ハイポサイクロイド

赤い経路は、小さい黒い円が大きい黒い円の内側を回転するときに描かれる内サイクロイドです (パラメーターは R=4.0、r=1.0 なので k=4 となり、アステロイドになります)。

幾何学において、内サイクロイドは、大きな円内を転がる小さな円上の固定点の軌跡によって生成される特殊な平面曲線です。大きな円の半径が増加すると、内サイクロイドは、直線上で円を転がすことによって作成されるサイクロイドに近くなります。

歴史

トゥーシカップルと呼ばれる2つの尖端を持つ内サイクロイドは、13世紀のペルシャの天文学者で数学者のナスィールッディーン・トゥーシが『アルマゲスト注釈』で初めて記述した。^[1]^[2]ドイツの画家でルネサンス理論家のアルブレヒト・デューラーは1525年にエピトロコイドを記述し、その後レーマーとベルヌーイはそれぞれ1674年と1691年にアストロイドのようないくつかの特定の内サイクロイドに焦点を当てた。^[3]

プロパティ

小さい円の半径が $r$ で、大きい円の半径が $R = kr$ の場合、曲線のパラメトリック方程式は次のいずれかで表されます。または ${\begin{aligned}&x(\theta )=(R-r)\cos \theta +r\cos \left({\frac {R-r}{r}}\theta \right)\\&y(\theta )=(R-r)\sin \theta -r\sin \left({\frac {R-r}{r}}\theta \right)\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}&x(\theta )=r(k-1)\cos \theta +r\cos \left((k-1)\theta \right)\\&y(\theta )=r(k-1)\sin \theta -r\sin \left((k-1)\theta \right)\end{aligned}}$

$k$ が整数の場合、曲線は閉じており、 $k個$ の尖点（つまり、曲線が微分不可能な鋭角）を持ちます。特に $k = 2$ の場合、曲線は直線となり、円はトゥーシカップルと呼ばれます。ナスィールッディーントゥーシは、これらのハイポサイクロイドと高速印刷への応用について最初に説明しました。^[4]^[5]

$kが$ 有理数である場合、最も単純な言葉で表現すると $k = p / q$ となり、曲線には $p 個$ の尖点があります。

$k$ が無理数の場合、曲線は決して閉じることはなく、大きい円と半径 $R - 2 r$ の円の間の空間を埋めます。

$各内サイクロイド（ r$ の任意の値に対して）は、半径 $R$ の均質球内の重力ポテンシャルの最速降下線である。^[6]

内サイクロイドによって囲まれた面積は次のように表される: ^[3] ^[7]

$A={\frac {(k-1)(k-2)}{k^{2}}}\pi R^{2}=(k-1)(k-2)\pi r^{2}$

ハイポサイクロイドの弧の長さは次のように表される: [ 7 ^]

$s={\frac {8(k-1)}{k}}R=8(k-1)r$

例

ハイポサイクロイドの例
k=3 →三角筋
k=4 →小惑星
k=5 → 五分位数
k=6 → 外積体
k=2.1 = 21/10
k=3.8 = 19/5
k=5.5 = 11/2
k=7.2 = 36/5

ハイポサイクロイドは、ルーレットの特別な種類であるハイポトロコイドの特別な種類です。

3 つの尖端を持つ下サイクロイドは三角筋として知られています。

4 つの尖端を持つ内サイクロイド曲線は、アステロイドとして知られています。

2 つの「尖端」を持つ内サイクロイドは退化しているが非常に興味深いケースであり、トゥシカップルとして知られています。

群論との関係

kの整数値を持つ任意の内サイクロイド、つまりk 個の尖端は、k +1 個の尖端を持つ別の内サイクロイド内にぴったりと収まるように移動できます。このため、小さい内サイクロイドの点は常に大きい内サイクロイドの点と接触します。この動きは「転がり」のように見えますが、滑りを伴うため、古典力学の意味での技術的には転がりではありません。

内サイクロイドの形状は、SU( k )と表記される特殊ユニタリ群に関連付けることができます。これは、行列式が 1 であるk × kユニタリ行列で構成されます。たとえば、SU(3) の行列の対角要素の合計の許容値は、3 つの尖端を持つ内サイクロイド (三角行列) の内側にある複素平面上の点とまったく同じです。同様に、SU(4) 行列の対角要素を合計すると、小惑星内の点が得られます。

