黄金律貯蓄率

経済学において、黄金律貯蓄率とは、消費の伸びの定常状態を最大化する貯蓄率のことである^[1] 。例えば、ソロー・スワン・モデルなどである。この概念は、ジョン・フォン・ノイマンやモーリス・アレの著作にも見られるが、この用語は、1961年に「他人にしてもらいたいことを他人にもしてあげなさい」という黄金律をモデル内で世代を超えて適用することで、ある種の「最適」、簡単に言えば「前の世代が自分たちにして欲しいと願ったことを、将来の世代にもしてあげなさい」という結論に達することができると書いたエドマンド・フェルプスに由来すると一般に考えられている^{[2] 。}

ソロー成長モデルでは、定常状態貯蓄率が 100% の場合、すべての所得が将来の生産のための投資資本に充てられることを意味し、定常状態消費レベルはゼロになります。貯蓄率が 0% の場合、新しい投資資本は創出されず、資本ストックは交換されずに減価します。これにより、生産量がゼロの場合を除いて定常状態は維持できなくなり、この場合も消費レベルはゼロになります。その中間に「黄金律」貯蓄レベルがあります。このレベルでは、貯蓄性向によって 1 人あたりの消費が最大限一定値になります。言い換えると、黄金律資本ストックは、維持可能な恒久的消費の最高レベルに関係します。

以下の議論は、バロとサラ・イ・マルティン^{[3]の第1章やアベルら[4]}などの文献でより詳細に述べられている。

k を資本労働比率（つまり一人当たりの資本）、 y を結果として得られる一人当たりの産出量（）、s を貯蓄率とします。定常状態は一人当たりの産出量が不変である状況として定義され、k は一定であることを意味します。これには、貯蓄された産出量が、（1）追加の労働者を装備し、（2）消耗した資本を交換するのに必要な量と正確に一致していることが必要です。 ${\displaystyle y=f(k)}$

従って、定常状態では、 となります。ここで、nは一定の外生的人口増加率、d は一定の外生的資本減価率です。nとd は定数でイナダ条件を満たすため、この式は定常状態におけるsとk を結び付ける方程式として読むことができます。つまり、 sの選択は、定常状態におけるkの一意の値(したがってyの一意の値も) を意味します。消費は産出量 ( ) に比例するため、 sの値の選択は、定常状態における一人当たり消費の一意のレベルを意味します。 sのすべての可能な選択肢の中から、 cの可能な限り最高の定常値を生み出すものが 1 つあり、これは黄金律貯蓄率と呼ばれます。 ${\displaystyle sf(k)=(n+d)k}$${\displaystyle f(k)}$${\displaystyle c=(1-s)f(k)}$

政策立案者にとって重要な問題は、経済が貯蓄しすぎているのか、それとも貯蓄しすぎていないのかということです。上で述べたように、定常状態におけるsとkの相互関係を考慮すると、この質問は次のように表現できます。「定常状態で労働者 1 人あたりの消費の最大レベルを達成するには、労働者 1 人あたりの資本 (k) はどれくらい必要ですか?」

最適な資本労働比率、つまり黄金律の貯蓄率を見つけるには、まず、消費は定常状態を維持する投資を行った後に残る残余生産量として見ることができることに注意してください。${\displaystyle c=f(k)-(n+d)k}$

微分法では、資本労働比率のどの定常状態値が一人当たりの消費を最大化するかを特定できます。定常状態におけるsとkの関係から、貯蓄率の黄金律が導き出されます(上記参照)。

詳細には、 がkの黄金律定常状態レベルである場合、が必要である。すなわち、${\displaystyle k^{G}}$${\displaystyle k=k^{G}}$${\displaystyle dc/dk=0}$${\displaystyle df/dk-(n+d)=0}$

${\displaystyle {\mbox{資本労働比率の黄金律: }}{\frac {df}{dk}}=(n+d)}$

稲田条件は、この規則が唯一の によって満たされることを保証するため、唯一の が生成されます。定常状態は特定のレベルの投資、つまり貯蓄された産出量を必要とするため、黄金律の貯蓄率はこれを生成するのに必要な値でなければなりません。 ${\displaystyle k=k^{G}}$${\displaystyle y^{G}=f(k^{G})}$${\displaystyle i^{G}=(n+d)k^{G}}$

