ハーグの定理

ルドルフ・ハーグは、相互作用する相対論的な量子場の理論の数理物理学 に取り組んでいたとき、相互作用像の存在に反対する議論^[1]を展開しました。この結果は現在ではハーグの定理として広く知られています。ハーグの最初の証明は、当時一般的だった場の理論の特定の形式に依存していましたが、その後、ディック・ホールやアーサー・ワイトマンなど多くの著者によって一般化され、単一の普遍的なヒルベルト空間表現では自由場と相互作用場の両方を記述できないという結論に達しました^{[2] 。}マイケル・C・リードとバリー・サイモンによる一般化では、異なる質量の自由な中性スカラー場にも当てはまることが示されており^[3] 、これは自由場の場合でも相互作用像が常に矛盾することを意味しています。

伝統的に、量子場の理論を記述するには、正準（反）交換関係を満たす演算子の集合と、それらの演算子が作用するヒルベルト空間を記述する必要があります。同様に、正準交換関係（CCR/CAR 代数）を法とするそれらの演算子上の自由代数の表現を与える必要があります。後者の観点では、演算子の基礎となる代数は同じですが、異なる場の理論は異なる（つまり、ユニタリに同値でない）表現に対応します。

哲学的には、CCR 代数の作用は既約でなければなりません。そうでないと、理論は 2 つの別々のフィールドの複合効果として記述される可能性があるためです。この原理は、循環 真空状態の存在を意味します。重要なのは、真空は循環的であるため、代数表現を一意に決定することです。

真空の2つの異なる仕様が一般的です。ハミルトニアンの最小エネルギー 固有ベクトル、または数演算子a ^† aによって消滅する状態です。これらの仕様が異なるベクトルを表す場合、量子電磁力学の場合の物理的解釈に従って、真空は分極すると言われます。^[4]

ハーグの結果は、同じ量子場理論でも、相互作用している真空と自由な真空では全く異なる扱いをしなければならないことを説明している。^{[4] [5]}

現代のハーグの定理は2つの部分から成ります: ^{[5] [6]}

1. 量子場が空間次元において自由かつユークリッド不変である場合、その場の真空は分極しません。
2. 2 つのポアンカレ不変な量子場が同じ真空を共有する場合、それらの最初の 4 つのワイトマン関数は一致する。さらに、そのような場の 1 つが自由場である場合、もう 1 つも同じ質量の自由場でなければならない。

この状況は、自由表現と相互作用表現の間に常にユニタリ同値性がある通常の非相対論的量子力学とはまったく対照的である。その事実は相互作用図の構築に使用され、そこでは演算子は自由場表現を使用して展開され、状態は相互作用場表現を使用して展開される。量子場理論(QFT)の形式主義の範囲内では、これらの 2 つの表現はユニタリ同値ではないため、このような図は一般に存在しない。したがって、量子場理論家は、いわゆる選択問題に直面する。つまり、等価ではない表現の非可算無限集合の中から「正しい」表現を選択しなければならない。

ハーグが元の研究ですでに指摘していたように、真空分極はハーグの定理の核心である。相互作用する量子場（または異なる質量の非相互作用場）は真空を分極させ、その結果、真空状態は自由場のヒルベルト空間とは異なる繰り込みヒルベルト空間内に存在する。1つのヒルベルト空間を他のヒルベルト空間にマッピングする同型は常に見つかるが、ハーグの定理は、そのようなマッピングでは、対応する標準的な交換関係のユニタリ等価な表現、つまり明確な物理的結果を提供できないことを意味している。 ${\displaystyle \;H_{\text{renorm}}\;}$${\displaystyle \;H_{\text{無料}}\;}$

ハーグの定理を導く仮定の中には、システムの並進不変性がある。その結果、周期境界条件を持つボックス内に設定できるシステムや、適切な外部ポテンシャルと相互作用するシステムは、定理の結論から逃れることができる。^[7]

