キルヒホッフの回折公式

スクリーンの開口部を照らす、点 P ₀にある単色点光源を考えます。点光源から放出される波の強度は、伝播距離の二乗に反比例して減少するため、振幅は距離の逆数に反比例して減少します。距離 における擾乱の複素振幅は${\displaystyle r}$は

$${\displaystyle U(r)={\frac {ae^{ikr}}{r}},}$$ どこ${\displaystyle a}$これは、点源における擾乱の大きさを表します。

空間位置Pにおける擾乱は、半径Rの球とスクリーンの交点によって形成される閉曲面にキルヒホッフの積分定理を適用することによって求めることができる。積分は領域A ₁、A ₂、A ₃にわたって実行され、次の式が得られる 。$${\displaystyle U(P)={\frac {1}{4\pi }}\left[\int _{A_{1}}+\int _{A_{2}}+\int _{A_{3}}\right]\left(U{\frac {\partial }{\partial n}}\left({\frac {e^{iks}}{s}}\right)-{\frac {e^{iks}}{s}}{\frac {\partial U}{\partial n}}\right)dS.}$$

方程式を解くには、以下の値が仮定される。${\displaystyle U}$そして${\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial n}}}$開口領域A ₁はスクリーンがない場合と同じなので、位置Qでは、 $${\displaystyle U_{A_{1}}={\frac {ae^{ikr}}{r}},}$$$${\displaystyle {\frac {\partial U_{A_{1}}}{\partial n}}=\nabla U_{A_{1}}\cdot n={\frac {ae^{ikr}}{r}}\left[ik-{\frac {1}{r}}\right]\cos(n,r),}$$ どこ${\displaystyle r}$は直線P ₀ Qの長さであり、${\displaystyle (n,r)}$は、 P ₀ Qを直線状に延長した線と、開口部の（内向きの）法線との間の角度です。${\displaystyle 0<(n,r)<{\frac {\pi }{2}}}$それで${\displaystyle \cos(n,r)}$はA ₁上の正の実数です。

Qでは、 $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial n}}\left({\frac {e^{iks}}{s}}\right)={\frac {e^{iks}}{s}}\left[ik-{\frac {1}{s}}\right]\cos(n,s),}$$ どこ${\displaystyle s}$は直線PQの長さであり、${\displaystyle (n,s)}$これは、 PQを直線状に延長した線と、開口部の（内向きの）法線との間の角度です。${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}<(n,s)<{\frac {3\pi }{2}}}$それで${\displaystyle \cos(n,s)}$はA ₁上の負の実数です。

さらに以下の2つの仮定を置く。

• 上記の通常の微分では、項${\displaystyle {\frac {1}{r}}}$そして${\displaystyle {\frac {1}{s}}}$両方の角括弧内の値は波数に比べて無視できるほど小さいと仮定する${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}$、 手段${\displaystyle r}$そして${\displaystyle s}$波長よりもはるかに大きい${\displaystyle \lambda }$。
• キルヒホフは、${\displaystyle U}$そして${\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial n}}}$A ₂でマークされた不透明な領域ではゼロです。これは、${\displaystyle U}$そして${\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial n}}}$開口部A ₁の端で不連続である。これは事実ではなく、これはキルヒホッフの回折公式を導出する際に使用される近似の 1 つです。 ^{[ 4 ] [ 5 ]}これらの仮定は、キルヒホッフの境界条件と呼ばれることもあります。

半球A3からの積分への寄与はゼロになると予想され、それは以下のいずれかの理由で正当化できます_。

1. 光源が特定の時間に放射を開始すると仮定し、Rを十分に大きくして、 Pにおける擾乱を考慮するときにはA ₃からの寄与がそこに到達しないようにする。^{[ 1 ]}このような波はもはや単色波ではない。なぜなら、単色波は常に存在しなければならないからである。しかし、その仮定は必要なく、その使用を避けるより形式的な議論が導出されている。^{[ 6 ]}
2. 開口部A ₁から発生した波は、伝播するにつれて球面波へと変化すると予想される（この例として、比較的狭い開口部を通過する水波を示す多くの写真が挙げられる）。したがって、Rが十分に大きい場合、 A ₃上の積分は次のようになる。$${\displaystyle U(P)\sim -{\frac {ia}{2\lambda }}\int _{A_{3}}{\frac {e^{2ik(r')}}{r'^{2}}}[\cos(n,r')-\cos(n,r')]d{A_{3}}=-{\frac {ia}{2\lambda }}\int _{A_{3}}e^{2ik(r')}[\cos(n,r')-\cos(n,r')]d{\Omega }=0}$$どこ${\displaystyle r'}$そして$dΩ$_{はそれぞれ、開口部}A1の中心から積分面要素までの距離と球面座標系における微分立体角である。

その結果、最終的に、点Pにおける複素振幅を表す上記の積分は次のようになる。 $${\displaystyle U(P)=-{\frac {ia}{2\lambda }}\int _{A_{1}}{\frac {e^{ik(r+s)}}{rs}}[\cos(n,r)-\cos(n,s)]d{A_{1}}.}$$

