できる論理システムです。これは、古典論理に見られる爆発の原理を回避することによってそれを行います。関連性論理は、矛盾論理の代表的な形式です。関連性という追加の要件を導入することで、物質的条件の純粋に真理機能的な解釈を拒否します。条件が真であるためには、その前提がその後続に関連している必要があります。

「哲学的論理」という用語は、理論家によって少しずつ異なる意味で使用されています。^[1]この記事で説明されているように、狭義に理解される場合、哲学的論理は、論理的手法を哲学的問題に適用することを研究する哲学の領域です。これは通常、古典的論理を新しい領域に拡張するか、古典的論理では適切に扱われていない特定の論理的直観を含めるように修正するために、新しい論理システムを開発する形で行われます。^{[2] [1] [3] [4]}この意味で、哲学的論理は、様相論理や義務論理などのさまざまな形式の非古典的論理を研究します。このようにして、可能性、必然性、義務、許可、時間などのさまざまな基本的な哲学的概念は、それらが互いに関連して果たす推論の役割を形式的に表現することにより、論理的に正確な方法で扱われます。^{[5] [4] [1] [3]}一部の理論家は、哲学的論理を、一般的な論理の範囲と性質の研究としてより広い意味で理解しています。この観点からは、論理学は論理学の基本的な概念を含む、論理学が提起する様々な哲学的問題を研究する。この広い意味では、これらのトピックが議論される論理学の哲学と同一であると理解することができる。 ^{[6] [7] [8] [1]}本稿では、哲学的論理学の狭義の概念についてのみ議論する。この意味では、それは論理学の哲学の一分野を形成する。^[1]

哲学的論理学の中心となるのは、論理とは何か、そして哲学的論理学が論理学においてどのような役割を果たすかを理解することである。論理学は、有効な推論の研究と定義することができる。^{[4] [6] [9]}推論は、前提から結論へと進む推論のステップである。^[10]代わりに「議論」という用語も使用されることが多い。前提が真で結論が偽であることが不可能である場合、推論は有効である。この意味で、前提が真であれば結論も真であることが保証される。^{[11] [10] [12] [1]これは}推論規則という用語で表現することができる。推論は、その構造、すなわち前提と結論が形成される方法が推論規則に従っている場合、有効である。^[4]異なる論理体系は、推論が有効な場合について異なる説明を提供する。これは、異なる推論規則を使用することを意味する。有効性に対する伝統的に支配的なアプローチは、古典論理と呼ばれる。しかし哲学的論理学は非古典的論理学に関係しており、代替的な推論体系を研究する。^{[2] [1] [3] [4]}これを行う動機は、おおまかに2つのカテゴリに分けることができる。一部の人々にとって、古典的論理学は範囲が狭すぎる。哲学的に興味深い多くの問題が抜け落ちている。これは、古典的論理学に追加の記号を加えて拡張し、他の領域を論理的に厳密に扱うことで解決できる。^{[6] [13] [14]}他の人々は、古典的論理学自体に欠陥があると見て、対立する推論の説明を与えようとする。これは通常、逸脱した論理学の開発につながり、それぞれが、その欠陥を是正するために古典的論理学の背後にある基本原理を修正する。^{[6] [13] [14]}

論理学の分野における現代の発展は、論理体系の大きな増殖をもたらした。^[13]これは、 2000年以上にわたって論理学の唯一の規範として扱われてきたアリストテレス論理学の歴史的優位性と著しい対照をなしている。 ^[1]現代論理学の論文では、これらの異なる体系を明確な分類をせずに、別々のトピックのリストとして扱うことが多い。しかし、学術文献で頻繁に言及される分類の1つは、スーザン・ハックによるもので、古典論理、拡張論理、逸脱論理を区別している。^{[6] [13] [15]}この分類は、古典論理、すなわち命題論理と一階述語論理が、最も一般的な論理的直観の一部を形式化するという考えに基づいている。この意味で、それは有効な推論を支配する公理の基本的な説明を構成する。^{[4] [9]}拡張論理学はこの基本的な説明を受け入れ、それを追加領域に拡張する。これは通常、たとえば必要性、義務、または時間を表す新しい語彙を追加することによって行われる。^{[13] [1] [4] [9]}これらの新しい記号は、可能性は必然性から生じるなど、どの新しい推論規則が適用されるかを指定することによって、論理メカニズムに統合されます。^{[15] [13]}一方、逸脱論理は、古典論理の基本的な前提のいくつかを拒否します。 この意味で、逸脱論理は古典論理の単なる拡張ではなく、論理法則の異なる説明を提供するライバルシステムとして定式化されることがよくあります。^{[13] [15]}

