岩澤理論の主な予想

数学において、岩澤理論の主予想は、 p進L関数と円分体のイデアル類群との間の深い関係であり、クンマー・ヴァンディバー予想を満たす素数に対して岩澤健吉によって証明され、すべての素数に対して Mazur と Wiles (1984) によって証明された。エルブラン・リベットの定理とグラス予想は、どちらも主予想から容易に導かれる帰結である。主予想には、全実体、^[1] CM 体、楕円曲線など への一般化がいくつかある。

岩沢（1969a）は、有限体上の代数曲線のゼータ関数をそのヤコビ多様体上のフロベニウス自己準同型の固有値で記述したヴェイユの記述との類似性に部分的に動機づけられた。この類似性では、

• フロベニウスの作用は、Γ 群の作用に対応します。
• 曲線のヤコビアンは、イデアル類群に関して定義された Γ 上のモジュールXに対応します。
• 有限体上の曲線のゼータ関数は、p進L関数に対応します。
• フロベニウスの固有値と曲線のゼータ関数の零点を関連付けるヴェイユの定理は、 X上の岩澤代数の作用とp進ゼータ関数の零点を関連付ける岩澤の主予想に対応します。

岩澤理論の主な予想は、p進L関数を定義する 2 つの方法 (モジュール理論による方法、補間による方法) は、明確に定義されている限りにおいて一致するはずであるという主張として定式化された。これは、Qについては Mazur と Wiles (1984) によって証明され、すべての完全実数体については Wiles (1990) によって証明された。これらの証明は、ケン・リベットによるエルブランの定理の逆の証明 (エルブラン-リベットの定理)をモデルにしたものである。

カール・ルービンは、ラング（1990）とワシントン（1997）で説明されているタイネ法とコリヴァギンのオイラー体系を使用して、マズール・ワイルズの定理のより基本的な証明を見つけ、後に虚数二次体に対する主予想の他の一般化を証明した。^[2]

2014 年、クリストファー・スキナーとエリック・アーバンは、モジュラー形式の大きなクラスについて、主要予想のいくつかのケースを証明しました。^[3]結果として、有理数上のモジュラー楕円曲線について、彼らは、 s = 1でEのハッセ・ヴェイユのL関数L ( E、  s )が消滅することは、Eのp進セルマー群が無限である ことを意味することを証明しました。グロス・ザギエとコリヴァギンの定理と組み合わせることで、 L ( E 、 1) = 0 の場合にのみ、 Eに無限個の有理点があるという予想の条件付き証明 (テイト・シャファレビッチ予想に基づく) が得られました。これは、バーチ・スウィナートン・ダイアー予想の (弱い) 形式です。これらの結果は、マンジュル・バーガヴァ、スキナー、ウェイ・チャンによって、楕円曲線の正の割合がバーチ・スウィナートン・ダイアー予想を満たすことを証明するために使用されました。^{[4] [5]}

• pは素数です。
• F _{n は}体Q (ζ) であり、 ζ は位数p ^{n +1}の単位根である。
• Γ はp進整数に同型なF _∞の絶対ガロア群の最大の部分群です。
• γはΓの位相的生成子である
• L _{n は}F _nのpヒルベルト類体です。
• H _{n は}ガロア群 Gal( L _n / F _n ) であり、位数がpのべき乗であるF _nのイデアル類群の元の部分群と同型です。
• H _{∞ は}ガロア群H _nの逆極限です。
• Vはベクトル空間H∞⊗ZpQpです_。​​​
• ω はタイヒミュラー指標です。
• V ^{i は}Vのω ⁱ固有空間です。
• h _p (ω ⁱ , T )はベクトル空間V ⁱに作用するγの特性多項式である。
• L _{p は}p進L関数であり、 L _p (ω ⁱ ,1– k ) = –B _k (ω ^{i – k} )/ kです。ここで、Bは一般化ベルヌーイ数です。
• u は、ζ のすべての p 乗根に対してγ(ζ) = ζ ^{u を}満たす唯一の p 進数である。
• G _{p は}G _p (ω ⁱ , u ^s –1) = L _p (ω ⁱ , s )のべき級数である。

マズールとワイルズによって証明された岩澤理論の主予想は、i が1 mod p –1と合同でない奇数の整数である場合、 h _p (ω ⁱ , T ) とG _p (ω ^{1– i} , T )によって生成されるイデアルは等しいというものです。 ${\displaystyle \mathbf {Z} _{p}[[T]]}$