キルヒホッフの積分定理

キルヒホッフの積分定理（フレネル・キルヒホッフの積分定理とも呼ばれる） ^[1]は、任意の点Pにおける同次スカラー波動方程式の解の値を、 Pを囲む任意の閉曲面（積分が行われる面）上のすべての点における解の値と解の1次導関数で求める面積分。 ^{[2]これは、}グリーンの第2恒等式と、グリーンの第2恒等式での体積積分がゼロになる同次スカラー波動方程式を使用して導出される^{。 [2] [3]}

単色波の積分は次の形をとる：^{[2] [3] [4]}

${\displaystyle U(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{S}\left[U{\frac {\partial }{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}\left({\frac {e^{iks}}{s}}\right)-{\frac {e^{iks}}{s}}{\frac {\partial U}{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}\right]dS,}$

ここで、積分は観測点 を囲む任意の閉曲面 S上で実行されます。における は波数、における は（無限小の）積分面要素から点 までの距離、は同次スカラー波動方程式の解の空間部分（すなわち、同次スカラー波動方程式の解として）、は積分面要素 から内側に向​​かう、かつ積分面要素に垂直な単位ベクトル（すなわち、内向き面法線単位ベクトル）、 は面法線に沿った微分（すなわち、法線導関数）を表します（すなわち、スカラー場の場合）。この積分 では、面法線は内側、すなわち囲まれた体積の内側に向かっていることに注意してください。より一般的な外向きの法線が使用される場合、積分は反対の符号を持ちます。 ${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle k}$${\displaystyle e^{iks}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle {\frac {e^{iks}}{s}}}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle U}$${\displaystyle V(\mathbf {r} ,t)=U(\mathbf {r} )e^{-i\omega t}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}}}$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}=\nabla f\cdot {\hat {\mathbf {n} }}}$ ${\displaystyle f}$

この積分は、より馴染みのある形で書くことができる。

${\displaystyle U(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{S}\left(U\nabla \left({\frac {e^{iks}}{ s}}\right)-{\frac {e^{iks}}{s}}\nabla U\right)\cdot d{\vec {S}},}$

ここで。^[3]${\displaystyle d{\vec {S}}=dS{\hat {\mathbf {n} }}}$

非単色波に対しては、より一般的な形式を導くことができる。波の 複素振幅は、次の形式のフーリエ積分で表すことができる。

${\displaystyle V(r,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int U_{\omega }(r)e^{-i\omega t}\,d\omega ,}$

ここで、フーリエ反転により、

${\displaystyle U_{\omega }(r)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int V(r,t)e^{i\omega t}\,dt.}$

積分定理（上記）を各フーリエ成分に適用すると、次の式が得られる：^[2]${\displaystyle U_{\omega}}$

${\displaystyle V(r,t)={\frac {1}{4\pi }}\int _{S}\left\{[V]{\frac {\partial }{\partial n}}\left({\frac {1}{s}}\right)-{\frac {1}{cs}}{\frac {\partial s}{\partial n}}\left[{\frac {\partial V}{\partial t}}\right]-{\frac {1}{s}}\left[{\frac {\partial V}{\partial n}}\right]\right\}dS,}$

ここで、 V項の角括弧は遅延値、つまり時刻t − s / cにおける値を表します。

キルヒホッフは、上記の式は多くの場合、キルヒホッフまたはフレネル-キルヒホッフ回折式と呼ばれるより単純な形式に近似できることを示しました。この式は、ホイヘンス-フレネル式に定義されていない傾斜係数を与える点を除いてホイヘンス-フレネル式と同等です。回折積分は、光学における幅広い問題に適用できます。

ここでは、キルヒホッフの積分定理の導出を紹介します。まず、次の グリーンの第 2 恒等式を使用します。

$${\displaystyle \int _{V}\left(U_{1}\nabla ^{2}U_{2}-U_{2}\nabla ^{2}U_{1}\right)dV=\oint _{\partial V}\left(U_{2}{\partial U_{1} \over \partial {\hat {\mathbf {n} }}}-U_{1}{\partial U_{2} \over \partial {\hat {\mathbf {n} }}}\right)dS,}$$ ここで、積分面法線単位ベクトルは、積分面 によって閉じられた体積 に向かっています。スカラー場関数およびは、ヘルムホルツ方程式の解として設定されます。ここで、は波数(は波長)であり、複素数値の単色 (時間的に単一周波数) 波動表現の空間部分を与えます。(波動表現の空間部分と時間部分の積は、スカラー波動方程式の解です。) 次に、グリーンの第 2 恒等式 の体積部分はゼロなので、面積分のみが として残ります。 ここで、はヘルムホルツ方程式の解として設定され、 は閉体積 内の観測点からの距離である複素数値の単色球面波 の空間部分 として設定されます。での特異点があり、 の値はでは定義されていないため、積分面には を含めてはなりません。(そうでない場合、上記のゼロ体積積分は正当化されません。) 推奨される積分面は、を中心とし、半径が で、外側の任意の閉表面である内球です。 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \partial V}$${\displaystyle U_{1}}$${\displaystyle U_{2}}$${\displaystyle \nabla ^{2}U+k^{2}U=0}$${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}$${\displaystyle \lambda}$$${\displaystyle \oint _{\partial V}\left(U_{2}{\partial U_{1} \over \partial {\hat {\mathbf {n} }}}-U_{1}{\partial U_{2} \over \partial {\hat {\mathbf {n} }}}\right)dS=0.}$$${\displaystyle U_{2}}$${\displaystyle U_{1}}$${\displaystyle U_{1}={\frac {e^{iks}}{s}}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle P}$${\displaystyle V}$${\displaystyle U_{1}={\frac {e^{iks}}{s}}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle s=0}$${\displaystyle {\frac {e^{iks}}{s}}}$${\displaystyle s=0}$${\displaystyle P}$${\displaystyle S_{1}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle s_{1}}$${\displaystyle S_{2}}$

