ホイヘンス・フレネルの原理

ホイヘンス・フレネルの原理（オランダの 物理学者 クリスティアーン・ホイヘンスとフランスの物理学者オーギュスタン＝ジャン・フレネルにちなんで名付けられた）は、波面上のすべての点自体が球面波の源であり、異なる点から発せられる二次波は相互に干渉することを述べています。^{[1]これらの球面波の合計が新しい波面を形成します。このように、ホイヘンス・フレネルの原理は、}遠距離場限界と近接場回折および反射の両方における光波伝播の問題に適用される解析方法です。

1678年、ホイヘンスは光の擾乱が到達するすべての点が球面波の源となり、これらの二次波の合計がその後の波の形状を決定すると提唱した。^[2]彼は二次波が「前方」方向にのみ進むと仮定したが、なぜそうなるのかは理論では説明されていない。彼は直線波と球面波の伝播について定性的な説明を提供し、この原理を使用して反射と屈折の法則を導き出すことができたが、光がエッジ、開口部、スクリーンに遭遇したときに発生する直線伝播からの偏差、一般に回折効果として知られる現象は説明できなかった。^[3]この誤りの解決は、 1991年にデイビッド・AB・ミラーによって最終的に説明された。^[4]解決方法は、源が双極子（ホイヘンスが想定した単極子ではない）であり、反射方向で打ち消すというものである。

1818年、フレネル^[5]は、ホイヘンスの原理と彼自身の干渉の原理を組み合わせることで、光の直線伝播と回折効果の両方を説明できることを示した。実験結果と一致させるために、彼は二次波の位相と振幅、および傾斜係数に関する任意の仮定を追加で含める必要があった。これらの仮定には明らかな物理的根拠はないが、ポアソン斑を含む多くの実験的観測と一致する予測につながった。

ポアソンはフランス科学アカデミーの会員で、同アカデミーはフレネルの研究を審査した。^[6]彼はフレネルの理論を用いて、小さな円盤の影の中心に明るい点が現れるはずだと予測し、このことからこの理論が間違っていると推論した。しかし、委員会のもう一人の委員であるアラゴが実験を行い、この予測が正しいことを示した。（ライルはこのことを50年前に観察していた。^{[3] [疑わしい–議論する] ）これは、当時支配的だった}粒子理論に対して光の波動理論が勝利することになった研究の一つであった。

アンテナ理論と工学では、放射電流源に対するホイヘンス・フレネルの原理を再定式化したものは表面等価原理として知られている。^{[7] [8]}

ホイヘンス・フレネル原理は、光の古典的な波動伝播を理解し、予測するための合理的な基礎を提供します。しかし、この原理には限界があり、キルヒホッフの回折式を導出するために行われたのと同じ近似とフレネルによる近接場の近似があります。これらは、光の波長が遭遇するあらゆる光学部品の寸法よりもはるかに小さいという事実に要約できます。^[6]

キルヒホッフの回折公式は、波動方程式に基づいて回折の厳密な数学的基礎を提供する。フレネルがホイヘンス・フレネル方程式を導くために行った任意の仮定は、この導出における数学から自動的に生じる。^[9]

この原理の働きの簡単な例は、2 つの部屋を繋ぐ開いた出入り口があり、一方の部屋の離れた隅で音が鳴ったときに見ることができます。もう一方の部屋にいる人には、音が出入り口から聞こえたかのように聞こえます。2 番目の部屋に関しては、出入り口の空気の振動が音源です。

ホイヘンスの原理が現実を正確に微視的に表現しているということに、すべての専門家が同意しているわけではない。例えば、メルビン・シュワルツは「ホイヘンスの原理は実際には正しい答えを与えるが、その理由は間違っている」と主張した。^[1]

これは次の事実に反映されています。

• 光子の生成と放出の微視的メカニズムは、一般的に、本質的には電子の加速である。^[1]
• ^{ホイヘンス[10]}によるオリジナルの解析では、均一な周波数、位相、伝播速度の波面のみを考慮していたため、干渉や分散などの影響を適切に考慮することができませんでした。
• ホイヘンスの元の原理は、単純な海の波や音波のスカラーポテンシャルとは対照的に、ベクトルポテンシャルを必要とする光の偏光も考慮していないため、^[11]複屈折などの効果を説明することができません。
• ホイヘンスの説明では、なぜ前進波（遅延波または波面の前進エンベロープ）のみを選択し、後進波（後進エンベロープ）を選択しないのかについては説明されていない。^[11]
• フレネル近似では、波面の異なる点から来る異なる位相を持つ球面波の合計による非局所的動作の概念があり、非局所理論は多くの議論（例えば、ローレンツ共変ではないこと）と活発な研究の対象となっています。^[要出典]
• フレネル近似は量子確率論的に解釈できますが、この状態の合計 (つまり、波面上のウェーブレット) が物理的に意味のある状態の完全なリストであるか、または原子軌道の線形結合(LCAO) 法のような一般的な基準での近似値を表すかは不明です。

