陪審定理

させて${\displaystyle p}$陪審員が正しい選択肢に投票する確率と${\displaystyle c}$は、任意の 2 つの正解投票間の(2 次)相関係数とする。投票の同時確率分布のBahadur 表現^{[ 2 ]}におけるすべての高次相関係数がゼロに等しい場合、${\displaystyle (p,c)\in {\mathcal {B}}_{n}}$が許容されるペアである場合、単純多数決で陪審員が正しい決定に達する確率は次のように与えられる。

${\displaystyle P(n,p,c)=I_{p}\left({\frac {n+1}{2}},{\frac {n+1}{2}}\right)+0.5c(n-1)(0.5-p){\frac {\partial I_{p}({\frac {n+1}{2}},{\frac {n+1}{2}})}{\partial p}},}$

どこ${\displaystyle I_{p}}$は正則化された不完全ベータ関数です。

例： 3人の陪審員からなる陪審団を考えてみましょう。${\displaystyle (n=3)}$個々の能力${\displaystyle p=0.55}$および二次相関${\displaystyle c=0.4}$。 それから${\displaystyle P(3,0.55,0.4)=0.54505}$陪審員の能力は、単独の陪審員の能力よりも低い。${\displaystyle 0.55}$さらに、陪審員を2人増やすこと${\displaystyle (n=5)}$陪審員の能力をさらに低下させる、${\displaystyle P(5,0.55,0.4)=0.5196194}$。 ご了承ください${\displaystyle p=0.55}$そして${\displaystyle c=0.4}$は許容可能なパラメータのペアです。${\displaystyle n=5}$そして${\displaystyle p=0.55}$許容される最大二次相関係数は${\displaystyle \approx 0.43}$。

上記の例は、個人の能力は低いが相関性が高い場合を示しています。

• 単純多数決による陪審員の集団的判断能力は、単独の陪審員の判断能力を下回る場合がある。
• 陪審員の数を増やすと、陪審員全体の能力が低下する可能性がある。

上記の結果は、カニオフスキーとザイグラエフによるものです。彼らはまた、相関のある投票を持つ同質な陪審員のための最適な陪審員設計についても議論しています。^{[ 3 ]}

陪審員の独立性に関する仮定を様々な形で弱める陪審員定理がいくつか存在する。

二者択一問題では、一方の選択肢の方が他方よりも検出しやすい場合がよくあります。例えば、被告人が有罪であることを検出する方が（有罪の明確な証拠があるため）無罪であることを検出するよりも容易かもしれません。この場合、一人の投票者の意見が正しい確率は、2つの異なる数値で表されます。選択肢1が正しい場合の確率と、選択肢2が正しい場合の確率です。これはまた、異なる投票者の意見が相関していることも意味します。このことから、上記の仮定を以下のように緩和することが考えられます。

1. 条件付き独立性：2つの選択肢それぞれについて、この選択肢が正しいという条件の下での有権者の意見は、独立した確率変数である。
2. 条件付き適格性：2つの選択肢のそれぞれについて、その選択肢が正しいという条件の下で、1人の投票者の意見が正しい確率は1/2より大きい。
3. 条件付き均一性：2つの選択肢それぞれについて、その選択肢が正しいという条件の下で、すべての投票者が正解する確率は同じである。

これらのより弱い仮定の下でも、信頼性の向上と群衆の無謬性は引き続き維持される。^{[ 1 ]}

条件付き適格性に対する批判の一つは、それが意思決定質問の定式化方法に依存するという点である。例えば、被告人が有罪か無罪かを問う代わりに、被告人がちょうど10件の罪状で有罪か（選択肢A）、あるいは別の数の罪状（0～9件または11件以上）で有罪かを問うことができる。これにより条件が変わり、したがって条件付き確率も変わる。さらに、状態が非常に具体的である場合、正しく投票する確率は1/2を下回る可能性があり、条件付き適格性が成り立たない可能性がある。^{[ 4 ]}

有権者間の相関関係のもう1つの原因は、オピニオンリーダーの存在です。各有権者が独立した決定を下すと仮定しますが、その後、各有権者はある一定の確率で、オピニオンリーダーの意見に一致するように意見を変更します。Boland ^{[ 5 ]}および Boland、Proschan、Tong ^{[ 6 ]}による陪審定理は、オピニオンリーダーに従う確率が 1-1/2 p (ここでpはすべての有権者の能力レベル)より小さい場合 (かつその場合に限る)に、群衆の無謬性が成り立つことを示しています。

真の選択肢への依存に加えて、有権者の意見が相関する理由は他にもたくさんあります。例えば、

• 有権者間の熟慮。
• 仲間からのプレッシャー;
• 偽の証拠（例えば、無実を装うのが非常に上手な有罪の被告人など）。
• 外部環境（例えば、悪天候が判断力に影響を与えるなど）。
• 投票のその他の一般的な原因

条件付き独立性の仮定を弱め、投票の共通原因すべて（州だけでなく）を条件付けすることは可能です。言い換えれば、投票は特定の意思決定問題に条件付けられた独立性を持つことになります。しかし、特定の問題では、条件付き適格性の仮定は妥当ではない可能性があります。例えば、偽の証拠がある特定の問題では、ほとんどの有権者が間違った意見を持つ可能性が高いでしょう。したがって、条件付き独立性と条件付き適格性という2つの仮定は、（同じ条件付けの下では）同時に正当化することはできません。^{[ 7 ]}

