切頂十二十二面体

幾何学において、切頂十二面体（または星形切頂十二面体）は、非凸一様多面体であり、U _{59で索引付けされている。}シュレーフリ記号は t _0,1,2 { 5 ⁄ 3 ,5}で示される。54 の面（正方形30 個、十角形12 個、十四角形12 個）、180 の辺、120 の頂点を持つ。 ^[1]多面体の中心領域は、20 個の小さな三角形の穴を介して外部とつながっている。

切頂十二面体という名前はやや誤解を招く。 十二面体を切頂すると正方形ではなく長方形の面ができ、十二面体の五芒星の面は十芒星ではなく切頂五芒星になるからである。しかし、これはコクセター、ロンゲ＝ヒギンズ、ミラー（1954）によって定義された十二面体の準切頂である。^[2]このため、準切頂十二面体としても知られている。^[3]コクセターらは、この発見をオーストリアの数学者ヨハン・ピッチが1881年に発表した論文によるものとしている。^[4]

切頂十二面体の頂点の直交座標は、次の点からの円シフトと符号の変更によって得られる 3 つの数値すべてです (ここでは黄金比)。 ${\displaystyle \varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$$${\displaystyle {\begin{array}{lcr}{\Bigl (}1,&1,&3{\Bigr )},\\{\Bigl (}{\frac {1}{\varphi }},&{\ frac {1}{\varphi ^{2}}},&2\varphi {\Bigr )},\\{\Bigl (}\varphi ,&{\frac {2}{\varphi }},&\varphi ^{2}{\Bigr )},\\{\Bigl (}\varphi ^{2},&{\frac {1}{\varphi ^{2}}},&2{\ Bigr )},\\{\Bigr (}{\sqrt {5}},&1,&{\sqrt {5}}{\Bigr )}.\end{array}}}$$

これら 5 つのポイントにはそれぞれ 8 つのサイン パターンと 3 つの円形シフトがあり、合計 120 の異なるポイントがあります。

切頂十二面体は、5 元対称群のケイリーグラフを形成します。これは、2 つのグループ メンバーによって生成されます。1 つは 5 組の最初の 2 元を交換し、もう 1 つは最後の 4 元に対して循環シフト操作を実行します。つまり、多面体の 120 頂点は、5 元に対する 5! 順列と 1 対 1 で対応して配置でき、各頂点の 3 つの隣接頂点は、最初の 2 元を交換するか、最後の 4 元を (どちらの方向にも) 循環シフトすることによって形成された 3 つの順列になります。^[5]

中位二等三十面体は、非凸等面体 多面体です。これは、一様切頂十二十二面体の双対です。

• 均一多面体の一覧

• ウェニンガー、マグナス（1983）、デュアルモデル、ケンブリッジ大学出版局、doi：10.1017/CBO9780511569371、ISBN 978-0-521-54325-5、MR  0730208

• Weisstein、Eric W.「切頂十二面体」。MathWorld。
• Weisstein、Eric W.「中間二次元三十面体」。MathWorld。