代数学 において、入れ子になった根号 とは、別の根号を含む（入れ子になった）根号式（ 平方根 記号、立方根 記号などを含む）のことです。例としては、
5 − 2 5 、 {\displaystyle {\sqrt {5-2{\sqrt {5}}\ }},}
これは正五角形 や、より複雑なものについて議論する際に生じるものです。
2 + 3 + 4 3 3 。 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{2+{\sqrt {3}}+{\sqrt[{3}]{4}}\ }}.}
巣から出る 入れ子になった部首の中には、入れ子になっていない形に書き換えられるものもあります。例えば、
3 + 2 2 = 1 + 2 、 {\displaystyle {\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}=1+{\sqrt {2}}\,,}
2 + 5 − 2 6 = 3 、 {\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {5-2{\sqrt {6}}}}={\sqrt {3}},\quad } [ 1 ] 2 3 − 1 3 = 1 − 2 3 + 4 3 9 3 。 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{{\sqrt[{3}]{2}}-1}}={\frac {1-{\sqrt[{3}]{2}}+{\sqrt[{3}]{4}}}{\sqrt[{3}]{9}}}\,.}
もう1つの簡単な例として、
2 3 = 2 6 \displaystyle {\sqrt[{3}]{\sqrt {2}}}={\sqrt[{6}]{2}}}
このように入れ子になった部首を書き換えることを脱入れ入れ と呼びます。これは常に可能とは限らず、可能な場合でも難しい場合が多いです。
入れ子になった2つの平方根 2 つの入れ子になった平方根の場合、次の定理は入れ子解除の問題を完全に解決します。[ 2 ] 。 {\displaystyle \textstyle {\sqrt {\;^{\;}}}} は
1つは、次の形式の式で2つの入れ子になった平方根を持つ。 α + β r γ + δ r 、 {\displaystyle {\sqrt {\frac {\alpha +\beta {\sqrt {r}}}{\gamma +\delta {\sqrt {r}}}}},} 有理化すると、次の形式の式が得られます。 1 ± b r 、 {\displaystyle {\sqrt {a\pm b{\sqrt {r}}}},} で 1 、 b 、 r {\displaystyle a,b,r} は 有理数 であり、 b > 0 {\displaystyle b>0} c = r b 2 {\displaystyle c=rb^{2}} 1 ± c 。 {\displaystyle {\sqrt {a\pm {\sqrt {c}}}}.}
この定理は2つの別々のステップで証明されます。まず、次の形式の非入れ子式が得られます。 x ± y \displaystyle {\sqrt {x}}\pm {\sqrt {y}}} 1 2 − c = d 2 {\displaystyle a^{2}-c=d^{2}} です 。 t + x ± y + z x y {\displaystyle t+{\sqrt {x}}\pm {\sqrt {y}}+z{\sqrt {x}}{\sqrt {y}}} ガロア理論 が関係します。
与えられたデネスト式が正しいことの証明: もし 1 > 0 {\displaystyle a>0} そして 1 2 − c = d 2 {\displaystyle a^{2}-c=d^{2}} 。 1 {\displaystyle a} そして c / 4 {\displaystyle c/4} 二項式 を適用すれば十分です。
平方根の和または差へのデネストが可能であれば、次のことが証明される。 1 > 0 {\displaystyle a>0} そして 1 2 − c = d 2 {\displaystyle a^{2}-c=d^{2}} 、方程式 は 1 ± c = x ± y {\displaystyle {\sqrt {a\pm {\sqrt {c}}}}={\sqrt {x}}\pm {\sqrt {y}}} 1 ± c = x + y ± 2 x y 。 {\displaystyle a\pm {\sqrt {c}}=x+y\pm 2{\sqrt {xy}}.} 。 x y {\displaystyle {\sqrt {xy}}} は フィールド の要素です Q （ c ） \displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {c}})} α + β c {\displaystyle \alpha +\beta {\sqrt {c}}} α {\displaystyle \alpha } そして β {\displaystyle \beta } 有理数 は β ≠ 0 {\displaystyle \beta \neq 0} なぜなら 無理数が 有理数と等しくなってしまうからである。x y = （ α + β c ） 2 = α 2 + c β 2 + 2 α β c 。 {\displaystyle xy=(\alpha +\beta {\sqrt {c}})^{2}=\alpha ^{2}+c\beta ^{2}+2\alpha \beta {\sqrt {c}}.} x y {\displaystyle xy} あり 、 β ≠ 0 {\displaystyle \beta \neq 0} α = 0 {\displaystyle \alpha =0} その 、 x y = β 2 c {\displaystyle xy=\beta ^{2}c} そして 1 + c = x + y ± 2 β c 。 {\displaystyle a+{\sqrt {c}}=x+y\pm 2\beta {\sqrt {c}}.} x + y = 1 {\displaystyle x+y=a} β = 1 2 {\displaystyle \beta ={\tfrac {1}{2}}} x y = c 4 {\displaystyle xy={\tfrac {c}{4}}} ヴィエタの公式 によれば、次のことを意味する。 x {\displaystyle x} そして y {\displaystyle y} 。 X 2 − 1 X + c 4 。 {\displaystyle X^{2}-aX+{\frac {c}{4}}.} 。 1 > 0 {\displaystyle a>0} そして 1 2 − c {\displaystyle a^{2}-c} は 、二次方程式の解の公式によって解が得られます。
その他の巣立ちの方法：
形式のデネスト 1 + c = α r + β s {\displaystyle {\sqrt {a+{\sqrt {c}}}}=\alpha {\sqrt {r}}+\beta {\sqrt {s}}} 設定 x = r α 2 {\displaystyle x=r\alpha ^{2}} そして y = s β 2 {\displaystyle y=s\beta ^{2}} 1 + c = ± x ± y 。 {\displaystyle {\sqrt {a+{\sqrt {c}}}}=\pm {\sqrt {x}}\pm {\sqrt {y}}.} ± {\displaystyle \pm } 。」 x {\displaystyle x} そして y {\displaystyle y}
もし 1 ± c ∈ Q （ c ） 、 {\textstyle {\sqrt {a\pm {\sqrt {c}}}}\in \mathbb {Q} ({\sqrt {c}}),} する α {\displaystyle \alpha } そして β {\displaystyle \beta } 1 ± c = α + β c = ± α 2 ± β 2 c 。 {\displaystyle {\sqrt {a\pm {\sqrt {c}}}}=\alpha +\beta {\sqrt {c}}=\pm {\sqrt {\alpha ^{2}}}\pm {\sqrt {\beta ^{2}c}}.} 。 Q （ c ） {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {c}})} は の Q （ c ） {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {c}})}
一般的なデネスト式は、1 ± c {\textstyle {\sqrt {a\pm {\sqrt {c}}}}} として K = Q （ r 1 、 … r k ） {\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {r_{1}}},\ldots {\sqrt {r_{k}}})} r 1 、 … 、 r k {\displaystyle r_{1},\ldots ,r_{k}} できる 。 r 私 {\displaystyle r_{i}} は 素数 であり、拡張すること で K {\displaystyle K} と 、 r 私 {\displaystyle r_{i}} そして する r 私 {\displaystyle {\sqrt {r_{i}}}} r 私 {\displaystyle r_{i}} は 素数 であり、 K {\displaystyle K} は ガロア 拡張 であるQ {\displaystyle \mathbb {Q} } （ Z / 2 Z ） k {\displaystyle (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{k}} ガロア 群 として。このガロア群の要素は です。 k {\displaystyle k} 自己同型は、 r 私 {\displaystyle {\sqrt {r_{i}}}} 私 {\displaystyle i} タプルの 番目
