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統計学において、区間推定とは、標本データを用いて、関心のある（標本）パラメータの可能な値の区間を推定することです。これは、単一の値を与える点推定とは対照的です。 [ 1 ]
区間推定の最も一般的な形式は、信頼区間（頻度論的方法）と 信用区間（ベイズ法）です。[ 2 ]あまり一般的ではない形式には、尤度区間、信頼区間、許容区間、予測区間などがあります。非統計的方法としては、ファジー論理から区間推定値を導き出すことができます。
信頼区間は、標本データセットから関心のあるパラメータ（一般的には平均値または標準偏差）を推定するために使用されます。信頼区間は、関心のあるパラメータが下限値と上限値の範囲内にある確率が100γ%であることを示します。信頼区間に関するよくある誤解は、データセットの100γ%が境界内または境界値より上/下に収まるというものです。これは許容区間と呼ばれ、後述します。
信頼区間を構築するには複数の方法があり、適切な選択は分析対象のデータによって異なります。分散が既知の正規分布の場合、 z表を使用して、n個の測定値のデータセットから標本平均を中心とした信頼水準100γ%が得られる区間を作成します。二項分布の場合、信頼区間は、ワルド近似法、ジェフリーズ区間、クロッパー・ピアソン区間を使用して近似できます。ジェフリー法は、ポアソン分布の区間を近似するためにも使用できます。[ 3 ]基礎となる分布が不明な場合は、ブートストラップを使用してデータセットの中央値に関する境界を作成できます。
信頼区間とは異なり、信用区間では事前仮定が必要であり、ベイズ因子を用いて仮定を修正し、事後分布を決定します。事後分布を用いることで、関心のあるパラメータが含まれる確率を100γ%決定できます。これは、推定値が区間内に含まれることを100γ%確信できる信頼区間とは異なります。 [ 4 ]
事前仮定は区間を構築するためのより多くのデータを提供するのに役立つが、信頼区間の客観性を損なう。事前は事後を決定するために使用されるが、この事前が検証されない場合、誤った予測につながる可能性がある。[ 5 ]
信頼区間とは異なり、信用区間の境界は可変です。適切な上限値と下限値を決定する方法は複数あります。区間の境界を調整する一般的な手法としては、最高事後密度区間（HPDI）、等尾区間、平均値を中心とした区間中心の選択などがあります。
尤度関数の原理を利用して、関心のあるパラメータを推定します。尤度ベースの方法を利用すると、指数分布、ワイブル分布、対数正規分布の平均の信頼区間を求めることができます。さらに、尤度ベースのアプローチでは、標準偏差の信頼区間を求めることもできます。尤度関数と将来の確率変数を組み合わせることで、予測区間を作成することも可能です。[ 3 ]
フィデューシャル推論はデータセットを利用し、ノイズを慎重に除去して分布推定値である一般化フィデューシャル分布（GFD）を復元します。ベイズの定理を使用しないため、信頼区間と同様に事前分布の仮定はありません。フィデューシャル推論は統計的推論のあまり一般的ではない形式です。逆確率法を開発していた創始者のRAフィッシャーは、このプロセスの妥当性について疑問を抱いていました。フィデューシャル推論は20世紀初頭に開発されましたが、20世紀後半には、この方法は頻度主義的アプローチやベイズ的アプローチよりも劣っているものの、統計的推論の歴史的文脈において重要な位置を占めていると考えられていました。しかし、現代のアプローチでは、フィデューシャル区間を一般化フィデューシャル推論（GFI）に一般化しており、離散データセットと連続データセットの両方を推定するために使用できます。[ 6 ]
許容区間は、収集されたデータセットの母集団を使用して、許容限界内で 100γ% の値を含む区間を取得します。許容区間を説明するためによく使用される例としては、製造業があります。この文脈では、既存の製品セットの一定割合が評価され、母集団の一定割合が許容限界内に含まれることが保証されます。許容区間を作成する際には、標本平均を使用して、上限と下限の許容限界で境界を記述できます。、そして標本標準偏差s。
両側区間の場合
また、許容範囲が臨界値の上下のみで求められる片側区間の場合、
分布と区間推定における辺の数 i によって異なる。正規分布では、[ 7 ] のように表現できる。
どこは、カイ二乗分布の臨界値です。確率で超過する自由度、 そしてこれは正規分布から得られる臨界値です。
予測区間は、将来のサンプルが含まれる区間を信頼度γで推定します。予測区間は、ベイズ的および頻度論的コンテキストの両方で使用できます。これらの区間は通常、回帰データセットで使用されますが、予測区間は、以前のデータの実験的に制御されたパラメータを超える外挿には使用されません。[ 8 ]