これはキルヒホッフまたはフレネル・キルヒホッフの回折式です。

ホイヘンス・フレネルの原理との等価性

ホイヘンス・フレネルの原理は、別の閉曲面（観測点Pを持つある体積の境界）上で積分することによって導出できます。上記の領域A _{1は、開口部に最も近い}r ₀にある波面 ( P ₀から放出)の一部と、右図でA ₄とラベル付けされた、頂点がP ₀にある円錐の一部に置き換えられます。波面が開口部の端に非常に近い位置にある場合、A ₄からの寄与は無視できます (ここではそのように仮定しています)。この新しいA ₁上では、内向き (閉じた積分面によって囲まれた体積に向かって、つまり図の右側に向かって) の法線が存在します。${\displaystyle n}$A ₁への角度はP ₀からの半径方向、つまり波面に垂直な方向に沿っています。結果として、角度は${\displaystyle (n,r)=0}$そして角度${\displaystyle (n,s)}$角度に関係している${\displaystyle \chi }$（ホイヘンス・フレネルの原理で定義される角度） $${\displaystyle (n,s)=\pi -\chi .}$$

r ₀における波面の複素振幅は次のように与えられる。 $${\displaystyle U(r_{0})={\frac {ae^{ikr_{0}}}{r_{0}}}.}$$

したがって、回折式は次のようになります。 $${\displaystyle U(P)=-{\frac {i}{2\lambda }}{\frac {ae^{ikr_{0}}}{r_{0}}}\int _{S}{\frac {e^{iks}}{s}}(1+\cos \chi )dS,}$$ここで、積分は図中の開口部に最も近いr ₀ の波面の部分で行われます。この積分は、ホイヘンス・フレネルの原理（傾斜係数付き）につながります。${\textstyle {\frac {1+\cos \chi }{2}}}$)

この積分の導出では、右図に示す幾何学の代わりに、中心がP ₀で内球半径がr ₀、外球半径が無限大の二重球を使用できます。^{[ 7 ]}この幾何学では、観測点Pは 2 つの球に囲まれた体積内に位置するため、フレネル・キルヒホッフの回折公式が 2 つの球に適用されます。（これらの積分面の表面法線は、上記の回折公式で囲まれた体積に向かっているとします。）公式の適用では、外球上の積分は、上記の半球上の積分がゼロであるのと同様の理由でゼロになります。

開口部が拡張された光源波によって照射されると仮定します。^{[ 8 ]}開口部での複素振幅はU ₀ ( r ) で与えられます。

以前と同様に、以下の値が想定される。${\displaystyle U}$そして${\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial n}}}$領域A ₁では、スクリーンがない場合と同じ値になります。${\displaystyle U}$そして${\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial n}}}$A _{2 は}ゼロ（キルヒホッフの境界条件）であり、 A ₃からの積分への寄与もゼロであると仮定します。また、1/ s はkに比べて無視できるほど小さいと仮定します。すると、次のようになります。 $${\displaystyle U(P)={\frac {1}{4\pi }}\int _{A_{1}}{\frac {e^{iks}}{s}}\left[ikU_{0}(r)\cos(n,s)-{\frac {\partial U_{0}(r)}{\partial n}}\right]\,dS.}$$

これはキルヒホッフ回折公式の最も一般的な形式です。広がりを持つ光源に対してこの方程式を解くには、光源内の個々の点からの寄与を合計するための追加の積分が必要になります。しかし、光源と開口部の間の距離が波長よりも十分に大きい場合、開口部内の各点における光源からの光が明確な方向を持つと仮定すると、次のように書くことができます。 $${\displaystyle U_{0}(r)\approx a(r)e^{ikr},}$$ ここで、a ( r )は開口部内の 点rにおける擾乱の大きさである。すると、次のようになる。$${\displaystyle {\frac {\partial {U_{0}(r)}}{\partial n}}=ika(r)e^{ikr}\cos(n,r)}$$ そしてこうして $${\displaystyle U(P)=-{\frac {i}{2\lambda }}\int _{S}a(r){\frac {e^{ik(s+r)}}{s}}[\cos \chi +\cos(n,r)]\,dS.}$$

f ( x ' , y ' )の項のうち、x' と y' の項を除いてすべて無視できる場合_、フラウンホーファー回折方程式が得られます。P0QとPQの方向余弦が $${\displaystyle {\begin{aligned}l_{0}&=-x_{0}/r',\\m_{0}&=-y_{0}/r',\\l&=x/s',\\m&=y/s'.\end{aligned}}}$$

フラウンホーファー回折方程式は次のようになる。 $${\displaystyle U(P)=C\int _{S}e^{ik[(l_{0}-l)x'+(m_{0}-m)y']}\,dx'dy',}$$ ここでCは定数である。これは次の形式でも書ける。 $${\displaystyle U(P)=C\int _{S}e^{i(\mathbf {k} _{0}-\mathbf {k} )\cdot \mathbf {r} '}\,dr',}$$ ここで、k ₀とk はそれぞれP ₀から開口部へ、および開口部からPへ伝わる波の波数ベクトルであり、r ' は開口部内の点である。

点光源を、開口部における複素振幅がU ₀ ( r' )で与えられる広がりを持つ光源に置き換えると、フラウンホーファー回折方程式は次のようになります。 $${\displaystyle U(P)\propto \int _{S}a_{0}(\mathbf {r} ')e^{i(\mathbf {k} _{0}-\mathbf {k} )\cdot \mathbf {r} '}\,dr',}$$ ここで、a ₀ ( r' ) は、これまでと同様に、開口部における擾乱の大きさである。

キルヒホッフ方程式の導出における近似に加えて、以下のことが仮定される。

• rとsは開口部のサイズよりもかなり大きい。
• 式f ( x ' , y ' ) の 2 次以上の項は無視できます。

二次項を無視できないが、高次の項はすべて無視できる場合、この方程式はフレネル回折方程式となる。キルヒホッフ方程式の近似式が用いられ、さらに以下の仮定が置かれる。

• rとsは開口部のサイズよりもかなり大きい。
• 式f ( x ' , y ' ) の 3 次以上の項は無視できます。