ホイヘンスの原理は、遠方場近似、散乱中心の有効場の考慮、小さな摂動の考慮において、本質的に場の量子論と互換性があり、量子光学が古典光学と互換性があるのと同じように、他の解釈は議論と活発な研究の対象となっています。

部屋の大きさと同じ大きさの仮想波面内のあらゆる点がウェーブレットを生成するというファインマンモデルも、これらの近似^[12]と確率論的文脈で解釈されるべきであり、この文脈では遠隔点は全体の確率振幅に最小限しか寄与できない。

量子場理論には光子生成の微視的モデルは含まれておらず、単一光子の概念も理論レベルで精査されています。

点P ₀に位置し、周波数 fで振動する点音源の場合を考えてみましょう。この外乱は、複素振幅と呼ばれる複素変数U _{0で記述できます。この外乱は、}波長λ、波数k = 2 π / λの球面波を生成します。比例定数の範囲内で、 P ₀から距離r _{0にある点}Qにおける一次波の複素振幅は次のようになります。

${\displaystyle U(r_{0})\propto {\frac {U_{0}e^{ikr_{0}}}{r_{0}}}.}$

大きさは移動距離に反比例して減少し、位相は移動距離 のk倍に伴って変化することに注意してください。

ホイヘンスの理論と波の重ね合わせの原理を用いると、半径r ₀の球面上の各点からの寄与を合計することで、さらに別の点Pでの複素振幅が求められる。実験結果と一致させるために、フレネルは、球面上の二次波からの個々の寄与に定数 − i /λ と追加の傾斜係数K (χ) を掛ける必要があることを発見した。最初の仮定は、二次波が一次波に対して 1/4 周期の位相ずれで振動し、二次波の振幅が一次波に対して 1:λ の比率であることを意味する。彼はまた、K (χ) は χ = 0 のときに最大値をとり、 χ = π/2 のときにゼロになると仮定した。ここで、 χ は一次波面の法線と二次波面の法線の間の角度である。二次波の寄与によるPでの複素振幅は、次のように与えられる。^[13]

${\displaystyle U(P)=-{\frac {i}{\lambda }}U(r_{0})\int _{S}{\frac {e^{iks}}{s}}K(\chi )\,dS}$

ここで、S は球面を表し、s はQとP の間の距離です。

フレネルはゾーン構成法を用いて、異なるゾーンのKのおおよその値を見つけ、^実験結果と一致する予測を立てることができました。キルヒホッフの積分定理には、ホイヘンス・フレネル原理の基本的な考え方が含まれています。キルヒホッフは、多くの場合、定理はフレネルの定式化と同等のより単純な形に近似できることを示しました。^[6]

単一の膨張球面波からなる開口照明の場合、波の曲率半径が十分に大きい場合、キルヒホッフはK (χ)について次の式を与えた。^[6]

${\displaystyle ~K(\chi )={\frac {1}{2}}(1+\cos \chi )}$

K は、ホイヘンス・フレネルの原理と同様に χ = 0 で最大値を持ちます。ただし、K はχ = π/2 ではなく χ = π でゼロになります。

上記のK (χ)の導出では、回折開口部が十分に大きな曲率半径を持つ単一の球面波によって照らされていると仮定しました。しかし、この原理はより一般的な照明にも当てはまります。^{[13]任意の照明は点光源の集合に分解することができ、波動方程式の線形性}を利用して各点光源に個別に原理を適用することができます。K (χ)は一般に次のように表すことができます。^[13]

${\displaystyle ~K(\chi)=\cos\chi}$

この場合、K は上記の条件を満たします (χ = 0 で最大値、χ = π/2 でゼロ)。

多くの書籍や参考文献、例えば(Greiner, 2002) ^[14]や(Enders, 2009) ^{[15]では、(} Feynman , 1948)の定義を用いて一般化ホイヘンスの原理について言及している。^[16]

ファインマンは一般化された原理を次のように定義しています。

「実際、ホイヘンスの原理は光学では正しくありません。これは、隣接する表面の振幅とその導関数の両方が既知でなければならないことを要求するキルヒホッフの修正に置き換えられます。これは、光学における波動方程式が時間に関して 2 次であるという事実の結果です。量子力学の波動方程式は時間に関して 1 次です。したがって、ホイヘンスの原理は物質波に対して正しく、作用が時間を置き換えます。」