より専門的な言葉で表現すると、拡張論理と逸脱論理の区別は、少し異なる方法で描かれることがあります。この見方では、論理が古典論理の拡張であるためには、次の 2 つの条件が満たされる必要があります。(1) 古典論理のすべての整形式式は、その論理でも整形式式であり、(2) 古典論理のすべての有効な推論は、その論理でも有効な推論です。^{[13] [15] [16]}一方、逸脱論理の場合、(a) 整形式のクラスのクラスは古典論理のクラスと一致しますが、(b) 古典論理の有効な推論の一部は、逸脱論理では有効な推論ではありません。^{[13] [15] [17]}準逸脱論理という用語は、(i) 新しい語彙を導入するが、古典論理のすべての整形式の式は、準逸脱論理でも整形式の式であり、(ii) 古典論理の語彙のみを使用した推論に限定されている場合でも、古典論理で有効な推論の一部が、準逸脱論理では有効な推論ではない場合に使用されます。 [ ^{13] [15]}「逸脱論理」という用語は、準逸脱論理も含む意味でよく使用されます。^[13]

この論理の多様性によって生じる哲学的問題は、真の論理が複数存在し得るかどうかという問題である。^{[13] [1]}一部の理論家は、異なるタイプの論理が異なる分野に適用されるという局所的なアプローチを好む。たとえば、初期の直観主義者は、数学では直観主義論理が正しい論理であるとみなしたが、他の分野では古典論理を認めた。^{[13] [18]しかし、}マイケル・ダメットのような他の理論家は、あらゆる分野で直観主義論理が古典論理に取って代わるべきであると主張するグローバルなアプローチを好む。^{[13] [18]}一元論とは、真の論理は1つしかないという主張である。^[6]これは、提案されたすべての論理体系のうち1つだけが正しい、またはすべての異なる論理の基礎をなし統合するシステムとして正しい論理体系がまだ見つかっていないなど、さまざまな方法で理解できる。^[1]一方、多元主義者は、さまざまな異なる論理体系がすべて同時に正しい可能性があると主張する。^{[19] [6] [1]}

これに密接に関連する問題として、これらすべての形式体系が実際に論理体系を構成しているかどうかという問題がある。^{[1] [4]}これは、古典論理に関連する共通の論理的直観から大きく逸脱した逸脱した論理に特に関係する。この意味で、例えば、ファジー論理は名前だけが論理であるが、真理の度合いという概念が最も基本的な論理的直観からかけ離れているため、非論理的な形式体系とみなすべきであると主張されてきた。^{[13] [20] [4]そのため、この記事で議論されているすべての形式体系が、厳密に理解すると実際に}論理を構成するということに誰もが同意するわけではない。