ファジィ論理は、人工知能、医療判断、その他の分野において、二値的ではない意思決定を処理するために使用されます。一般的に、入力を受け取り、ファジィ推論システムを通してマッピングし、出力決定を生成します。このプロセスには、ファジィ化、ファジィ論理ルール評価、および非ファジィ化が含まれます。ファジィ論理ルール評価においては、メンバシップ関数が二値的ではない入力情報を具体的な変数に変換します。これらのメンバシップ関数は、システムの不確実性を予測するために不可欠です。
両側区間は、下限 ( ) を使用して、信頼水準 γ で関心のあるパラメータ Θ を推定します。）と上限（例えば、ある地域における男性の平均身長や、あるメーカーが製造した特定の机の長さを推定する場合などが挙げられます。これらのケースでは、パラメータの中心値を推定する傾向があります。通常、これは以下の式に似た形式で表されます。
両側区間とは異なり、片側区間は信頼水準γを用いて、対象となるパラメータをγ*100%の確率で予測する最小値または最大値の範囲を構築します。通常、推定値の最小値または最大値の範囲が重要でない場合に片側区間が必要となります。Θの予測値の最小値に関心がある場合、推定値の上限を求める必要がなくなり、両側区間の簡略化された形式が得られます。
上限を削除し信頼度を維持した結果、下限（）は増加します。同様に、パラメータ推定値の上限のみを求める場合、上限は減少します。片側区間は、材料生産の品質保証でよく見られるもので、材料の強度Θの期待値は、ある最小値（) ある程度の確信度 (100γ%) で。この場合、製造業者は強すぎる製品を製造することを心配しておらず、上限はありません ()
パラメータの統計的有意性を判断する際には、データとその収集方法を理解することが重要です。データを収集する前に、サンプリング誤差が統計的バイアス（系統誤差）ではなく統計的変動（ランダム誤差）となるように実験を計画する必要があります。[ 9 ]実験後、区間推定を作成する際の典型的な最初のステップは、さまざまなグラフ手法を用いた探索的分析プロットです。これにより、データセットからのサンプルの分布を判断できます。分布に基づく誤った仮定で区間境界を作成すると、予測が不正確になります。[ 10 ]
区間推定値が報告される場合、科学界内外で共通の解釈が認められるべきである。ファジィ論理から導出される区間推定値は、より用途に特化した意味合いを持つ。
一般的な状況では、必要な仮定の検証と妥当性を条件として、使用できる一連の標準手順が存在するはずです。これは信頼区間と信用区間の両方に当てはまります。しかし、より新しい状況では、区間推定をどのように定式化できるかについてのガイダンスが必要です。この点で、信頼区間と信用区間は同様の位置づけですが、2 つの違いがあります。第一に、信用区間は事前情報を容易に扱うことができますが、信頼区間はできません。第二に、信頼区間はより柔軟で、信用区間よりも多くの状況で実際に使用できます。信用区間が劣る分野の 1 つは、ノンパラメトリック モデルを扱う場合です。
区間推定手順の性能を検証する方法が必要である。これは、多くの手順が様々な種類の近似を伴うため、手順の実際の性能が主張されている性能に近いことを確認する必要があるからである。確率シミュレーションを用いることで、信頼区間の場合は容易に検証できるが、事前情報を適切に考慮する必要がある信用区間の場合はやや複雑になる。信用区間の検証は、事前情報がない状況で行うことができるが、その検証には手順の長期的な頻度特性の確認が含まれる。
セヴェリーニ（1993）は、信頼区間と信用区間が同様の結果を生み出す条件について論じ、また、信頼区間の包含確率と信用区間に関連する事後確率の両方についても論じている。[ 11 ]
ベイズ統計学の一般的なアプローチであり、その正当化の根拠となる決定理論では、区間推定は直接的な関心事ではありません。結果は区間推定ではなく決定であり、そのためベイズ決定理論家はベイズ行動を用います。つまり、特定の区間ではなく、事後分布全体に関して損失関数の期待損失を最小化するのです。
信頼区間の応用は、不確実性を扱うさまざまな問題を解決するために用いられます。Katz (1975) は、法廷での区間推定の利用に関するさまざまな課題と利点を提案しています。[ 12 ]医療研究での利用については、Altmen (1990) が信頼区間の利用とその利用に関するガイドラインについて論じています。[ 13 ]製造業では、製品寿命を推定したり、製品の許容誤差を評価したりするために区間推定がよく用いられます。Meeker と Escobar (1998) は、将来の確率変数の予測 (予測区間) を含む、パラメトリック推定とノンパラメトリック推定の下での信頼性データの分析方法を提示しています。[ 14 ]
