必要性と十分性

論理学や数学では、必然性と十分性は、2 つの命題間の条件関係や含意関係を表す用語です。例えば、条件文「PならばQ 」では、Q はPにとって必要条件です。なぜなら、Qの真偽はPの真偽によって「必然的に」保証されるからです。（言い換えれば、 QなしにPを持つことは不可能であり、Qの偽偽はPの偽偽を保証します。）^{[ 1 ]}同様に、PはQにとって十分条件です。なぜなら、 P が常に真であること、あるいは「十分に」真であることはQが真であることを意味しますが、P が真でないことは必ずしもQが真でないことを意味するわけではないからです。^{[ 2 ]}

一般に、必要条件とは、別の条件が発生するために存在しなければならない条件（複数の条件のうちの1つ）であり、十分条件とは、その条件を生み出す条件である。^{[ 3 ]}ある命題が別の命題の「必要かつ十分」な条件であるという主張は、前者の命題が真であるのは後者の命題が真である場合に限ることを意味する。つまり、2つの命題は同時に真であるか、同時に偽であるかのどちらかでなければならない。^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

一般的な英語（自然言語）では、「必要」と「十分」は、多くの場合、条件や状態間の関係を示すものであり、命題を示すものではありません。例えば、丸いことは円であるための必要条件ですが、楕円や楕円は丸いものの円ではないため、十分条件ではありません。一方、円であることは丸いための十分条件です。条件文は、少なくとも1つの十分条件と少なくとも1つの必要条件から構成されます。

データ分析では、必要性と十分性は異なる因果論理を指すことがあり、[ ^{7 ]必要}条件分析と定性的比較分析は、特定の関心のある結果に対する条件の必要性と十分性を検証するための分析手法として使用できます。

条件文「SならばN 」において、 Sで表される式は前件、Nで表される式は後件と呼ばれます。この条件文は、「SならばN 」、「 Nの場合にのみS 」 、「SはNを意味する」 、「NはSによって導かれる」、「S → N 」、「S ⇒ N」 、「 SのときはいつでもN」など、いくつかの同値な方法で記述できます。^{[ 8 ]}

上記の「S のとき N である」という状況では、N はSの必要条件であると言われます。一般的な言葉で言えば、これは、条件文が真の文であれば、Sが真であるためには、後件のN が真でなければならない、と言うことと同じです (すぐ下の「真理値表」の 3 列目を参照)。言い換えれば、Nが真でなければ、前件S は真になり得ません。例えば、誰かが Socrates と呼ばれるためには、その人にNという名前が付けられていることが必要です。同様に、人間が生きるためには、空気があることが必要です。^{[ 9 ]}

SはNの十分条件であるとも言えます(すぐ下の真理値表の 3 列目をもう一度参照してください)。条件文が真であれば、Sが真であればN も真でなければなりません。一方、条件文が真で N も真であれば、S は真である場合も偽である場合もあります。一般的な言い方をすれば、「 Sの真性はNの真性を保証する」ということです。^{[ 9 ]}例えば、前の例に続いて、誰かが Socrates と呼ばれていることを知っていることは、誰かがN名を持っていることを知るのに十分であると言えます。

必要かつ十分な条件は、両方の含意が満たされることを要求する。${\displaystyle S\Rightarrow N}$そして${\displaystyle N\Rightarrow S}$（後者は次のように書くこともできます）${\displaystyle S\Leftarrow N}$）が成り立つ。最初の含意は、SがNの十分条件であることを示唆し、2 番目の含意は、SがNの必要条件であることを示唆する。これは、「SはNの必要十分条件である」、「S はNの必要十分条件である」、または${\displaystyle S\Leftrightarrow N}$。

QがPに必要であるという主張は、口語的には「Qが真でない限りPは真ではありえない」または「Qが偽ならばPは偽である」と同義である。^{[ 9 ] [ 1 ]}対位法によれば、これは「 Pが真であるときはいつでもQも真である」と同じである。