古典論理は、ほとんどの分野で使用される論理の支配的な形式です。^[21]この用語は、主に命題論理と一階述語論理を指します。^[6]古典論理は、哲学論理内の独立したトピックではありません。しかし、哲学論理に直接関係する多くの論理システムは、古典論理の基本原理を受け入れてその上に構築する古典論理の拡張として、またはいくつかの中核的な仮定を拒否する古典論理の修正として理解できるため、古典論理をよく理解する必要があります。^{[5] [14]}古典論理は、もともと数学的な議論を分析するために作成され、その後にさまざまな他の分野に適用されました。^[5]このため、必然性と可能性、義務と許可、過去、現在、未来の違いなど、数学に関連しない哲学的に重要な多くのトピックが無視されています。^[5]これらのトピックや同様のトピックは、古典論理を拡張するさまざまな哲学論理で論理的に扱われています。^{[14] [1] [3]}古典論理自体は、いくつかの基本概念と、これらの概念が有効な推論を行う際に果たす役割にのみ関係しています。^[22]命題論理に関連する概念には、「and」、「or」、「if-then」などの命題接続詞が含まれます。^[4]これらの接続詞に対する古典的なアプローチの特徴は、排中律、二重否定除去、爆発の原理、真理の二価性などの特定の法則に従うことです。^[21]これは、これらの原理の1つまたはいくつかを否定するさまざまな逸脱した論理とは一線を画しています。^{[13] [5]}

一階述語論理では、命題自体は述語、単数項、量指定子などの部分命題部分から構成される。^{[8] [23]}単数項はオブジェクトを参照し、述語はオブジェクトの特性とそれらの間の関係を表現する。^{[8] [24]}量指定子は、「一部に対して」や「すべてに対して」などの概念の形式的な扱いを構成する。量指定子は、述語が拡張を持つかどうか、またはその拡張がドメイン全体を含むかどうかを表現するために使用できる。^[25]量指定は、高階論理とは対照的に、個々の項に対してのみ許可され、述語に対しては許可されない。^{[26] [4]}

アレティック様相論理は、論理学と哲学において非常に影響力がある。アレティック様相論理は、何が真実であるか、あるいは必然的に真実であるかを表現する論理形式を提供する。^{[12] [9] [27] [28 ] [29] [30] [14]}これは、それ自体では何が真実であるかを単純に表現することしかできない第一階述語論理の拡張を構成する。この拡張は、可能性を表す「」${\displaystyle \Diamond }$と必然性を表す「」${\displaystyle \Box}$という 2 つの新しい記号を導入することによって行われる。これらの記号は、命題を変更するために使用される。たとえば、「」${\displaystyle W(s)}$が「ソクラテスは賢い」という命題を表す場合、「」は${\displaystyle \Diamond W(s)}$「ソクラテスが賢い可能性がある」という命題を表す。これらの記号を論理形式に統合するために、第一階述語論理の既存の公理にさまざまな公理が追加される。^{[27] [28] [30]}これらは、推論の妥当性がこれらの記号がその中に見つかるという事実にどのように依存するかを決定することによって、これらの記号の論理的動作を統制する。これらには通常、命題が必然的である場合その否定は不可能である、すなわち「」は${\displaystyle \Box A}$「」${\displaystyle \lnot \Diamond \lnot A}$と同等であるという考えが含まれます。別のそのような原理は、何かが必然的である場合、それは可能でなければならない、というものです。これは、「」が${\displaystyle \Diamond A}$「」${\displaystyle \Box A}$から従うことを意味します。^{[27] [28] [30]}どの公理が様相論理を支配しているかについては意見が分かれています。異なる形式の様相論理は、多くの場合、システムの入れ子になった階層として提示され、最も基本的なシステム（システム Kなど）は最も基本的な公理のみを含み、人気のあるシステム S5など、他のシステムは追加の公理を含めることでその上に構築されます。^{[27] [28] [30]}この意味で、システム K は一階述語論理の拡張であり、システム S5 はシステム K の拡張です。哲学的論理における重要な議論は、どの様相論理システムが正しいかという問題に関係しています。^{[27] [28] [30]}多様な推論を導き出すためには、可能な限り強力なシステムを持つことが通常は有利である。しかし、これには、特定のケースにおいて、これらの追加的な推論のいくつかが基本的な様相的直観と矛盾する可能性があるという問題が伴う。これが通常、より基本的な公理系を選択する動機となる。^{[27] [28] [30]}

