概要 ネットワークの文脈で「スケールフリー」という概念が最初に導入されたとき、[ 6 ] k {\displaystyle k} f （ k ） ∝ k − γ {\displaystyle f(k)\propto k^{-\gamma }} k → k + ϵ k {\displaystyle k\to k+\epsilon k} [ 9 ] [ 10 ]
しかし、重要な違いがあります。統計場理論では、「スケール」という用語はしばしばシステムのサイズに関係します。ネットワークの領域では、「スケール」k {\displaystyle k}
べき乗則次数分布により、高次数ノードの出現頻度について「スケールフリー」な主張を行うことができます。[ 11 ] [ 12 ]
特徴 ランダムネットワーク（a）とスケールフリーネットワーク（b） ランダムかつスケールフリーな複雑ネットワーク次数分布 スケールフリーネットワークの最も顕著な特徴は、次数が平均を大きく超える頂点が比較的多く存在することです。次数が最も高いノードは「ハブ」と呼ばれることが多く、ネットワーク内で特定の役割を果たすと考えられていますが、これはドメインによって大きく異なります。ランダムネットワークでは、最大次数、つまり期待される最大のハブは、k max ~ log N のようにスケーリングします。ここでN はネットワークサイズであり、非常に緩やかな依存性です。対照的に、スケールフリーネットワークでは、最大のハブはk max ~ ~N 1/(γ−1) のようにスケーリングし、ハブがネットワークサイズとともに多項式的に増加することを示しています。
スケールフリーネットワークの重要な特徴は、次数異質性 κ= <k 2 >/<k> が高いことであり、これはネットワークの堅牢性から伝染病の拡散やネットワークの同期まで、複数のネットワークベースのプロセスを支配します。ランダムネットワークでは κ= <k> + 1、 つまり比率はネットワークサイズN に依存しませんが、スケールフリーネットワークでは κ ~ N (3−γ)/(γ−1) となり、ネットワークサイズとともに増加します。これは、これらのネットワークでは次数異質性が増加することを示しています。
クラスタリング スケールフリーネットワークのもう 1 つの重要な特徴は、クラスタリング係数の 分布であり、これはノードの次数が増加するにつれて減少します。この分布はべき乗則にも従います。これは、次数が低いノードが非常に密なサブグラフに属し、それらのサブグラフがハブを介して互いに接続されていることを意味します。ノードが人、リンクが人々の間の知り合い関係であるソーシャル ネットワークを考えてみましょう。人々はコミュニティ、つまり誰もがお互いを知っている小さなグループを形成する傾向があることは容易にわかります (このようなコミュニティは完全グラフ と考えることができます)。さらに、コミュニティのメンバーは、そのコミュニティ外の人々とも少数の知り合い関係を持っています。しかし、一部の人々 (有名人、政治家など) は多数のコミュニティに接続されています。これらの人々は、スモールワールド現象 の原因となるハブであると考えられます。
現在、スケールフリーネットワークのより具体的な特性は、その生成に使用される生成メカニズムによって異なります。たとえば、優先的アタッチメントによって生成されるネットワークは、通常、次数の高い頂点をネットワークの中央に配置し、それらを接続してコアを形成します。次数が低いノードは、コアと周辺部の間の領域を構成します。頂点の大部分をランダムに削除しても、ネットワーク全体の接続性にはほとんど影響がないため、このようなトポロジーはセキュリティ に役立つ可能性があります。一方、標的型攻撃は接続性を非常に迅速に破壊します。次数の高い頂点を周辺部に配置する他のスケールフリーネットワークは、これらの特性を示しません。同様に、スケールフリーネットワークのクラスタリング係数は、他のトポロジーの詳細によって大きく変化する可能性があります。
免疫 インターネットやソーシャルネットワークなどの現実的なネットワークを表すスケールフリーネットワークを効率的に免疫する方法については、これまで広く研究されてきた。そのような戦略の一つは、次数ノードを最大に免疫することである。つまり、この場合、p は標的型（意図的）攻撃に対して最も高い免疫力を持つ。c {\displaystyle c}
ランダムグラフの特性は、グラフ変換によって変化する場合もあれば、不変のままの場合もある。例えば、Mashaghi A. らは、ランダムグラフをそのエッジ双対グラフ（または線グラフ）に変換する変換によって、次数分布はほぼ同じだが、次数相関とクラスタリング係数が著しく高いグラフ群が生成されることを示した。スケールフリーグラフは、このような変換の下でもスケールフリーのままである。[ 13 ]
例 スケールフリーであることが確認されたネットワークの例としては、以下のようなものがある。
スケールフリーのトポロジーは高温超伝導体でも見つかっている。[ 18 ] [ 19 ]