PとQの間の論理関係は「PならばQ 」と表現され、「P⇒Q」（PならばQ）と表記されます。また、「 PならばQ」、「PならばQ」、「PならばQ」のいずれかで表現することもできます。例えば、数学の文章では、例5に示すように、複数の必要条件がまとめて十分条件を構成する（つまり、個々に必要であり、かつ全体として十分である^{[ 9 ]}）ことがよくあります。

例１

「ジョンは独身である」ということが真実であるためには、彼が

1. 未婚、
2. 男、
3. アダルト、

「ジョンは独身である」と言うことは、ジョンが上記３つの追加述語をそれぞれ持っていることを意味するからです。

例２

2より大きい整数においては、奇数であることが素数であるための必要条件である。なぜなら、偶数かつ素数である整数は2だけだからである。

例３

雷鳴、つまり稲妻によって引き起こされる音を考えてみましょう。稲妻は雷鳴なしには決して起こらないので、雷鳴は稲妻に必要不可欠であると言えます。稲妻があるところには必ず雷鳴があります。雷鳴が稲妻を引き起こすわけではありません（稲妻が雷鳴を引き起こすからです）。しかし、稲妻は必ず雷鳴を伴うため、雷鳴は稲妻に必要不可欠であると言うのです。（つまり、形式的な意味では、必要性は因果関係を意味するものではありません。）

例４

アメリカ合衆国上院議員になるには、30歳以上であることが必要です。30歳未満であれば、上院議員になることは不可能です。つまり、上院議員になるには、30歳以上でなければならないということです。

例5

代数学では、ある集合Sと演算が一緒に${\displaystyle \star }$グループを形成するには、${\displaystyle \star }$結合法則を満たすこと。また、 Sには特別な要素eが含まれており、 Sのすべてのxに対してeが成り立つことが必要である。${\displaystyle \star }$xとx${\displaystyle \star }$e は両方ともx に等しい。また、 Sのすべてのxに対して、対応する要素x ″が存在し、 x とxの両方が x に等しい必要がある。${\displaystyle \star }$x ″とx ″${\displaystyle \star }$x は特殊要素eに等しい。これら 3 つの必要条件は、いずれも単独では十分条件ではないが、3 つの条件が組み合わさることで十分条件となる。

PがQの十分条件である場合、Pが真であることを知っていることは、 Qが真であると結論付けるのに十分な根拠となる。しかし、Pが偽であることを知っているだけでは、 Qが偽であると結論付けるための最低限の要件を満たさない。

論理関係は、これまでと同様に「PならばQ 」または「P⇒Q 」と表現されます。また、「PはQの場合にのみ成り立つ」、「PはQを意味する」など、他のいくつかの表現方法もあります。例5に示すように、複数の十分条件をまとめて1つの必要条件（つまり、個々には十分条件であり、かつ全体として必要条件である）を構成する場合もあります。

例１

「ジョンは王である」ということは、ジョンが男性であることを暗示している。したがって、ジョンが王であるという事実を知っていれば、彼が男性であるとわかるのに十分である。

例２

ある数が4で割り切れることは、その数が偶数であるための十分条件（ただし必要条件ではない）であるが、2で割り切れることは、その数が偶数であるための十分条件かつ必要条件である。

例３

雷鳴の発生は、落雷の発生にとって十分な条件である。つまり、雷鳴を聞き、それが紛れもなく雷鳴であると認識すれば、落雷があったと結論づけることが正当化される。

例４

米国議会が法案を可決した場合、大統領が署名すれば法律として成立します。ただし、大統領が法案に署名しなかった場合（例えば、大統領拒否権を行使した場合）でも、その法案が法律として成立していないとは限らないことに注意してください（例えば、議会による拒否権の覆しによって法律として成立する可能性はあります）。

例5

トランプの中央に大きなスペード（♠）が1つ描かれていれば、そのカードはエースである。他に十分条件として、中央にダイヤ（♦）、ハート（♥）、またはクラブ（♣）が1つ描かれていることが挙げられる。これらの条件はいずれもカードがエースであるために必須ではないが、これらの条件の論理和は必須である。なぜなら、これらの条件のうち少なくとも1つ（実際には正確に1つ）を満たさなければ、どのカードもエースにはなり得ないからである。