既に検討したケースを除く1 ± c ∈ Q （ c ） 、 {\textstyle {\sqrt {a\pm {\sqrt {c}}}}\in \mathbb {Q} ({\sqrt {c}}),} Q （ 1 ± c ） {\displaystyle \mathbb {Q} \left({\sqrt {a\pm {\sqrt {c}}}}\right)} は の K {\displaystyle K} 4 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } のガロア拡張である。 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } クライン 4群 をガロア群とする。このガロア群の自己同型写像は恒等写像、2つの対合写像である 。 σ 1 {\displaystyle \sigma _{1}} そして σ 2 {\displaystyle \sigma _{2}} それら は σ 1 σ 2 {\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{2}} 要素 Q （ 1 ± c ） {\displaystyle \mathbb {Q} \left({\sqrt {a\pm {\sqrt {c}}}}\right)} て いる σ 1 {\displaystyle \sigma _{1}} 二次拡張 の場合 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } Q （ x ） {\displaystyle \mathbb {Q} (x)} x ∈ Q {\displaystyle x\in \mathbb {Q} } 同様 。 σ 2 {\displaystyle \sigma _{2}} 生成 する Q （ y ） {\displaystyle \mathbb {Q} (y)} Q （ 1 ± c ） = Q （ x 、 y ） {\displaystyle \mathbb {Q} \left({\sqrt {a\pm {\sqrt {c}}}}\right)=\mathbb {Q} ({\sqrt {x}},{\sqrt {y}})}
これは、脱ネストが可能な場合、脱ネストは最大で2つの基数で可能であることを示している。
すべての要素 Q （ x 、 y ） {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {x}},{\sqrt {y}})} 1 ± c = α + β x + γ y + δ x y 、 {\displaystyle {\sqrt {a\pm {\sqrt {c}}}}=\alpha +\beta {\sqrt {x}}+\gamma {\sqrt {y}}+\delta {\sqrt {x}}{\sqrt {y}},} α 、 β 、 γ 、 δ ∈ Q {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \in \mathbb {Q} } 左要素の符号を変える自己同型が存在する。右要素のすべての非零項の符号も 、 α {\displaystyle \alpha } は β 、 γ 、 δ {\displaystyle \beta ,\gamma ,\delta } は ば β ≠ 0 {\displaystyle \beta \neq 0} そして γ ≠ 0 {\displaystyle \gamma \neq 0} δ = 0 {\displaystyle \delta =0} なぜなら
そこで、設定する z = x y {\displaystyle z=xy}
ラマヌジャンのいくつかの恒等式 シュリニヴァーサ・ラマヌジャンは 、入れ子になった根号を含む興味深い恒等式をいくつか示しました。その中には次のものがあります。[ 3 ]
3 + 2 5 4 3 − 2 5 4 4 = 5 4 + 1 5 4 − 1 = 1 2 （ 3 + 5 4 + 5 + 125 4 ） 、 {\displaystyle {\sqrt[{4}]{\frac {3+2{\sqrt[{4}]{5}}}{3-2{\sqrt[{4}]{5}}}}}={\frac {{\sqrt[{4}]{5}}+1}{{\sqrt[{4}]{5}}-1}}={\tfrac {1}{2}}\left(3+{\sqrt[{4}]{5}}+{\sqrt {5}}+{\sqrt[{4}]{125}}\right),}
28 3 − 27 3 = 1 3 （ 98 3 − 28 3 − 1 ） 、 {\displaystyle {\sqrt {{\sqrt[{3}]{28}}-{\sqrt[{3}]{27}}}}={\tfrac {1}{3}}\left({\sqrt[{3}]{98}}-{\sqrt[{3}]{28}}-1\right),}
32 5 5 − 27 5 5 3 = 1 25 5 + 3 25 5 − 9 25 5 、 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{{\sqrt[{5}]{\frac {32}{5}}}-{\sqrt[{5}]{\frac {27}{5}}}}}={\sqrt[{5}]{\frac {1}{25}}}+{\sqrt[{5}]{\frac {3}{25}}}-{\sqrt[{5}]{\frac {9}{25}}},}
そして
2 3 − 1 3 = 1 9 3 − 2 9 3 + 4 9 3 。 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{\ {\sqrt[{3}]{2}}\ -1}}={\sqrt[{3}]{\frac {1}{9}}}-{\sqrt[{3}]{\frac {2}{9}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {4}{9}}}.\quad } [ 4 ]