可能世界意味論は様相論理において非常に影響力のある形式意味論であり、システム S5 をもたらす。^{[27] [28] [30]}言語の形式意味論は、その言語の文が真であるか偽であるかの条件を特徴付ける。形式意味論は、妥当性のモデル理論的概念において中心的な役割を果たす。^{[4] [10]}それらは、推論が有効であるか否かについて明確な基準を提供することができる。推論が有効であるのは、それが真理保存的である場合、すなわち、その前提が真であるときはいつでもその結論も真である場合のみである。^{[9] [10] [31]}それらが真であるか偽であるかは、形式意味論によって指定される。可能世界意味論は、様相論理で表現された文の真理条件を可能世界の観点から指定する。^{[27] [28] [30]}可能世界は、物事がどのようになることができ^{[32] [33]}この見解では、-演算子によって修飾された文は、少なくとも1つの可能世界で真であれば真であり、-演算子によって修飾された文は、すべての可能世界で真であれば真である。^{[27] [28] [30]したがって、} 「」 （ソクラテスが賢い可能性がある）という文は、ソクラテスが賢い世界が少なくとも1つ存在するため真である。しかし、「」（ソクラテスが賢い必要がある）という文は、ソクラテスがすべての可能世界で賢いわけではないため偽である。 可能世界意味論は循環的であるように見えるため、様相論理の形式意味論として批判されてきた。^[8]その理由は、可能世界自体が様相用語、つまり物事がどのようになり得たかという方法で定義されているためである。このように、可能世界意味論自体が様相表現を使用して、様相表現を含む文の真偽を決定する。^[8]${\displaystyle \Diamond }$${\displaystyle \Box}$${\displaystyle \Diamond W(s)}$${\displaystyle \Box W(s)}$

義務論的論理は古典論理を倫理学の分野に拡張したものである。^{[34] [14] [35]倫理学において中心となる重要性を持つのは、}義務と許可の概念、すなわち行為者がしなければならない、または行うことが許されている行為である。義務論的論理では、これらの概念を演算子とで表現するのが通常である。[34] [14] [35] [27] したがって、「」が「ラミレスはジョギングに行く」という命題を表す場合、「^{」はラミレスに}ジョギングに行く義務があることを意味し、「」はラミレスにジョギングに行く許可があることを意味する。 ${\displaystyle O}$${\displaystyle P}$${\displaystyle J(r)}$${\displaystyle OJ(r)}$${\displaystyle PJ(r)}$

義務論的論理は、演算子の論理的動作を規定する公理が同一であるという点で、アレティック様相論理と密接に関連している。これは、義務と許可が、妥当な推論に関して、必然性と可能性と同じように動作することを意味する。^{[34] [14] [35] [27]}このため、同じ記号が演算子として使用されることもある。^[36]アレティック様相論理と同様に、哲学的論理においても、義務論的推論を規定する共通直観を表現するための適切な公理体系はどれかという議論がある。^{[34] [14] [35]}しかし、これらの演算子の意味が異なるため、ここでの議論と反例は若干異なっている。たとえば、倫理学における共通直観は、行為者が何かをする義務を負っている場合、自動的にそれを行う許可も持つというものである。これは、公理スキーマ「」${\displaystyle OA\to PA}$を通じて形式的に表現できる。^{[34] [14] [35]}哲学的論理学にとって興味深いもう一つの問題は、アレティック様相論理と義務論的論理の関係に関するものである。この点でよく議論される原理は、義務は可能を意味するというものである。これは、行為者が何かをする義務を負うのは、行為者がそれを実行できる場合のみであることを意味する。^{[37] [38]正式には}「」${\displaystyle OA\to \Diamond A}$である。^[34]

