回帰離散フーリエ級数

応用数学において、回帰離散フーリエ級数 (RDFS) は、離散フーリエ変換の一般化であり、フーリエ級数の係数は最小二乗の意味で計算され、周期は任意であり、必ずしもデータの長さと等しくありません。これは、Arruda (1992a、1992b) によって最初に提案されました。これを使用して、1 次元以上のデータを平滑化し、平滑化された曲線、表面、または超表面からの導関数を計算できます。

Arruda (1992a) によって提案された 1 次元 RDFS は、非常に簡単に定式化できます。サンプリングされたデータ ベクトル (信号)が与えられた場合、次の代数式を書くことができます。 ${\displaystyle x_{n}=x(t_{n})}$

${\displaystyle x_{n}=\sum _{k=-q}^{q}X_{k}e^{\frac {-i2\pi kt_{n}}{T}}+\varepsilon _{n},t_{n}{\text{ 任意 }},\quad n=1,\dots ,N.\,}$

通常はそうですが、これは必須ではありません。 ${\displaystyle t_{n}=n\,\Delta t}$

上記の式は行列形式で次のように表すことができます。

${\displaystyle WX=x+\バレプシロン .\,}$

上記の線形方程式の最小二乗解は次のように表すことができます。

${\displaystyle {\hat {X}}=(W^{H}W)^{-1}W^{H}x\,}$

ここで はの共役転置であり、平滑化された信号は次式から得られます。 ${\displaystyle X^{H}}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\hat {x}}=W{\hat {X}}\,}$

平滑化された信号の一次導関数は次のように得られます。 ${\displaystyle {\hat {x}}}$

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}(t_{n})=\sum _{k=-q}^{q}{\frac {-i2\pi k}{T}}X_{k}e^{\frac {-i2\pi kt_{n}}{T}},\quad n=1,\dots ,N.\,}$

Arruda (1992b) が提案した 2 次元または 2 次元 RDFS も、簡単な方法で定式化できます。ここでは、単純化のために等間隔のデータ ケースを扱います。一般的な非等間隔および任意のグリッド ケースについては、参考文献 (Arruda、1992b) に記載されています。サンプリングされたデータ マトリックス (2 次元信号)が与えられた場合、次の代数式を書くことができます。 ${\displaystyle x_{mn}=x(\xi _{m},\nu _{n}),m=1,\dots ,M;\ n=1,\dots ,N;}$

${\displaystyle x_{mn}=\sum _{k=-p}^{p}\sum _{l=-q}^{q}X_{kl}e^{\frac {-i2\pi k\xi _{m}}{L_{\xi }}}e^{\frac {-i2\pi l\nu _{n}}{L_{\nu }}}+\varepsilon _{mn},\quad m=1,\dots ,M;\ n=1,\dots ,N.\,}$

上記の式は、長方形グリッドの行列形式で表すことができます。等間隔のサンプリングの場合、次のようになります。 ${\displaystyle \xi _{m}=m\デルタ \xi ,\nu _{n}=n\デルタ \nu \,}$

${\displaystyle x_{mn}=\sum _{k=-p}^{p}\sum _{l=-q}^{q}X_{kl}e^{\frac {-i2\pi km\Delta \xi }{L_{\xi }}}e^{\frac {-i2\pi ln\Delta \nu }{L_{\nu }}}+\epsilon _{mn},\quad m=1,\dots ,M;\ n=1,\dots ,N.\,}$

最小二乗解は次のように示されます。

${\displaystyle {\hat {X}}=(W_{L_{\xi }}^{H}W_{L_{\xi }})^{-1}W_{L_{\xi }}^{H} xW_{L_{\nu }}^{*}(W_{L_{\nu }}W_{L_{\nu }}^{H})^{-1}\,}$

滑らかな2次元表面は次のように表されます。

${\displaystyle {\hat {x}}=W_{L_{\xi }}{\hat {X}}W_{L_{\nu }}^{t}\,}$

ここでは共役、 はの転置です。 ${\displaystyle X^{H}}$${\displaystyle X^{t}}$${\displaystyle X}$

に関する微分は、1次元の場合と同様に簡単に実装できます (Arruda、1992b)。 ${\displaystyle \xi {\text{ と }}\nu }$

• 空間的に密なデータ凝縮アプリケーション: Arruda, JRF [1993] は、モード解析パラメータ推定法を適用する前に、レーザードップラー振動計で行われた空間的に密な空間測定を凝縮するためにRDFS を適用しました。最近では、Vanherzeele ら (2006、2008a) が、同じ種類のアプリケーション向けに一般化され最適化された RDFS を提案しました。RDFS を使用した光学測定処理のレビューは、Vanherzeele ら (2009) によって公開されました。
• 空間微分応用：Batistaら[2009]は、RDFSを適用して、2次元測定振動データの空間微分を取得し、長方形板の横方向モードから材料特性を特定しました。
• SHMの応用：Vanherzeeleら[2009]は、RDFSの一般化バージョンをトモグラフィー再構成に適用した。

最近、無料のオープンソース ソフトウェア R での使用を容易にするために、1 次元および 2 次元の RDFS を含むパッケージが開発されました。

• Github の RDFS 用 AR パッケージ

• 離散フーリエ変換
• フーリエ級数

• Arruda, JRF, 1992a:回帰離散フーリエ級数を用いた非等間隔データの解析。音響振動ジャーナル、156(3)、571–574。
• Arruda, JRF, 1992b:回帰離散フーリエ級数を用いた表面平滑化と部分空間微分。機械システムと信号処理、6(1)、41–50。
• Arruda, JRF, 1993: レーザー速度計を使用した軽度減衰構造の空間領域モーダル解析。振動と音響ジャーナル、115、225–231。
• Batista, FB, Albuquerque, EL, Arruda, JRF, Dias Jr., M., 2009:回帰離散フーリエ級数と有限差分を使用した対称積層板の曲げ剛性の識別。Journal of Sound and Vibration、320、793–807。
• Vanherzeele, J., Guillaume, P., Vanlanduit, S., Verboten, P., 2006: 一般化回帰離散フーリエ級数を使用したデータ削減、Journal of Sound and Vibration、298、1–11。
• Vanherzeele, J.、Vanlanduit, S.、Guillaume, P.、2008a: 最適化された回帰離散フーリエ級数を使用した空間データの削減、Journal of Sound and Vibration、309、858–867。
• Vanherzeele, J., Longo, R., Vanlanduit, S., Guillaume, P., 2008b: 一般化回帰離散フーリエ級数を使用したトモグラフィー再構成、Mechanical Systems and Signal Processing、22、1237–1247。
• Vanherzeele, J., Vanlanduit, S., Guillaume, P., 2009: 回帰離散フーリエ級数を使用した光学測定の処理、工学における光学およびレーザー、47、461–472。