生成モデル スケールフリーネットワークは偶然だけで発生するものではありません。エルデシュ とレニ（1960）は、各ステップで2つのノードが均一にランダムに選択され、それらの間にリンクが挿入されるグラフの成長モデルを研究しました。これらのランダムグラフ の特性は、スケールフリーネットワークに見られる特性とは異なるため、この成長プロセスに関するモデルが必要となります。
スケールフリーネットワークのサブセットに対する最も広く知られている生成モデルは、Barabási と Albert (1999) のrich get richer 生成モデルです。このモデルでは、新しい Web ページごとに、既存の Web ページへのリンクが、均一ではなく、現在の Web ページの入次数に比例する確率分布で作成されます。このプロセスによれば、多くの入リンクを持つページは、通常のページよりも多くの入リンクを引き付けます。これによりべき乗則が生成されますが、結果として得られるグラフは、小さな密接に接続されたコミュニティの存在など、他の特性において実際の Web グラフとは異なります。より一般的なモデルとネットワーク特性が提案され、研究されています。たとえば、Pachon ら (2018) は、 2 つの異なるアタッチメント ルール (優先アタッチメント メカニズムと、最新のノードのみに対する均一な選択) を考慮したrich get richer 生成モデルの変種を提案しました。[ 20 ] Mendes の書籍を参照してください。超線形優先アタッチメント や第2近傍アタッチメントなどのメカニズムは、一時的にスケールフリーなネットワークを生成するが、ネットワークが大きくなるにつれてべき乗則から逸脱する。[ 3 ] [ 4 ]
ペンノックら（2002）は、ウェブリンクの生成モデルとして、やや異なるモデルを提案した。彼らは、大学、上場企業、新聞社、科学者などのホームページといった特定のトピックに関心を持つコミュニティを調査し、ウェブの主要ハブは除外した。この場合、リンクの分布はべき乗則ではなく、正規分布 に似ていた。これらの観察結果に基づき、著者らは、優先的アタッチメントとリンク獲得の基本確率を組み合わせた生成モデルを提案した。
別の生成モデルは、Kumar ら[ 21 ] (2000) が研究したコピー モデルで、新しいノードが既存のノードをランダムに選択し、既存のノードのリンクの一部をコピーします。これもべき乗則を生成します。
バラバシ・アルバートモデル におけるべき乗則分布の出現を説明する主要な要素は、成長と優先的接続の2つです。[ 22 ] 。 [ 6 ]ネットワーク [ 22 ]
しかし、ネットワークの成長 （新しいノードの追加）は、スケールフリーネットワークを作成するための必要条件ではありません（Dangalchev [ 23 ]
一般化スケールフリーモデル スケールフリー複雑ネットワーク のモデリングにおいて、活発な活動が見られる。BarabásiとAlbert [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 20 ] [ 29 ]が行われている。
現代の用語では、複雑ネットワークのいずれかの指標がべき乗則分布を持つ場合、一般的にスケールフリーネットワークとみなされます。同様に、この特徴を持つモデルはすべてスケールフリーモデルと呼ばれます。[ 11 ]
特徴 多くの実際のネットワークは（ほぼ）スケールフリーであり、したがってそれらを記述するにはスケールフリーモデルが必要となる。プライスのスキームでは、スケールフリーモデルを構築するために必要な要素は2つある。
1.ノード の追加または削除。通常、私たちはネットワークの拡大、つまりノードの追加に重点を置きます。
2.優先的愛着 ：確率Π {\displaystyle \Pi }
なお、一部のモデル（Dangalchev [ 23 ]
例 スケールフリーなネットワーク特性を生成する試みはこれまで数多く行われてきました。以下にその例をいくつか示します。
2段階ネットワークモデル Dangalchev（[ 23 ]
Π （ k 私 ） = k 私 + C ∑ （ 私 、 j ） k j ∑ j k j + C ∑ j k j 2 、 {\displaystyle \Pi (k_{i})={\frac {k_{i}+C\sum _{(i,j)}k_{j}}{\sum _{j}k_{j}+C\sum _{j}k_{j}^{2}}},} ここで、C は0から1までの係数である 。
2-L モデルの変種である k2 モデルでは、第 1 次ノードと第 2 次ノードがターゲット ノードの魅力に等しく寄与し、一時的なスケールフリー ネットワークの出現を示します。[ 4 ]
階層型ネットワークモデル 階層型ネットワークモデル は、設計上、スケールフリーであり、ノードのクラスタリングが高い。[ 30 ]