時相論理、あるいは時制論理は、時間関係を表現するために論理的メカニズムを使用する。^{[39] [14] [35] [40]}最も単純な形式では、ある時点で何かが起こったことを表現する演算子と、あることが常に起こっていることを表現する別の演算子が含まれる。これら 2 つの演算子は、論理的様相論理における可能性と必然性の演算子と同じように動作する。過去と未来の違いは人間の営みにおいて中心的な重要性を持つため、これらの演算子は、この違いを考慮に入れるためにしばしば修正される。例えば、アーサー・プライアの時制論理は、 (... であった)、(... となるであろう)、(... は常にそうであった)、(... は常にそうである) という 4 つの演算子を使用してこのアイデアを実現している。^{[39] [14] [35] [40]}したがって、ロンドンでは常に雨が降ることを表現するには、「」を使用できます。さまざまな公理が、そこに現れる演算子に応じてどの推論が有効であるかを制御するために使用されます。それらによれば、たとえば、「」（ロンドンはいつか雨が降るだろう）を「」から推論することができます。より複雑な形式の時相論理では、 2つの命題をリンクする二項演算子も定義され、たとえば、何かが起こるまで何かが起こることを表します。^[39]${\displaystyle P}$${\displaystyle F}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G(雨(ロンドン))}$${\displaystyle F(雨(ロンドン))}$${\displaystyle G(雨(ロンドン))}$

時間様相論理は、時間を単数形の項として扱い、述語のアリティを 1 つ増やすことで、古典的な一階述語論理に翻訳できます。^[40]たとえば、時制論理文「」${\displaystyle 暗い\land P(明るい)\land F(明るい)}$（暗い、明るかった、そしてまた明るくなる）は、純粋な一階述語論理に「」${\displaystyle 暗い(t_{1})\land \exists t_{0}(t_{0}}}(t_{0}}}\land 明るい(t_{0}})\land \exists t_{2}}}(t_{1}}}\land 明るい(t_{2}}))}$と翻訳できます。^{[41]同様のアプローチは物理学でよく見られますが、論理学者は通常、演算子の観点から時間を自律的に扱うことを好みます。これは、主に文法を使用して、たとえば動詞を}活用してイベントの過去または未来を表現している自然言語にも近いです。 ^[40]

認識論的論理は、認識論の分野に適用される様相論理の一形態である。^{[42] [43] [35] [9]認識論的論理は、}知識と信念の論理を捉えることを目的としている。知識と信念を表現する様相演算子は、通常、記号「」${\displaystyle K}$と「」${\displaystyle B}$で表現される。したがって、「」が${\displaystyle W(s)}$「ソクラテスは賢い」という命題を表す場合、「」は${\displaystyle KW(s)}$「エージェントはソクラテスが賢いことを知っている」という命題を表現し、「」は${\displaystyle BW(s)}$「エージェントはソクラテスが賢いと信じている」という命題を表現する。これらの演算子を支配する公理は、さまざまな認識原理を表現するために定式化される。^{[35] [42] [43]}たとえば、公理スキーマ「」${\displaystyle KA\to A}$は、何かが知られているときはいつでも、それが真実であることを表現する。これは、真実であることしか知ることができず、そうでなければそれは知識ではなく別の精神状態であるという考えを反映している。 [ ^{35] [ 42] [43]}知識に関するもう一つの認識論的直観は、行為者が何かを知っているとき、それを知っていることも知っているという事実に関係している。これは公理図式「」${\displaystyle KA\to KKA}$で表現できる。^{[35] [42] [43]}知識と信念を結びつけるもう一つの原理は、知識は信念を意味する、すなわち「」${\displaystyle KA\to BA}$であると述べている。動的認識論は、信念と知識の変化が起こる状況に焦点を当てた認識論の独特な形態である。^[44]