ある条件は、必要条件または十分条件のどちらか一方であるだけで、他方の条件を満たすことはありません。例えば、哺乳類であること（N ）は人間であること（S）の必要条件ですが十分条件ではありません。${\displaystyle x}$合理的である（S）は十分条件であるが、必要条件ではない${\displaystyle x}$実数（N ）であること（有理数ではない実数も存在するため）。

条件は必要条件かつ十分条件である場合がある。例えば、現在、「今日は7月4日である」は、「今日はアメリカ合衆国の独立記念日である」の必要十分条件である。同様に、行列Mの可逆性の必要十分条件は、 Mの行列式がゼロでないことである。

数学的に言えば、必要性と十分性は互いに双対関係にあります。任意の命題SとNについて、「NはSに必要である」という主張は、「SはNに十分である」という主張と同等です。この双対性のもう 1 つの側面は、上で示したように、必要条件の論理積 (「and」を使用) が十分性を達成できる一方、十分条件の論理和 (「or」を使用) が必要性を達成できるということです。3 番目の側面として、すべての数学的述語N を、 Nが真となる対象、事象、または命題の集合T ( N ) と同一視します。すると、 NがSに必要であると主張することは、 T ( N ) がT ( S )の上位集合であると主張することと同等であり、 SがNに十分であると主張することは、 T ( S ) がT ( N )の下位集合であると主張することと同等です。

心理学的に言えば、必要性と十分性はどちらも概念の古典的な見方の重要な側面です。概念の古典的な理論では、人間の心がカテゴリー X をどのように表象するかによって、X を定義する一連の個別に必要な条件が生じます。これらの個別に必要な条件が揃うと、X であるのに十分な条件となります。^{[ 10 ]}これは、定義する特徴は必要でも十分でもなく、むしろカテゴリーは家系図のような構造をしていると述べる概念の確率論的理論とは対照的です。

PがQにとって必要十分条件であると言うことは、次の2つのことを意味している。

1. PはQに必要である、${\displaystyle P\Leftarrow Q}$、そしてPはQにとって十分条件である。${\displaystyle P\Rightarrow Q}$。
2. 言い換えれば、 PとQは他のものにとって必要であると理解できる。${\displaystyle P\Rightarrow Q\land Q\Rightarrow P}$これは、それぞれが他方にとって十分条件である、あるいは他方を暗示している、とも表現できる。

これらのケースのすべては、「 PはQの場合に限る」という文で要約でき、それは次のように表される。${\displaystyle P\Leftrightarrow Q}$一方、事例によれば${\displaystyle P\Leftrightarrow Q}$と同一です${\displaystyle P\Rightarrow Q\land Q\Rightarrow P}$。

例えば、グラフ理論では、グラフGの各頂点に黒または白の色を割り当てることができ、G のすべての辺がそれぞれの色の端点を 1 つずつ持つことができる場合、グラフG は二部グラフと呼ばれます。また、任意のグラフが二部グラフであるためには、奇数長のサイクルを含まないことが必要かつ十分な条件です。したがって、グラフに奇数サイクルがあるかどうかを調べることで、それが二部グラフであるかどうかがわかり、その逆もまた然りです。哲学者^{[ 11 ]}は、この状況を次のように特徴づけるかもしれません。「二部グラフであることと奇数サイクルが存在しないという概念は、内包は異なりますが、外延は同じです。 」 ^{[ 12 ]}

数学では、定理はしばしば「 Pが真であるのは、 Qが真である場合に限る」という形で述べられる。

なぜなら、前のセクションで説明したように、一方が他方にとって必要であることは、他方が前者にとって十分であることと同等だからである。${\displaystyle P\Leftarrow Q}$と同等${\displaystyle Q\Rightarrow P}$PがQの必要十分条件であるならば、QはPの必要十分条件である。${\displaystyle P\Leftrightarrow Q\equiv Q\Leftrightarrow P}$そして、「 Pが真であるのはQが真である場合に限る 」と「Qが真であるのはPが真である場合に限る」という命題は同値であると言う。

• 批判的思考ウェブチュートリアル：必要条件と十分条件
• サイモン・フレイザー大学：概念と例