これにより、このコンテキストでは、一般化された原理が量子力学の線形性と量子力学方程式が時間に関して 1 次であるという事実が明らかになります。最終的に、重ね合わせの原理が完全に適用されるのは、この場合のみです。つまり、点 P の波動関数は、P を囲む境界面上の波の重ね合わせとして展開できます。波動関数は、グリーン関数とプロパゲーターの形式が適用される確率密度として、通常の量子力学的意味で解釈できます。注目すべきは、この一般化された原理は「物質波」には適用可能であり、光波には適用できないことです。位相係数は、アクションによって与えられることが明確になり、ウェーブレットの位相が元の波の位相と異なり、追加のフレネル パラメーターによって変更される理由について混乱がなくなりました。

グレイナー^[14]によれば、一般化された原理は次の形式で 表現できる。${\displaystyle t'>t}$

${\displaystyle \psi '(\mathbf {x} ',t')=i\int d^{3}x\,G(\mathbf {x} ',t';\mathbf {x} ,t)\psi (\mathbf {x} ,t)}$

ここで、G は波動関数を時間とともに伝播する通常のグリーン関数です。この記述は古典モデルの初期のフレネルの公式に似ており、それを一般化しています。 ${\displaystyle \psi}$

ホイヘンスの理論は光干渉の波動性に関する基本的な説明となり、フレネルとヤングによってさらに発展させられたが、1909年にGIテイラーによって初めて行われた低強度二重スリット実験などのすべての観察を完全に解決することはできなかった。量子論の議論、特に1927年のブリュッセルソルベー会議での初期の議論が始まるのは1900年代初頭から中頃になってからであり、ルイ・ド・ブロイは光子が波動関数によって導かれるというド・ブロイ仮説を提唱した。^[17]

波動関数は、二重スリット実験で観測される明暗の帯について、まったく異なる説明を提示する。この概念では、光子は電磁場における多くの可能な経路のうちの 1 つを確率的に選択した経路をたどる。これらの可能性のある経路はパターンを形成する。暗い領域には光子は着地せず、明るい領域には多くの光子が着地する。可能性のある光子経路の集合は、リチャード・ファインマンの経路積分理論と一致しており、経路は周囲環境、つまり光子の発生点 (原子)、スリット、スクリーン、および位相の追跡と加算によって決定される。波動関数はこの幾何学に対する解である。波動関数アプローチは、1970 年代と 1980 年代にイタリアと日本で行われた電子を用いた追加の二重スリット実験によってさらに裏付けられた。^[18]

ホイヘンスの原理は、空間の均質性、つまり空間はあらゆる場所で均一であるということから生じると見ることができます。 ^[19]均質空間（または均質媒体）の十分に小さな領域で発生した乱れは、その領域からすべての測地線方向に伝播します。この乱れによって発生した波は、今度は他の領域で乱れを引き起こし、これが繰り返されます。すべての波が重なり合うことで、観測される波の伝播パターンが生まれます。

空間の均一性は量子場理論(QFT)の基本であり、そこではあらゆる物体の波動関数は、障害のないすべての経路に沿って伝播します。位相係数が作用に比例する状態で、すべての可能な経路に沿って積分すると、波動関数の干渉によって観測可能な現象が正しく予測されます。波面上のすべての点は、波と同じ速度で光円錐内に広がる二次波のソースとして機能します。新しい波面は、二次波に接する表面を構築することによって見つけられます。

1900年、ジャック・アダマールは、空間次元の数が偶数の場合、ホイヘンスの原理が破れることを観察した。^{[20] [21] [22]}このことから、彼は一連の予想を展開し、それは現在でも活発な研究テーマとなっている。^{[23] [24]}特に、コクセター群から導かれる同次空間の広いクラス（例えば、単純リー代数のワイル群）でホイヘンスの原理が成り立つことが発見された。^{[19] [25]}

ダランベルシアンに対するホイヘンスの原理の伝統的な記述はKdV階層を生み出し、同様にディラック演算子はAKNS階層を生み出す。^{[26] [27]}

ウィキメディア・コモンズには、ホイヘンスの原理に関連するメディアがあります。

• ストラットン、ジュリアス・アダムス：電磁気理論、McGraw-Hill、1941年。（Wiley – IEEE Pressにより再発行、ISBN 978-0-470-13153-4）。 
• BB ベイカーと ET コプソン、「ホイヘンスの原理の数学的理論」、オックスフォード、1939 年、1950 年; AMS チェルシー、1987 年。