Haag（1958）^[8]とDavid Ruelle（1962）^{[9]は、漸近的な自由状態を扱う}Haag-Ruelle散乱理論を提示し、それによってLSZ縮小式に必要ないくつかの仮定を形式化するのに役立ちます。^[10]しかし、これらの技術は質量のない粒子には適用できず、束縛状態に関する未解決の問題があります。

物理学者や物理学哲学者の中には、ハーグの定理がQFTの基礎をいかに深刻に揺るがすかを繰り返し強調する者もいるが、実践的な量子場理論家の大多数は、この問題を単純に無視している。素粒子相互作用の標準モデルの実践的な理解に向けた量子場理論のテキストのほとんどは、これについて言及すらしておらず、暗黙のうちに、彼らが報告する強力で十分に確認されたヒューリスティックな結果を確固たるものにするために、何らかの厳密な定義と手順のセットが見つかるだろうと想定している。

たとえば、漸近構造 ( QCD ジェットを参照) は、実験と非常によく一致する特定の計算ですが、それでもハーグの定理により失敗するはずです。これは単に偶然見つけた計算ではなく、物理的な真実を体現しているというのが一般的な感覚です。実用的な計算とツールは、QFTと呼ばれる壮大な数学的形式主義に訴えることによって動機付けられ、正当化されています。ハーグの定理は、形式主義が十分に根拠がないことを示唆していますが、実用的な計算は抽象的な形式主義から十分に離れているため、そこに弱点があっても実用的な結果に影響 (または無効化) はありません。

テラー（1997）が指摘したように: ^[11]

ハーグの定理は数学として、少なくとも相互作用する量子場の理論の数学的基礎に疑問を投げかける有効な結果であること、そして同時にその理論が実験結果への応用において驚くほど成功していることに誰もが同意するはずです。^[11]

トレイシー・ルーファー（2005）^[12]は、ハーグの定理に対する相反する反応が広範囲に及ぶのは、同じ定式化が異なる定式化で存在し、それがワイトマンの公理的アプローチやLSZ公式など、場の理論の異なる定式化で証明されたことに部分的に起因している可能性があると示唆した。[ 12 ]ルーファーに^よれば、

それを言及する少数の人々は、それを誰かが徹底的に調査すべき重要なことだと考える傾向がある。^[12]

ローレンス・スクラー（2000）^[13]はさらに次のように指摘している。

理論の中には、数学的な人工物の結果であると思われる概念上の問題が存在する場合があります。理論家にとって、これらは理論の深い物理的な誤りに根ざした根本的な問題ではなく、むしろ理論の表現方法の不運の結果であるように思われます。ハーグの定理は、おそらくこの種の難しさです。^[13]

デイヴィッド・ウォレス（2011）^[14]は、従来のQFTの利点を代数的量子場理論（AQFT）の利点と比較し、

...代数的量子場理論は空間的に有限な領域上でもユニタリー非同値な表現を持つが、このユニタリー同値性の欠如は任意の小さな時空領域上の期待値に関してのみ現れ、これらはまさに世界についての実際の情報を伝えない期待値である。^[14]

彼は後者の主張を、現代の繰り込み群理論から得られた洞察、すなわち

...カットオフ（すなわち、再正規化手順を実行するために必要な短距離カットオフ）がどのように実装されるかについての私たちの無知はすべて、経験的に測定できる有限個の係数の値に吸収される。^[14]

ハーグの定理の結果に関して、ウォレスの観察^[14]は、QFT は粒子の質量や結合定数などの基本的なパラメータを予測しようとしないため、単位的に非同等な表現から生じる潜在的に有害な影響は、これらのパラメータの測定（特定の長さスケールで）から生じる経験値の中に吸収され、QFT に容易にインポートされることを示唆しています。したがって、実際には、それらは量子場の理論家には見えないままです。

• フレイザー、ドリーン (2006)。ハーグの定理と相互作用を伴う量子場理論の解釈 (博士論文)。ピッツバーグ大学。
• Arageorgis, A. (1995).場、粒子、曲率: 曲がった時空における量子場理論の基礎と哲学的側面(博士論文).ピッツバーグ大学.