三角法では 三角法 では、多くの角度の正弦と余弦は 入れ子になった根号で表すことができます。たとえば、 罪 π 60 = 罪 3 ∘ = 1 16 [ 2 （ 1 − 3 ） 5 + 5 + 2 （ 5 − 1 ） （ 3 + 1 ） ] {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{60}}=\sin 3^{\circ }={\frac {1}{16}}\left[2(1-{\sqrt {3}}){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)({\sqrt {3}}+1)\right]}
そして 罪 π 24 = 罪 7.5 ∘ = 1 2 2 − 2 + 3 = 1 2 2 − 1 + 3 2 。 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{24}}=\sin 7.5^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\frac {1+{\sqrt {3}}}{\sqrt {2}}}}}.} 最後の等式は、 § 2 つの入れ子になった平方根 の結果から直接導かれます。
3次方程式の解において 入れ子になった根号は、三次方程式 の代数解 に現れます。任意の三次方程式は、二次項を含まない簡略化された形で次のように書くことができます。
x 3 + p x + q = 0 、 {\displaystyle x^{3}+px+q=0,}
その根の1つに対する一般解は x = − q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + − q 2 − q 2 4 + p 3 27 3 。 {\displaystyle x={\sqrt[{3}]{-{q \over 2}+{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}-{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}.}
3次方程式が実根を1つだけ持つ場合、実根は、立方根の被開根が実数で、立方根が実数の立方根 である式で与えられます。実根が3つある場合、平方根の式は虚数になります。ここ で、任意の実根は、最初の立方根を複素被開根の特定の複素立方根と定義し、2番目の立方根を最初の立方根の複素共役 と定義することによって表されます。この解の入れ子になった根号は、3次方程式が少なくとも1つの有 理解を持たない限り、一般には簡略化できません。実際、3次方程式が3つの無理数だが実数の解を持つ場合、既約ケースとなり、
x 3 − 7 x + 6 = 0 、 {\displaystyle x^{3}-7x+6=0,}
有理数解は 1、2、および −3 である。上記の一般解式は解を与える。 x = − 3 + 10 私 3 9 3 + − 3 − 10 私 3 9 3 。 {\displaystyle x={\sqrt[{3}]{-3+{\frac {10i{\sqrt {3}}}{9}}}}+{\sqrt[{3}]{-3-{\frac {10i{\sqrt {3}}}{9}}}}.}
任意の立方根とその共役に対して、これは複素数を含む入れ子状の根号を含みますが、（一見そうは見えませんが）1、2、または-3のいずれかの解に還元できます。
無限にネストされた根号
平方根 特定の条件下では、無限にネストされた平方根など x = 2 + 2 + 2 + 2 + ⋯ {\displaystyle x={\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots }}}}}}}}}
有理数を表す。この有理数は、x が 根号の中にも現れることに気づけば、次の式が得られる。
x = 2 + x 。 {\displaystyle x={\sqrt {2+x}}.}
この方程式を解くと、x = 2x = −1は適用されません）。このアプローチは、一般にn > 0n + n + n + n + ⋯ = 1 2 （ 1 + 1 + 4 n ） {\displaystyle {\sqrt {n+{\sqrt {n+{\sqrt {n+{\sqrt {n+\cdots }}}}}}}}={\tfrac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {1+4n}}\right)}
そして、これは方程式x 2 − x − n = 0n = 1黄金比 φであり、約 1.618 に等しくなります。 n > 0n − n − n − n − ⋯ = 1 2 （ − 1 + 1 + 4 n ） 、 {\displaystyle {\sqrt {n-{\sqrt {n-{\sqrt {n-{\sqrt {n-\cdots }}}}}}}}={\tfrac {1}{2}}\left(-1+{\sqrt {1+4n}}\right),} x 2 + x − n = 0
入れ子になった2の平方根 入れ子になった 2 の平方根は、無限にネストされた根号の広いクラスの特殊なケースです。これらを正弦と余弦に結びつける既知の結果が多数あります。たとえば、入れ子になった 2 の平方根は [ 7 ] R （ b k 、 … 、 b 1 ） = b k 2 2 + b k − 1 2 + b k − 2 2 + ⋯ + b 2 2 + x {\displaystyle R(b_{k},\ldots ,b_{1})={\frac {b_{k}}{2}}{\sqrt {2+b_{k-1}{\sqrt {2+b_{k-2}{\sqrt {2+\cdots +b_{2}{\sqrt {2+x}}}}}}}}}