考えられる解決策の一つは、条件付き能力を以下のように弱めることです。各投票者と各問題xについて、その投票者の意見がこの特定の問題において正しい確率p ( x ) が存在します。xは確率変数であるため、p ( x ) も確率変数です。条件付き能力では、確率 1 でp ( x ) > 1/2 であることが求められます。弱められた仮定は次のとおりです。

• 能力への傾向：各投票者および各r >0について、 p ( x ) = 1/2+ rとなる確率は、p ( x ) = 1/2- rとなる確率以上である。

ディートリッヒとシュピーケルマンによる陪審定理^{[ 8 ]}によれば、条件付き独立性、能力への傾向、および条件付き均一性が揃うと、信頼性が増大する。群衆の無謬性は意味されないことに注意されたい。実際、正しさの確率は、条件付き能力が成り立たない場合に限り、1未満の値に収束する。

^{ピバト[ 9 ]}による陪審定理は、人口が大きくなるにつれて投票者間の平均共分散が小さくなる場合、群衆の無謬性が成り立つことを示している（ある投票規則の場合）。投票がどの程度相関しているかを考慮した他の陪審定理もある。^{[ 10 ] [ 11 ]}

有権者間の相関関係に対処する他の方法としては、因果ネットワーク、依存構造、および互換性などが挙げられる。^{[ 1 ]： 2.2}

能力に関する前提を強化すれば、均一性は不要となる。能力に関する前提を強化する方法はいくつかある。

• 高い能力: 各投票者iについて、正しさの確率p _iは少なくとも 1/2 + eであり、e > 0 はすべての投票者に対して固定されている。言い換えれば、能力は公平なコイン投げから遠ざかっている。パロウシュ^{[ 12 ]}による陪審定理は、高い能力と条件付き独立性が一緒に群衆の無謬性を意味することを示している (ただし、信頼性の向上は含まない)。
• 平均能力:投票者の個々の能力レベルの平均(つまり、正しく決定する個々の確率の平均) は、半分よりわずかに大きいか、1/2 を超える値に収束します。Grofman、Owen、Feld ^{[ 13 ]}および Berend と Paroush ^{[ 14 ]}による陪審定理は、平均能力と条件付き独立性が一緒に群衆の無謬性 (ただし、信頼性の向上ではない) を意味することを示しています。

投票者の身元が固定されていると仮定する代わりに、さまざまな能力レベルを持つ潜在的な投票者の大きなプールが存在し、実際の投票者はこのプールから無作為に選ばれると仮定することができる（抽選のように）。

Ben YasharとParoushによる陪審定理^{[ 15 ]}は、特定の条件下では、陪審、または無作為に選ばれた陪審の一部の正当性確率が、無作為に選ばれた単一の陪審員の正当性確率よりも大きいことを示している。BerendとSapirによるより一般的な陪審定理^{[ 16 ]}は、この設定では信頼性増大が成り立つことを証明している。つまり、無作為委員会の正当性確率は委員会のサイズとともに増加する。この定理は、相関のある投票の場合でも、特定の条件下では成り立つ。^{[ 17 ]}

オーウェン、グロフマン、フェルドによる陪審定理^{[ 18 ]}は、能力レベルがランダムな状況を分析しています。彼らは、個人の能力の分布が正しさの確率を最大化または最小化するかどうかを示しています。

投票者の能力レベルがわかっている場合、単純多数決ルールは最良の決定ルールではない可能性があります。最適な決定ルール、つまりグループの正しさの確率を最大化するルールを特定するさまざまな研究があります。Nitzan と Paroush ^{[ 19 ]}は、無条件独立の下では、最適な決定ルールは加重多数決ルールであり、正しさの確率p _iを持つ各投票者の重みはlog( p _i /(1- p _i )) であり、支持者の重みの合計が何らかの閾値を超える場合に代替案が選択されることを示しました。Grofman と Shapley ^{[ 20 ]}は、投票者間の相互依存性が最適な決定ルールに与える影響を分析しました。Ben-Yashar と Nitzan ^{[ 21 ]}は、より一般的な結果を証明しました。

ディートリッヒ^{[ 22 ]}は、この結果を、2つの選択肢の「正しさ」の事前確率を必要としない設定に一般化している。必要な仮定は認識的単調性のみであり、これは、あるプロファイルの下で選択肢xが選択され、プロファイルが変化してxの確率が高くなった場合、xが依然として選択されることを意味する。ディートリッヒは、認識的単調性が、最適な決定ルールが閾値付き加重多数決であることを意味することを示している。同じ論文で、彼は最適な決定ルールを、入力が選択肢の1つへの投票である必要がない設定に一般化している。それは、たとえば、主観的な信念の度合いである可能性がある。さらに、能力パラメータを知る必要はない。たとえば、入力が主観的な信念x ₁、...、x _nである場合、最適な決定ルールはlog( x _i /(1- x _i ))を合計し、合計が何らかの閾値を超えているかどうかをチェックする。認識的単調性は、閾値自体を計算するのに十分ではない。閾値は、期待効用最大化と事前確率を仮定することで計算できる。

加重多数決ルールの一般的な問題点は、異なる投票者の能力レベルを知る必要があることですが、これは通常、客観的に計算するのが困難です。Baharad、Goldberger、Koppel、Nitzan ^{[ 23 ]}は、統計的機械学習を使用してこの問題を解決するアルゴリズムを提示しています。このアルゴリズムは、過去の投票のリストのみを入力として必要とし、これらの投票が正しかったかどうかを知る必要はありません。リストが十分に大きい場合、個々の投票者の能力レベルが 1/2 に近い場合でも、正しさの確率は 1 に収束します。