この結果のおかげで、SU( k )がSU( k+1 )の内側にサブグループとして収まるという事実を利用して、 k個の尖端を持つ外転サイクロイドがk +1個の尖端を持つ外転サイクロイドの内側にぴったりと収まることを証明することができる。^[8]^[9]

派生曲線

ハイポサイクロイドの縮閉線はハイポサイクロイド自体の拡大版であり、ハイポサイクロイドの縮閉線はそれ自体の縮小版である。^[10]

内サイクロイドの中心に極がある内サイクロイドのペダルはバラ曲線です。

内サイクロイドの等視円錐は内サイクロイドです。

大衆文化における内旋円体

スパイログラフおもちゃでは、内サイクロイドに似た曲線を描くことができます。具体的には、スパイログラフは、内トロコイドと外トロコイドを描くことができます。

ピッツバーグスティーラーズのロゴはスティールマークをベースとしており、3 つのアステロイド(4 つの尖端を持つハイポサイクロイド) が含まれています。NFL.com の週刊コラム「Tuesday Morning Quarterback」で、グレッグイースターブルックはスティーラーズをハイポサイクロイドと呼んでいます。チリのサッカーチームCD ワチパトはスティーラーズのロゴを基にして紋章をデザインしており、ハイポサイクロイドが特徴です。

ドリュー・キャリーが出演した『ザ・プライス・イズ・ライト』の最初のシーズンのセットには、3つのメインドア、巨大な値札、ターンテーブルエリアにアステロイドが描かれている。ドアとターンテーブルのアステロイドは、番組が2008年からハイビジョン放送に切り替わった際に削除され、現在も巨大な値札の小道具にのみアステロイドが描かれている。^[11]

参照

参考文献

^ Weisstein, Eric W. 「Tusi Couple」。mathworld.wolfram.com 。 2023年2月27日閲覧。
^ ブレイク、スティーブン・P.（2016-04-08）。イスラム世界の天文学と占星術。エディンバラ大学出版局。ISBN 978-0-7486-4911-2。
^ ab 「一般内サイクロイドによって囲まれる面積」（PDF）。幾何学表現。 2019年1月12日閲覧。
^ White, G. (1988)、「初期の蒸気エンジンに適用されたエピサイクロイドギア」、Mechanism and Machine Theory、23 (1): 25–37、doi :10.1016/0094-114X(88)90006-7、初期の経験から、ハイポサイクロイド機構は構造的に蒸気エンジンのピストンによって発生する大きな力を伝達するのに適していないことがわかった。しかし、この機構は直線運動を回転運動に変換する能力を示しており、印刷機やミシンの駆動装置などの低負荷の用途に代替として利用された。
^ Šír, Zbyněk; Bastl, Bohumír; Lávička, Miroslav (2010)、「有理オフセットによるハイポサイクロイドとエピサイクロイドによるエルミート補間」、Computer Aided Geometric Design、27 (5): 405–417、doi :10.1016/j.cagd.2010.02.001、G. Cardano は、高速印刷機の技術におけるハイポサイクロイドの応用について初めて説明しました (1570)。
^ ラナ、ナラヤン・チャンドラ; ジョアグ、プラモド・シャラドチャンドラ (2001)、「7.5 重力同質球内のバルキストクロンおよびトートクロン」、古典力学、タタ・マグロウヒル、pp. 230–2、ISBN 0-07-460315-9
^ ab "Hypocycloid". Wolfram Mathworld . 2019年1月16日閲覧。
^ Baez, John. 「Deltoid Rolling Inside Astroid」AMS ブログ。アメリカ数学会。2013年12 月 22 日閲覧。
^ Baez, John (2013 年 12 月 3 日). 「Rolling hypocycloids」. Azimuth ブログ. 2013 年12 月 22 日閲覧。
^ ワイスタイン、エリック W.「ハイポサイクロイド進化論」。マスワールド。ウルフラム研究。
^ ケラー、ジョエル (2007年8月21日). 「ドリュー・キャリーの『ザ・プライス・イズ・ライト』を垣間見る」TV Squad。2010年5月27日時点のオリジナルよりアーカイブ。
^ トロンボルド、ジョン、ドナヒュー、ピーター編 (2006)、「ポートランドを読む：散文で見る都市」、オレゴン歴史協会出版、p. xvi、ISBN 9780295986777旗の中央には星（厳密には内サイクロイド）があり、2つの川の合流点にある都市を表しています。