${\displaystyle {\mbox{黄金律貯蓄率: }}s^{G}={\frac {(n+d)k^{G}}{f(k^{G})}}}$

最適なkの規則を考えると、これは次のように表現することもできます。

${\displaystyle {\mbox{黄金律貯蓄率: }}s^{G}={\frac {mpk^{G}}{apk^{G}}}}$

ここで、はkの最適値における資本の限界生産性（ ） 、 は対応する資本の平均生産性（）です。 ${\displaystyle mpk^{G}}$${\displaystyle df(k)/dk}$${\displaystyle apk^{G}}$${\displaystyle f(k)/k}$

、、、の実際の値は、生産関数の正確な仕様に依存します。たとえば、規模の経済性が一定のCobb-Douglas仕様ではとなるため、となります。これにより となり、 となるため、となります。 ${\displaystyle k^{G}}$${\displaystyle y^{G}}$${\displaystyle apk^{G}}$${\displaystyle s^{G}}$ ${\displaystyle f(k)}$${\displaystyle y=f(k)=k^{a}}$${\displaystyle apk=k^{(a-1)}}$${\displaystyle mpk=ak^{(a-1)}}$${\displaystyle s^{G}=a}$${\displaystyle k^{G}=(a/(n+d))^{1/(1-a)}}$${\displaystyle y^{G}=(a/(n+d))^{a/(1-a)}}$

さまざまな経済政策が貯蓄率に影響を与える可能性があり、経済が貯蓄しすぎているか少なすぎるかに関するデータがあれば、黄金律の貯蓄レベルに近づくためにそれらを利用することができる。たとえば、消費税は消費レベルを下げて貯蓄率を上げる可能性があるが、キャピタルゲイン税は貯蓄率を下げる可能性がある。これらの政策は、一般的な貯蓄率が「低すぎる」（黄金律の率を下回る）と感じられる西洋では貯蓄インセンティブとしてよく知られており、貯蓄率が「高すぎる」（黄金律を上回る）ために需要が弱すぎると広く考えられている日本などの国では消費インセンティブとして知られている。^{[注 1]}

日本の高い民間貯蓄率は、高い公的債務によって相殺されている。これを簡単に概算すると、政府は国民からGDPの100%を借り入れており、その裏付けは将来の税金で支払うという約束だけである。これは必ずしも投資による資本形成につながるわけではない（たとえば、国債の売却による収入がインフラ開発ではなく現在の政府消費に使われる場合）。

消費税率が恒久的なものと予想される場合、税率の上昇が消費を阻害するという一般的な仮説と合理的期待を調和させることは困難である（貯蓄の究極の目的は消費であるため）。^[5]しかし、消費税は変動する傾向がある（例えば、政権交代や国間の移動など）ため、現在高い消費税は将来のある時点で廃止されると予想され、貯蓄のインセンティブが増加する可能性がある。定常状態における資本所得税の効率的なレベルは、一般均衡モデルの文脈で研究されており、ジャッド（1985）は最適税率がゼロであることを示している。^[6]しかし、チャムリー（1986）は、定常状態に到達するには（短期的には）高い資本所得税が効率的な収入源であると述べています。^[7]

アレによれば、黄金律は1959年にジャック・デルーソーが未発表の論文で初めて述べたものである（デルーソーも参照）。^[9]この法則は、新古典派の設定において、エドマンド・フェルプス^[10] 、カール・クリスチャン・フォン・ヴァイツゼッカー^[11]、トレバー・スワン^{[12]によっても独立に発見された。ジョーン・ロビンソン[13]は、}固定比率と技術変化を伴う成長モデルにおいて、差別的地代に言及してこの法則を独立に確立し、「新古典派定理」と名付けた。エッケハルト・シュリヒト^[14]は、この法則が限界生産性と差別的地代が定義されていないカルドール成長モデルにも当てはまることを示した。