高階論理は、新しい形式の量化を含めることによって、一階論理を拡張する。^{[12] [26] [45] [46]}一階論理では、量化は単数項に制限されている。これは、述語に外延があるかどうか、またはその外延がドメイン全体を含むかどうかを話すために使用できる。このようにして、「」${\displaystyle \exists x(Apple(x)\land Sweet(x))}$（甘いリンゴがいくつかある）のような命題を表現できる。高階論理では、量化は個々の項だけでなく述語に対しても許可されている。このようにして、たとえば、「」${\displaystyle \exists Q(Q(mary)\land Q(john))}$（メアリーとジョンが共有するいくつかの性質がある）のように、特定の個体が述語の一部またはすべてを共有しているかどうかを表現できる。^{[12] [26] [45] [46]}これらの変更により、高階論理は一階論理よりも表現力が高くなります。これは、さまざまな数学理論が一階論理よりも高階論理ではるかに簡単に表現できるため、さまざまな方法で数学に役立ちます。^[12]例えば、ペアノ算術やツェルメロ・フランケル集合論は、一階述語論理で表現するには無限の数の公理を必要とする。しかし、二階述語論理では、わずか数個の公理で表現できる。^[12]

しかし、この利点にもかかわらず、一階論理は高階論理よりもずっと広く使用されています。その理由の1つは、高階論理が不完全であることです。^[12]これは、高階論理で定式化された理論では、問題の理論に関連するすべての真の文を証明することができないことを意味します。^[4]もう1つの欠点は、高階論理の追加の存在論的コミットメントに関連しています。存在量化子の使用は、この量化子が及ぶエンティティに対する存在論的コミットメントをもたらすとよく考えられています。^{[9] [47] [48] [49]}一階論理では、これは個体のみに関係し、通常は問題のない存在論的コミットメントと見なされます。高階論理では、量化は特性と関係にも関係します。^{[9] [26] [6]}これは、高階論理がプラトン主義の一形態、つまり個体に加えて普遍的な特性と関係が存在するという見解をもたらすことを意味すると解釈されることがよくあります。^{[12] [45]}

直観主義論理は古典論理のより制限されたバージョンである。^{[18] [50] [14]}古典論理で使用される特定の推論規則が、直観主義論理では有効な推論を構成しないという意味で、より制限されている。これは具体的には排中律と二重否定消去法に関係する。^{[18] [50] [14]}排中律は、すべての文について、その文またはその否定のいずれかが真であると述べている。正式には次のように表現される。二重否定消去法は、文が真でなければ真である、すなわち「」であると述べている。^{[18] [14]}これらの制限により、多くの証明がより複雑になり、そうでなければ受け入れられるいくつかの証明が不可能になる。^[50]${\displaystyle A\lor \lnot A}$${\displaystyle \lnot \lnot A\to A}$

古典論理のこれらの修正は、真理は証明による検証に依存するという考えに動機付けられている。これは、「真」が「検証可能」を意味するという意味で解釈されてきた。^{[50] [14]}これはもともと数学の分野にのみ適用されていたが、その後他の分野にも使用されるようになった。^[18]この解釈では、排中律は、すべての数学の問題には証明の形で解決策があるという仮定を伴うことになる。この意味で、排中律の直観主義的拒否は、この仮定を拒否することによって動機付けられている。^{[18] [14]}この立場は、経験されていない真理や検証を超越する真理は存在しないと述べることによっても表現できる。 [ ^50]この意味で、直観主義論理は形而上学的観念論の一形態に動機付けられている。数学に適用すると、数学的対象は心の中で構築される範囲でのみ存在すると述べる。^[50]

自由論理は、古典論理に存在する前提のいくつかを拒否する。^{[51] [52] [53]}古典論理では、すべての単数形は量化のドメイン内のオブジェクトを表示する必要がある。^[51]これは通常、名前付きエンティティの存在に対する存在論的コミットメントとして理解されます。 しかし、日常の談話では、「サンタクロース」や「ペガサス」など、存在するエンティティを参照しない名前が多く使用されます。 これにより、そのような談話領域が厳密な論理的処理から排除される恐れがあります。 自由論理は、非表示の単数形を持つ式を許可することでこれらの問題を回避します。^{[52]これは、}固有名詞だけでなく、明確な説明や機能式にも適用されます。 ^{[51] [53]}一方、量化子は通常どおりドメイン全体にわたるものとして扱われます。 これにより、「」${\displaystyle \lnot \exists x(x=santa)}$（サンタクロースは存在しない）などの表現は、古典論理では自己矛盾であっても真になります。^[51]また、古典論理で有効な推論形式が自由論理では有効ではないという結果ももたらします。たとえば、古典論理では「」${\displaystyle ひげ(サンタ)}$（サンタクロースはひげを生やしている）から「」${\displaystyle \exists x(ビアード(x))}$（何かにひげを生やしている）と推論できますが、自由論理ではそうではありません。 ^[51]自由論理では、単数形がドメイン内のオブジェクトを表すかどうかを示すために存在述語がよく使用されます。しかし、存在述語の使用は議論の的となっています。述語がオブジェクトに適用される場合、存在が必要であるという考えに基づいて、存在述語はしばしば反対されます。この意味で、存在自体は述語にはなり得ません。^{[9] [54] [55]}