どこx = 2 罪 （ π b 1 / 4 ） {\displaystyle x=2\sin(\pi b_{1}/4)} b 1 {\displaystyle b_{1}} b 私 ∈ { − 1 、 0 、 1 } {\displaystyle b_{i}\in \{-1,0,1\}} 私 ≠ 1 {\displaystyle i\neq 1} R （ b k 、 … 、 b 1 ） = コス θ {\displaystyle R(b_{k},\ldots ,b_{1})=\cos \theta } θ = （ 1 2 − b k 4 − b k b k − 1 8 − b k b k − 1 b k − 2 16 − ⋯ − b k b k − 1 ⋯ b 1 2 k + 1 ） π 。 {\displaystyle \theta =\left({\frac {1}{2}}-{\frac {b_{k}}{4}}-{\frac {b_{k}b_{k-1}}{8}}-{\frac {b_{k}b_{k-1}b_{k-2}}{16}}-\cdots -{\frac {b_{k}b_{k-1}\cdots b_{1}}{2^{k+1}}}\right)\pi .}
この結果により、任意のx ∈ [ − 2 、 2 ] {\displaystyle x\in [-2,2]} R k （ x ） = 2 + 2 + ⋯ + 2 + x 。 {\displaystyle R_{k}(x)={\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots +{\sqrt {2+x}}}}}}.}
もしx ≥ 2 {\displaystyle x\geq 2} [ 8 ] R k （ x ） = 2 + 2 + ⋯ + 2 + x = （ x + x 2 − 4 2 ） 1 / 2 k + （ x + x 2 − 4 2 ） − 1 / 2 k {\displaystyle {\begin{aligned}R_{k}(x)&={\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots +{\sqrt {2+x}}}}}}\\&=\left({\frac {x+{\sqrt {x^{2}-4}}}{2}}\right)^{1/2^{k}}+\left({\frac {x+{\sqrt {x^{2}-4}}}{2}}\right)^{-1/2^{k}}\end{aligned}}}
これらの結果を使用して、いくつかの入れ子になった平方根表現を取得できます。π {\displaystyle \pi } R （ b k 、 … 、 b 1 ） {\displaystyle R\left(b_{k},\ldots ,b_{1}\right)} [ 7 ] π = リム k → ∞ [ 2 k + 1 2 − b 1 R （ 1 、 − 1 、 1 、 1 、 … 、 1 、 1 、 b 1 ⏟ k 条項 ） ] {\displaystyle \pi =\lim _{k\rightarrow \infty }\left[{\frac {2^{k+1}}{2-b_{1}}}R(\underbrace {1,-1,1,1,\ldots ,1,1,b_{1}} _{k{\text{ terms }}})\right]}
どこb 1 ≠ 2 {\displaystyle b_{1}\neq 2}
ラマヌジャンは インド数学会誌 に次のような問題を提起した。
？ = 1 + 2 1 + 3 1 + ⋯ 。 {\displaystyle ?={\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+\cdots }}}}}}.}
これは、より一般的な定式化に注目することで解決できる。 ？ = 1 x + （ n + 1 ） 2 + x 1 （ x + n ） + （ n + 1 ） 2 + （ x + n ） ⋯ 。 {\displaystyle ?={\sqrt {ax+(n+a)^{2}+x{\sqrt {a(x+n)+(n+a)^{2}+(x+n){\sqrt {\mathrm {\cdots } }}}}}}.}
これをF ( x )F （ x ） 2 = 1 x + （ n + 1 ） 2 + x 1 （ x + n ） + （ n + 1 ） 2 + （ x + n ） ⋯ 、 {\displaystyle F(x)^{2}=ax+(n+a)^{2}+x{\sqrt {a(x+n)+(n+a)^{2}+(x+n){\sqrt {\mathrm {\cdots } }}}},}
これは以下のように簡略化できます F （ x ） 2 = 1 x + （ n + 1 ） 2 + x F （ x + n ） 。 {\displaystyle F(x)^{2}=ax+(n+a)^{2}+xF(x+n).}
次のように証明できる。
F （ x ） = x + n + 1 {\displaystyle F(x)={x+n+a}}