反復的な 構築により、階層的なネットワークが構築されます。まず、5つのノードからなる完全接続されたクラスタから始め、各クラスタの周辺ノードを元のクラスタの中心ノードに接続する4つの同一のレプリカを作成します。これにより、25個のノードからなるネットワーク（N = 25）が得られます。同じプロセスを繰り返すことで、元のクラスタのレプリカをさらに4つ作成できます。それぞれのレプリカの4つの周辺ノードは、最初のステップで作成されたノードの中心ノードに接続されます。これによりN = 125となり、このプロセスは無限に継続できます。
フィットネスモデル この考え方は、2つの頂点間のリンクが、すべての頂点ペアに対して等しい確率pでランダムに割り当てられるのではなく、各頂点 jに対して固有の 適合度 x j i とj の間に確率で リンクが作成されます。p （ x 私 、 x j ） {\displaystyle p(x_{i},x_{j})} 31 ]世界貿易ウェブの場合 、
p （ x 私 、 x j ） = δ x 私 x j 1 + δ x 私 x j 。 {\displaystyle p(x_{i},x_{j})={\frac {\delta x_{i}x_{j}}{1+\delta x_{i}x_{j}}}.} [ 32 ]
双曲幾何グラフ ネットワークが双曲幾何学に基づいていると仮定すると、空間ネットワーク のフレームワークを使用してスケールフリーの次数分布を生成できます。この不均一な次数分布は、基礎となる双曲幾何学の負の曲率と計量特性を単純に反映します。[ 33 ]
次数相関とクラスタリング係数が低いスケールフリーグラフから始めて、エッジデュアル変換を適用することで、次数相関とクラスタリング係数がはるかに高い新しいグラフを生成できます。[ 13 ]
UPAモデルは 、優先的アタッチメントモデル（Pachonらが提案）の変種であり、2つの異なるアタッチメントルールを考慮しています。1つは、富める者がさらに富むシステムを強調する優先的アタッチメントメカニズム（確率1−p）、もう1つは、最新のノードに対する均一な選択（確率p）です。この修正は、次数分布のスケールフリー挙動の堅牢性を研究する上で興味深いものです。漸近的にべき乗則の次数分布が維持されることが解析的に証明されています。[ 20 ]
スケールフリーメトリック 理論的なレベルでは、スケールフリーの抽象的な定義に対する改良が提案されている。例えば、Liら（2005）は、より正確な「スケールフリーメトリック」を提案した。簡単に言うと、Gを辺集合 E を持つグラフとし、を頂点の次数とする。v {\displaystyle v} v {\displaystyle v} 度 （ v ） {\displaystyle \deg(v)}
s （ G ） = ∑ （ u 、 v ） ∈ E 度 （ u ） ⋅ 度 （ v ） 。 {\displaystyle s(G)=\sum _{(u,v)\in E}\deg(u)\cdot \deg(v).} これは、次数が高いノードが他の次数が高いノードに接続されている場合に最大化されます。次に定義します。
S （ G ） = s （ G ） s 最大 、 {\displaystyle S(G)={\frac {s(G)}{s_{\max }}},} ここで、s maxは、次数分布が G と同一であるすべてのグラフの集合におけるHの s ( H )の最大値です。これにより、0 から 1 の間のメトリックが得られ、S ( G )が小さいグラフG は「スケールリッチ」であり、S ( G )が1 に近いグラフG は「スケールフリー」です。この定義は、「スケールフリー」という名前に暗示されている自己相似性 の概念を捉えています。
べき乗則指数の推定 べき乗則指数の推定γ {\displaystyle \gamma } 最尤推定によって行われます。 [ 37 ] [ 38 ] [ 39 ] 理論的 [ 39 ]
すべてのネットワークがスケールフリーであるとは限らない 社会システム、生物システム、技術システムにおいてスケールフリー特性が広く見られるからといって、すべての 現実のネットワークがスケールフリーであるとは限りません。むしろ、結晶性または非晶質材料の原子間の結合を記述する材料科学に現れるネットワークのように、この特性を共有しない重要なネットワークもいくつか存在します。これらのネットワークでは、各ノードの次数は化学によって決定される同じです。また、C. elegans 線 虫の神経ネットワークや、送電線で接続された発電機とスイッチで構成される電力網は、指数関数的な次数分布を持つことが示されています。さらに、現実世界のネットワークの中には、スケールフリー性が強いものもあれば弱いものもあります。例えば、社会ネットワークは弱いスケールフリーである傾向がありますが、一部の技術ネットワークや生物ネットワークは強いスケールフリーである可能性があります。[ 40 ]
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