ゲルフォン定数

数学において、指数関数π e ^{π [1]は}ゲルフォン定数^[2]とも呼ばれ、実数eのπ乗です。

その小数展開は次のようになります。

電子^π =23.140 692 632 779 269 005 72 ... （OEISの配列A039661）

eとπ の両方と同様に、この定数は無理数かつ超越数です。これはゲルフォンド・シュナイダーの定理に従っており、この定理では、 aが代数的でゼロや1に等しくなく、bが代数的だが有理数ではないことを前提として、 a ^{b が}超越数であることが証明されています。iは虚数単位です。− i は代数的だが有理数ではないため、e π^は超越数です。数πとe ^{π は}、ユーリ・ネステレンコによって実証されたように、有理数に対して代数的に独立していることも知られています。^[3] e ^πがリウヴィル数であるかどうかはわかっていません。 ^{[4]この定数は}、ヒルベルトの第7の問題でゲルフォンド・シュナイダー定数2 ^{√ 2}とともに言及されており、「ゲルフォンドの定数」という名前はソビエトの数学者アレクサンドル・ゲルフォンドに由来しています。^[5]$${\displaystyle e^{\pi }=(e^{i\pi })^{-i}=(-1)^{-i},}$$

定数e ^{π は}超球面の体積に関連して現れます。

半径Rのn 次元球の体積は次のように表されます。ここでΓはガンマ関数です。単位球 ( R = 1 ) のみを考慮すると、次の式が得られます。任意の偶数次元 2 n 次元球は次のように表されます。すべての偶数次元単位球の体積を合計し、指数関数の級数展開を利用すると、次の式が得られます。^[6]また、次の式も得られます。 $${\displaystyle V_{n}(R)={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}},}$$$${\displaystyle V_{n}(1)={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}},}$$$${\displaystyle V_{2n}(1)={\frac {\pi ^{n}}{\Gamma (n+1)}}={\frac {\pi ^{n}}{n!}}}$$$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }V_{2n}(1)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\pi ^{n}}{n!}}=\exp(\pi )=e^{\pi }.}$$

k ₀ = ⁠ と定義すると1/√2​⁠そしてn > 0の場合には、この数列は急速にeπに収束する。 ^{[7 ]}$${\displaystyle k_{n+1}={\frac {1-{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}}}$$$${\displaystyle (4/k_{n+1})^{2^{-n}}}$$

e ^{π √ 163}という数はラマヌジャン定数として知られています。これを小数展開すると次のようになります。

π√163 =^​​​262 537 412 640 768 743 .999 999 999 999 250 072 59 ... （OEISの配列A060295）

これは驚くべきことに、整数640320 ³ + 744に非常に近い値になります。これはヒーグナー数の応用で、問題のヒーグナー数は 163 です。この数は 1859 年に数学者シャルル・エルミートによって発見されました。^{[8] 1975 年の}Scientific American誌のエイプリルフールの記事で、^[9]「数学ゲーム」コラムニストのマーティン・ガードナーは、この数は実は整数であり、インドの数学の天才シュリニヴァーサ・ラマヌジャンが予言していたというデマを流しました。ラマヌジャン定数も超越数です。

640320 ³ + 744の1 兆分の 1以内の偶然の近さは、複素乗算とj 不変量のq展開によって説明されます。具体的には、およびです。ここで、O ( e ^{- π √ 163} )は誤差項であり、これにより、e ^{π √ 163}が640320 ³ + 744より 0.000 000 000 000 75 小さいことが説明されます。 $${\displaystyle j((1+{\sqrt {-163}})/2)=(-640\,320)^{3}}$$$${\displaystyle (-640\,320)^{3}=-e^{\pi {\sqrt {163}}}+744+O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right)}$$$${\displaystyle {\displaystyle O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right)=-196\,884/e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx -196\,884/(640\,320^{3}+744)\approx -0.000\,000\,000\,000\,75}}$$

(この証明の詳細については、 Heegner数に関する記事を参照してください。)

e ^π − πという数も整数に非常に近く、その小数展開は次のようになります。

e ^π − π =19.999 099 979 189 475 767 26 ... ( OEISの配列A018938 )

この一見驚くべき偶然の説明は、2023年9月にA. Domanによってなされており、次のようにヤコビのシータ関数に関連する合計の結果です。合計の項の合計は であるため、最初の項が優勢になります。したがって、合計は に切り捨てられ、を解くと が得られます。 の近似値を書き直し、 の近似値を使用すると が得られます。したがって、項を並べ替えると が得られます。 皮肉なことに、 の大まかな近似値は、精度の桁違いの精度をもたらします。^[10]$${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left(8\pi k^{2}-2\right)e^{-\pi k^{2}}=1.}$$${\displaystyle k\geq 2}$${\displaystyle \sim 0.0003436.}$${\displaystyle \left(8\pi -2\right)e^{-\pi }\approx 1,}$${\displaystyle e^{\pi }}$${\displaystyle e^{\pi }\approx 8\pi -2.}$${\displaystyle e^{\pi }}$${\displaystyle 7\pi \approx 22}$$${\displaystyle e^{\pi }\approx \pi +7\pi -2\approx \pi +22-2=\pi +20.}$$${\displaystyle e^{\pi }-\pi \approx 20.}$${\displaystyle 7\pi }$

π ^eの小数展開は次のように表される。

${\displaystyle \pi ^{e}=}$ 22.459 157 718 361 045 473 42 ... （OEISの配列A059850）

この数が超越数であるかどうかは不明です。ゲルフォン・シュナイダーの定理により、 aとbが代数的である場合( aとbは両方とも複素数と見なされる) にのみ、 a ^bが超越数であるかどうかを明確に推論できることに注意してください。

e ^πの場合、複素指数形式の性質と、それを(-1) ^{- i}に変換してゲルフォン・シュナイダーの定理を適用できる 上記の同値性によってのみ、この数が超越数であることを証明できます。

π ^{e には}そのような同値性はなく、したがってπとe は両方とも超越数であるため、ゲルフォン＝シュナイダーの定理を使ってπ ^eの超越性についての結論を導くことはできないしかし、現在証明されていないシャヌエルの予想は、その超越性を示唆するだろう。 ^[11]

複素対数の主値を使用すると、の小数展開は次のように表されます。 $${\displaystyle i^{i}=(e^{i\pi /2})^{i}=e^{-\pi /2}=(e^{\pi })^{-1/2}}$$

${\displaystyle i^{i}=}$ 0.207 879 576 350 761 908 54 ... （OEISの配列A049006）

その超越性はe ^πの超越性から直接生じます。

• 超越数
• 超越数論、超越数に関する問題の研究
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• ゲルフォン・シュナイダー定数

• アラン・ベイカーとギスベルト・ヴュストホルツ、「対数形式とディオファントス幾何学」、新数学モノグラフ9、ケンブリッジ大学出版局、2007 年、ISBN 978-0-521-88268-2 

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