さらに読む

J. Dennis Lawrence (1972)。特殊平面曲線のカタログ。Dover Publications。pp. 168, 171–173。ISBN 0-486-60288-5。

外部リンク

ワイスタイン、エリック・W.「ハイポサイクロイド」。マスワールド。
「ハイポサイクロイド」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
オコナー、ジョン J.、ロバートソン、エドマンド F.、「ハイポサイクロイド」、マクチューター数学史アーカイブ、セントアンドリュース大学
Hypocyloid 曲線を生成するための無料の Javascript ツール
エピサイクロイド、ペリサイクロイド、ハイポサイクロイドのアニメーション
プロットハイプサイクロイド — GeoFun
スナイダー、ジョン。「トンネル最速降下を伴う球」。Wolframデモンストレーションプロジェクト。ハイポサイクロイドの最速降下特性を示す反復デモンストレーション

[1] Weisstein, Eric W. 「Tusi Couple」。mathworld.wolfram.com 。 2023年2月27日閲覧。

[2] ブレイク、スティーブン・P.（2016-04-08）。イスラム世界の天文学と占星術。エディンバラ大学出版局。ISBN 978-0-7486-4911-2。

[:1-3] 「一般内サイクロイドによって囲まれる面積」（PDF）。幾何学表現。 2019年1月12日閲覧。

[:0-4] White, G. (1988)、「初期の蒸気エンジンに適用されたエピサイクロイドギア」、Mechanism and Machine Theory、23 (1): 25–37、doi :10.1016/0094-114X(88)90006-7、初期の経験から、ハイポサイクロイド機構は構造的に蒸気エンジンのピストンによって発生する大きな力を伝達するのに適していないことがわかった。しかし、この機構は直線運動を回転運動に変換する能力を示しており、印刷機やミシンの駆動装置などの低負荷の用途に代替として利用された。

[5] Šír, Zbyněk; Bastl, Bohumír; Lávička, Miroslav (2010)、「有理オフセットによるハイポサイクロイドとエピサイクロイドによるエルミート補間」、Computer Aided Geometric Design、27 (5): 405–417、doi :10.1016/j.cagd.2010.02.001、G. Cardano は、高速印刷機の技術におけるハイポサイクロイドの応用について初めて説明しました (1570)。

[6] ラナ、ナラヤン・チャンドラ; ジョアグ、プラモド・シャラドチャンドラ (2001)、「7.5 重力同質球内のバルキストクロンおよびトートクロン」、古典力学、タタ・マグロウヒル、pp. 230–2、ISBN 0-07-460315-9

[Wolfram-7] "Hypocycloid". Wolfram Mathworld . 2019年1月16日閲覧。

[8] Baez, John. 「Deltoid Rolling Inside Astroid」AMS ブログ。アメリカ数学会。2013年12 月 22 日閲覧。

[9] Baez, John (2013 年 12 月 3 日). 「Rolling hypocycloids」. Azimuth ブログ. 2013 年12 月 22 日閲覧。

[10] ワイスタイン、エリック W.「ハイポサイクロイド進化論」。マスワールド。ウルフラム研究。

[11] ケラー、ジョエル (2007年8月21日). 「ドリュー・キャリーの『ザ・プライス・イズ・ライト』を垣間見る」TV Squad。2010年5月27日時点のオリジナルよりアーカイブ。

[12] トロンボルド、ジョン、ドナヒュー、ピーター編 (2006)、「ポートランドを読む：散文で見る都市」、オレゴン歴史協会出版、p. xvi、ISBN 9780295986777旗の中央には星（厳密には内サイクロイド）があり、2つの川の合流点にある都市を表しています。