すると、面積分は、 内球面上の積分についてはとなり、 に立体角を 導入することにより、 により となります。(原点がある球面座標系を使用して、この等式を導出できます。) $${\displaystyle \oint _{S_{1}}\left(U_{2}{\partial \over \partial {\hat {\mathbf {n} }}}{\frac {e^{iks}}{s}}-{\frac {e^{iks}}{s}}{\partial \over \partial {\hat {\mathbf {n} }}}U_{2}\right)dS+\oint _{S_{2}}\left(U_{2}{\partial \over \partial {\hat {\mathbf {n} }}}{\frac {e^{iks}}{s}}-{\frac {e^{iks}}{s}}{\partial \over \partial {\hat {\mathbf {n} }}}U_{2}\right)dS=0.}$$${\displaystyle S_{1}}$$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}{\frac {e^{iks}}{s}}=\nabla {\frac {e^{iks}}{s}}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}=\left({\frac {ik}{s}}-{\frac {1}{s^{2}}}\right)e^{iks},}$$ ${\displaystyle d\Omega }$${\displaystyle dS=s^{2}d\Omega }$$${\displaystyle \oint _{S_{1}}\left(U_{2}{\partial \over \partial {\hat {\mathbf {n} }}}{\frac {e^{iks}}{s}}-{\frac {e^{iks}}{s}}{\partial \over \partial {\hat {\mathbf {n} }}}U_{2}\right)dS=\oint _{S_{1}}\left(U_{2}\left({\frac {ik}{s}}-{\frac {1}{s^{2}}}\right)e^{iks}-{\frac {e^{iks}}{s}}{\partial \over \partial {\hat {\mathbf {n} }}}U_{2}\right)s^{2}d\Omega =\oint _{S_{1}}\left(iksU_{2}-U_{2}-s{\frac {\partial }{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}U_{2}\right)e^{iks}d\Omega }$$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}U_{2}=\nabla U_{2}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}={\frac {\partial }{\partial s}}U_{2}}$${\displaystyle P}$

球を半径ゼロに向かって縮小すると（特異点を避けるため決して接触しないようにする）、面積分の最初の項と最後の項はゼロになり、積分は となる。その結果、の位置を、の位置ベクトルを とすると、それぞれ次の式で表される。 ${\displaystyle S_{1}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle e^{iks}\to 1}$${\displaystyle S_{1}}$${\displaystyle -4\pi U_{2}}$${\displaystyle U_{2}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle S_{2}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle S}$$${\displaystyle U(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\left(U{\partial \over \partial {\hat {\mathbf {n} }}}{\frac {e^{iks}}{s}}-{\frac {e^{iks}}{s}}{\partial \over \partial {\hat {\mathbf {n} }}}U\right)dS.}$$

• キルヒホッフの回折式
• ベクトル計算
• 積分
• ホイヘンス・フレネルの原理
• 波面
• 表面積分

• 『ケンブリッジ物理学公式ハンドブック』、G. ウォーン、ケンブリッジ大学出版局、2010年、ISBN 978-0-521-57507-2。 
• 電気力学入門（第3版）、DJグリフィス、ピアソンエデュケーション、ドーリングキンダースリー、2007年、ISBN 81-7758-293-3 
• 光と物質：電磁気学、光学、分光法、レーザー、YB Band、John Wiley & Sons、2010年、ISBN 978-0-471-89931-0 
• 『光のファンタスティック 古典光学と量子光学入門』、IR ケニオン、オックスフォード大学出版局、2008 年、ISBN 978-0-19-856646-5 
• Encyclopaedia of Physics (第 2 版)、RG Lerner、GL Trigg、VHC 出版社、1991 年、ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1、ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3
• マグロウヒル物理学百科事典（第2版）、CBパーカー、1994年、ISBN 0-07-051400-3