「自由論理」という用語を作ったカレル・ランバートは、述語論理がアリストテレス論理の一般化であるのと同様に、自由論理は古典的な述語論理の一般化として理解できると示唆した。この見解では、古典的な述語論理は空の拡張を持つ述語を導入するのに対し、自由論理は存在しないものの特異な項を導入する。^[51]

自由論理にとって重要な問題は、空特異項を含む式の真理値をどのように決定するか、すなわち自由論理の形式意味論を定式化することにある。^[56]古典論理の形式意味論では、式の真理値をその表示によって定義できる。しかし、自由論理のすべての式にこの選択肢を適用できるわけではない。なぜなら、すべての式に表示があるわけではないからである。^{[56]この問題に対する3つの一般的なアプローチは、}否定意味論、肯定意味論、中立意味論であり、文献ではよく議論されている。 [ ^53] 否定意味論では、空特異項を含むすべての原子式は偽であるとする。この見解では、式「」${\displaystyle ひげ(サンタ)}$は偽である。^{[56] [53]} 肯定意味論では、空特異項を含む式の一部は少なくとも真であるとする。これには通常、「」${\displaystyle santa=santa}$のような恒等式ステートメントが含まれる。いくつかのバージョンでは、存在しないオブジェクト用に2番目の外部ドメインが導入され、それを使用して対応する真理値を決定する。^{[56] [53]} 一方、中立意味論では、空の項を含む原子式は真でも偽でもないとされる。 ^{[56] [53]} これはしばしば三値論理、すなわち、これらのケースでは真と偽に加えて第三の真理値が導入されると理解される。^[57]

多値論理は、2つ以上の真理値を許容する論理である。^{[58] [14] [59]}これらは、古典論理の核となる仮定の1つである真理の二価性の原理を否定する。多値論理の最も単純なバージョンは3値論理である。3番目の真理値を含む。たとえば、スティーブン・コール・クリーネの3値論理では、この3番目の真理値は「未定義」である。^{[58] [59]}ヌエル・ベルナップの4値論理によると、可能な真理値は「真」、「偽」、「真でも偽でもない」、「真と偽の両方」の4つである。これは、たとえば、状態が取得するかどうかに関する情報を示すものとして解釈できる。つまり、取得する情報、取得しない情報、情報なし、矛盾する情報である。^[58]多値論理の最も極端な形式の1つはファジー論理である。これは、0 から 1 の間の任意の程度で真実が生じることを可能にする。^{[60] [58] [14]} 0 は完全に偽、1 は完全に真に対応し、その間の値はある程度の真実、たとえば少し真、非常に真に対応している。^{[60] [58]}これは、自然言語のあいまいな表現を扱うためによく使用される。たとえば、「Petr は若い」と言う場合、「Petr」が 23 歳を指す場合よりも 3 歳を指す場合の方が適切である (つまり、「より真実である」)。^[60]有限個の真理値を持つ多値論理では、古典論理と同様に、真理値表を使用して論理接続子を定義できる。違いは、これらの真理値表は、より多くの可能な入力と出力を考慮する必要があるため、より複雑である点である。^{[58] [59]たとえば、Kleene の 3 値論理では、接続演算子}「」${\displaystyle \land}$の入力「true」と「undefined」は、「undefined」という出力になる。一方、「false」と「undefined」を入力すると、「false」が返されます。^{[61] [59]}