の式を満たすF （ x ） {\displaystyle F(x)} F （ x ） {\displaystyle F(x)}
そこで、a = 0n = 1x = 2 とすると、次のようになります。 3 = 1 + 2 1 + 3 1 + ⋯ 。 {\displaystyle 3={\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+\cdots }}}}}}.} ラマヌジャンは、失われたノート の中で、次のような無限根号の入れ子構造について述べている。 5 + 5 + 5 − 5 + 5 + 5 + 5 − ⋯ = 2 + 5 + 15 − 6 5 2 。 {\displaystyle {\sqrt {5+{\sqrt {5+{\sqrt {5-{\sqrt {5+{\sqrt {5+{\sqrt {5+{\sqrt {5-\cdots }}}}}}}}}}}}}}={\frac {2+{\sqrt {5}}+{\sqrt {15-6{\sqrt {5}}}}}{2}}.} （ + 、 + 、 − 、 + ） 。 {\displaystyle (+,+,-,+).}
πの式 π ヴィエトの公式は次のとおりです。 2 π = 2 2 ⋅ 2 + 2 2 ⋅ 2 + 2 + 2 2 ⋯ 。 {\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots .}
立方根 場合によっては、無限にネストされた立方根など x = 6 + 6 + 6 + 6 + ⋯ 3 3 3 3 {\displaystyle x={\sqrt[{3}]{6+{\sqrt[{3}]{6+{\sqrt[{3}]{6+{\sqrt[{3}]{6+\cdots }}}}}}}}} x = 6 + x 3 。 {\displaystyle x={\sqrt[{3}]{6+x}}.}
この方程式を解くと、x = 2 となります。より一般的には、 n + n + n + n + ⋯ 3 3 3 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{n+{\sqrt[{3}]{n+{\sqrt[{3}]{n+{\sqrt[{3}]{n+\cdots }}}}}}}}} は、すべての n > 0 に対して 方程式x 3 − x − n = 0= 1 の場合、この根は塑性比 ρ であり、約 1.3247 に等しくなります。
同じ手順で取得することもできます
n − n − n − n − ⋯ 3 3 3 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{n-{\sqrt[{3}]{n-{\sqrt[{3}]{n-{\sqrt[{3}]{n-\cdots }}}}}}}}}
すべてのn > 1 に対して、方程式x 3 + x − n = 0
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![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{{\sqrt[{3}]{2}}-1}}={\frac {1-{\sqrt[{3}]{2}}+{\sqrt[{3}]{4}}}{\sqrt[{3}]{9}}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9a0cacad52ba247ccc394608bc1d35f054ca453)
![\displaystyle {\sqrt[{3}]{\sqrt {2}}}={\sqrt[{6}]{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8db3a5d203b3b6a4cf20423ca70cd1238cca922b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {a+{\sqrt {c}}}}&={\sqrt {\frac {a+d}{2}}}+{\sqrt {\frac {ad}{2}}},\\[6pt]{\sqrt {a-{\sqrt {c}}}}&={\sqrt {\frac {a+d}{2}}}-{\sqrt {\frac {ad}{2}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4d9e3ac166235c5bab4f7068c0f51551f064bd6)
![{\displaystyle {\sqrt[{4}]{\frac {3+2{\sqrt[{4}]{5}}}{3-2{\sqrt[{4}]{5}}}}}={\frac {{\sqrt[{4}]{5}}+1}{{\sqrt[{4}]{5}}-1}}={\tfrac {1}{2}}\left(3+{\sqrt[{4}]{5}}+{\sqrt {5}}+{\sqrt[{4}]{125}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/027f261d646f8a48895ad0b0153bfc6748cb93dc)
![{\displaystyle {\sqrt {{\sqrt[{3}]{28}}-{\sqrt[{3}]{27}}}}={\tfrac {1}{3}}\left({\sqrt[{3}]{98}}-{\sqrt[{3}]{28}}-1\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3444106b707ba14d569e2cf1de20d8dbc40e5448)
