解析的部分群定理

数学において、解析的部分群定理は現代の超越数論における重要な結果である。これは、対数の線型形式に関するベイカーの定理の一般化と見ることができる。ギスベルト・ヴュストホルツは1980年代にこれを証明した。^{[1] [2]}これは超越数理論における画期的な進歩であった。長年未解決であった多くの問題が、直接的な結果として導き出される。

が代数体上で定義された可換代数群であり、が数体上で定義されたリー代数を持つのリー部分群である場合、 が適切な代数部分群を含まない限り、の非ゼロ代数点を含みません。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle G}$${\displaystyle A}$${\displaystyle G}$${\displaystyle A}$

証明の中心的な新しい要素の 1 つは、特殊なケースでDavid MasserとGisbert Wüstholzによって開発され、一般的なケースでは Wüstholz によって確立された、群多様体の多重度推定の理論であり、これは解析的部分群定理の証明に必要でした。

解析的部分群定理の驚くべき結果の 1 つは、マッサーとヴュストホルツによって発表された同種定理です。直接的な結果は、アーベル多様体に対するテイト予想です。これは、ゲルト・ファルティングスがまったく異なる方法で証明したもので、現代の数論幾何学で多くの応用があります。

ヴュストホルツは、群多様体の多重度推定値を使用して、対数における線形形式の下限の最終的な期待形式を得ることに成功しました。これは、彼とアラン・ベイカーの共同研究で有効な形式にまとめられ、現在の最先端技術となっています。多重度推定値に加えて、さらに新しい要素として、非常に明確な下限を得るための数の幾何学の非常に洗練された使用がありました。

• 代数曲線

• ベイカー、アラン; ヴュストホルツ、ギスベルト (1993)、「対数形式と群多様体」、J. レイン アンジュー、数学、1993 (442): 19– 62、doi :10.1515/crll.1993.442.19、MR  1234835、S2CID  118335888
• ベイカー、アラン; ヴュストホルツ、ギスバート (2007)。対数形式とディオファントス幾何学。新数学モノグラフ。第 9 巻。ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-88268-2. MR  2382891。
• マッサー、デイヴィッド; ヴュストホルツ、ギスベルト (1993)、「アーベル多様体と有限性定理の同型推定」、数学年報、第 2 シリーズ、137 (3): 459– 472、doi :10.2307/2946529、JSTOR  2946529、MR  1217345