矛盾論理は、全面的な不合理につながることなく矛盾に対処できる論理システムです。^{[62] [14] [63]これは、古典論理に見られる}爆発の原理を回避することによって実現されます。爆発の原理によると、矛盾からは何でも生じます。これは、古典論理で有効な2つの推論規則、すなわち選言導入と選言三段論法によって当てはまります。^{[62] [14] [63]}選言導入によれば、真の命題と対になっている場合、任意の命題を選言の形で導入できます。^[64]したがって、「太陽は月よりも大きい」というのは真なので、「太陽は月よりも大きい、またはスペインは宇宙ウサギに支配されている」と推論できます。選言三段論法によれば、これらの選言の1つが真で、もう1つが偽であると推論できます。^[64]したがって、論理体系にこの命題の否定、つまり「太陽は月より大きくない」という命題も含まれている場合、この体系から「スペインは宇宙ウサギに支配されている」という命題のようなあらゆる命題を推論することが可能になる。矛盾のない論理は、爆発原理に従った推論を無効にする異なる推論規則を使用することでこれを回避している。^{[62] [14] [63]}

矛盾した論理を使用する重要な動機は、二神論、すなわち、矛盾は単に間違いによって理論に導入されるのではなく、現実自体が矛盾しており、理論内の矛盾は現実を正確に反映するために必要であるという信念である。^{[63] [65] [62] [66]}矛盾した論理がなければ、すべてが真と偽の両方になるため、二神論は絶望的であろう。^[66]矛盾した論理は、システム全体を爆発させることなく、矛盾を局所的に保つことを可能にする。 ^[14]しかし、この調整を行った後でも、二神論は依然として非常に議論されている。^{[63] [66]}矛盾した論理のもう1つの動機は、グループのメンバー間で意見が一致しない場合にグループ全体が矛盾した信念を持つ可能性がある場合に、議論やグループの信念に論理を提供することである。^[63]

関連性論理は矛盾無矛盾論理の一種である。そのため、関連性論理の主な動機ではないものの、爆発の原理も回避される。代わりに、関連性論理は通常、古典論理に見られる物質的条件の直感に反する特定の適用を回避することを目的として定式化される。^{[67] [14] [68]}古典論理は、物質的条件を純粋に真理関数的な用語で定義する。つまり、「」${\displaystyle p\to q}$が真で「」が${\displaystyle p}$偽である場合、 「」${\displaystyle q}$は偽であるが、それ以外の場合は常に真である。この正式な定義によれば、「」${\displaystyle p}$と「」が${\displaystyle q}$何らかの形で互いに関連しているかどうかは問題ではない。^{[67] [14] [68]}たとえば、「すべてのレモンが赤い場合、シドニーオペラハウス内に砂嵐が発生する」という物質的条件は、2つの命題が互いに関連していなくても真である。

物質的条件文のこの用法が極めて非直感的であるという事実は、非形式論理にも反映されており、非形式論理では、このような推論を関連性の誤謬として分類している。関連性論理は、真の物質的条件文の場合、その前提が帰結と関連していなければならないと要求することで、これらのケースを回避しようとする。 ^{[67] [14] [68]}この問題で直面する困難は、関連性は通常命題の内容に属するのに対し、論理は形式的な側面のみを扱うことである。この問題は、いわゆる変数共有原理によって部分的に対処される。これは、前提と帰結が命題変数を共有しなければならないと述べている。^{[67] [68] [14]}これは、たとえば「」${\displaystyle (p\land q)\to q}$では当てはまるが、 「」${\displaystyle (p\land q)\to r}$では当てはまらない。関連性論理の密接に関連する懸念は、推論が同じ関連性の要件に従うべきである、つまり、前提が結論と関連していることが有効な推論の必要要件である、ということである。^[67]