ピラミッド数

ピラミッド数とは、多角形の底辺と三角形の辺を持つピラミッドの頂点の数である。[ 1 ]^この用語は、4つの辺を持つ正方形の底辺を持つ正方形ピラミッド数を指すことが多いが、任意の数の辺を持つピラミッドを指すこともできる。^[2]底辺と底辺に平行な層内の頂点の数は、与えられた辺数の多角形数で与えられ、各三角形の辺内の頂点の数は三角数で与えられる。ピラミッド数を高次元に拡張することは可能である。

n次のr角錐数 の公式は

${\displaystyle P_{n}^{r}={\frac {3n^{2}+n^{3}(r-2)-n(r-5)}{6}},}$

ただしr∈${\displaystyle \mathbb {N} }$、r≥3である。^[1]

この式は因数分解できます。

${\displaystyle P_{n}^{r}={\frac {n(n+1){\bigl (}n(r-2)-(r-5){\bigr )}}{(2)(3)}}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)\left({\frac {n(r-2)-(r-5)}{3}}\right)=T_{n}\cdot {\frac {n(r-2)-(r-5)}{3}},}$

ここで、T _{n は}n番目の三角数です。

最初のいくつかの三角錐数（四面体数と同等）は次のとおりです。

1、4、10、20、35、56、84、120、165、220 、...（OEISの配列A000292 ）​​​​​​​​​​​​​​​

最初のいくつかの平方ピラミッド数は次のとおりです。

1、5、14、30、55、91、140、204、285、385、506、650、819、...（OEISの配列A000330 ）。​​​​​​​​​​​​​​

最初のいくつかの五角錐の数は、次のとおりです。

1、6、18、40、75、126、196、288、405、550、726、936、1183、1470、1800、2176、2601、3078、3610、4200、4851、5566、6348、7200、8125、9126（OEISの配列A002411 ）。​​​​​​​​​​​​

最初のいくつかの六角錐の数字は次のとおりです。

1、7、22、50、95、161、252、372、525、715、946、1222、1547、1925（OEISの配列A002412 ）。​​​​​​​​​​

最初のいくつかの七角錐数は以下の通りである: ^[3]

1、8、26、60、115、196、308、456、645、880、1166、1508、1911、...（OEISのシーケンスA002413）​​​​​