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{{\sqrt[{5}]{\frac {32}{5}}}-{\sqrt[{5}]{\frac {27}{5}}}}}={\sqrt[{5}]{\frac {1}{25}}}+{\sqrt[{5}]{\frac {3}{25}}}-{\sqrt[{5}]{\frac {9}{25}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f58849bde3247783bf5d785a1e9559aaab78b6b6)
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{\ {\sqrt[{3}]{2}}\ -1}}={\sqrt[{3}]{\frac {1}{9}}}-{\sqrt[{3}]{\frac {2}{9}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {4}{9}}}.\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3c9504523719b9715ac6d1b7f0019890c2a4ff2)
![{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{60}}=\sin 3^{\circ }={\frac {1}{16}}\left[2(1-{\sqrt {3}}){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)({\sqrt {3}}+1)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/826adb0a6f4d6fa33d4b638e89152b47c3e1941e)
![{\displaystyle x={\sqrt[{3}]{-{q \over 2}+{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}-{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db7782b96c3abed7e27961869314809ae100b043)
![{\displaystyle x={\sqrt[{3}]{-3+{\frac {10i{\sqrt {3}}}{9}}}}+{\sqrt[{3}]{-3-{\frac {10i{\sqrt {3}}}{9}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31ae1260e6a0bdb658fe1d59c68441859d4abbea)
![{\displaystyle x\in [-2,2]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21ba460b866dca981758622699215cc9bd96a3c5)
![{\displaystyle \pi =\lim _{k\rightarrow \infty }\left[{\frac {2^{k+1}}{2-b_{1}}}R(\underbrace {1,-1,1,1,\ldots ,1,1,b_{1}} _{k{\text{ terms }}})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cef83b87ab02f3f6d9cea1040f79a74610e598c)
![{\displaystyle x={\sqrt[{3}]{6+{\sqrt[{3}]{6+{\sqrt[{3}]{6+{\sqrt[{3}]{6+\cdots }}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec7ffe929585e38027f9ba3637b541f6157015b1)
![{\displaystyle x={\sqrt[{3}]{6+x}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7629a30f94bd3edc8dc072f7820e325927fe3a2)
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{n+{\sqrt[{3}]{n+{\sqrt[{3}]{n+{\sqrt[{3}]{n+\cdots }}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a80cd88ecac26866718b70e587a4eb5207fa1dbb)
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{n-{\sqrt[{3}]{n-{\sqrt[{3}]{n-{\sqrt[{3}]{n-\cdots }}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e71a7a2dc6f241774cbc4c67d3784ed1fbbdd957)
