1の行列

数学において、1の行列またはすべて1の行列とは、すべての要素が1である行列のことである。^{[ 1 ]}例えば：

${\displaystyle J_{2}={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}},\quad J_{3}={\begin{bmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{bmatrix}},\quad J_{2,5}={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1\end{bmatrix}},\quad J_{1,2}={\begin{bmatrix}1&1\end{bmatrix}}.\quad }$

一部の資料では、すべて1の行列を単位行列と呼んでいますが、^{[ 2 ]}その用語は別の種類の行列である恒等行列を指す場合もあります。

1のベクトル、またはすべて1のベクトルは、行または列の形式を持つ1の行列です。単位ベクトルと混同してはいけません。

要素がすべて 1 であるn × n行列Jについては、以下の性質が成り立つ。

• Jのトレースはnに等しく、^{[ 3 ]}、行列式はn ≥ 2 の場合は 0 に等しく、n = 1 の場合は 1 に等しくなります。
• Jの特性多項式は${\displaystyle (xn)x^{n-1}}$。
• Jの最小多項式は${\displaystyle x^{2}-nx}$。
• Jのランクは1 であり、固有値は重複度1のnと重複度n − 1の 0 である。^{[ 4 ]}
• ${\displaystyle J^{k}=n^{k-1}J}$のために${\displaystyle k=1,2,\ldots .}$^{[ 5 ]}
• Jはアダマール積の中性要素である。^{[ 6 ]}

Jを実数上の行列とみなした場合、以下の追加的な性質が成り立つ。

• Jは正定値半行列である。
• マトリックス${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}J}$冪等である。^{[ 5 ]}
• Jの行列指数は${\displaystyle \exp(\mu J)=I+{\frac {e^{\mu n}-1}{n}}J}$

すべて1の行列は、組み合わせ論の数学分野、特にグラフ理論への代数的手法の応用において現れます。たとえば、Aがn個の頂点を持つ無向グラフGの隣接行列であり、Jが同じ次元のすべて1の行列である場合、Gが正則グラフであるのはAJ = JAの場合のみです。^{[ 7 ]} 2番目の例として、この行列は、行列ツリー定理を使用して完全グラフの全域木の数を与えるケイリーの公式のいくつかの線形代数的証明に現れます。  

1の行列の論理平方根、つまり2乗すると1の行列になる論理行列は、中心群を特徴づけるために使用できる。中心群は、恒等式を満たす代数構造である。${\displaystyle (a\cdot b)\cdot (b\cdot c)=b}$有限中心群は要素数が平方数であり、対応する論理行列はそれらの次元に対してのみ存在する。^{[ 8 ]}

• ゼロ行列とは、すべての要素がゼロである行列のことである。
• 単一エントリ行列