数学の未来

数学の性質と個々の数学の問題の将来への進展は、広く議論されているトピックです。現代数学に関する過去の予測の多くは見当違いであったり完全に間違っていたりしたため、今日の多くの予測が同様の道をたどると考えられる理由があります。しかし、この主題は依然として重要な重みを持ち、多くの著名な数学者によって執筆されてきました。通常、彼らは、特定の問題に努力を向けるための研究課題を設定したいという願望、またはサブ分野が数学の一般的な分野とその可能性にどのように関係しているかを明確化、更新、および推定したいという願望によって動機付けられています。特定の分野での将来の進歩を推進する歴史的および最近の課題の例には、 フェリックス・クラインのエアランゲン・プログラム、ヒルベルトの問題、ラングランズ・プログラム、およびミレニアム懸賞問題が含まれます。数学主題分類セクション 01Axx 数学と数学者の歴史では、サブセクション 01A67 のタイトルは「将来の展望」です。

数学に関する予測の精度は大きく異なり、テクノロジーの予測と非常に近いところまで進んでいます。^[1] そのため、以下の研究者による予測の多くは誤っていたり、真実ではないことが判明したりする可能性があることに留意することが重要です。

1908年にアンリ・ポアンカレが書いた文章（英訳）によると、「数学の未来を予測する真の方法は、数学の歴史と現状を研究することにある」 ^[2] 。 歴史的アプローチは、以前の予測を研究し、それを現在の最先端技術と比較して予測がどのように行われたかを確認すること、例えばヒルベルトの問題の進展を監視することから成り立つ。^{[3]しかし、数学自体の主題調査は現在では問題を抱えている。主題の拡大そのものが}数学的知識管理の問題を引き起こしているのだ。

技術の発展は多くの予測の結果にも大きな影響を与えています。技術の未来は不確実なため、数学の未来にもかなりの不確実性が生じます。^[1]また、これによって、将来の技術に関する予測が成功すると、数学の予測も成功する可能性があるということです。

政府やその他の資金提供団体による研究への支援を考えると、将来への懸念は資金配分の理論的根拠の一部を形成します。^[4] 数学教育では、職場の数学的要件に起こっている変化も考慮する必要があります。コースの設計は、現在および将来の可能性のある数学の応用分野の両方によって影響されます。^[5] László Lovász は、数学の動向：教育をどのように変えることができるか？^[6]で、数学コミュニティと数学研究活動がどのように成長しているかを説明し、これが物事のやり方の変化を意味すると述べています。組織が大きくなるほど、諸経費（調整とコミュニケーション）に費やすリソースが増えます。数学では、これは調査と説明文の執筆に費やす時間が増えることを意味します。

スティーブン・G・クランツは「証明はプディングの中に。数学的証明の変化する性質について」の中で次のように書いている。^[7]「「エンジニア」と「数学者」と「物理学者」の間の区別がますます曖昧になっていることはますます明らかになっている。100年後には、私たちはもはや数学者という呼称ではなく、数学科学者と呼ぶようになるだろう。大学レベルで「数学科」という概念が「数学科学部門」に取って代わられたとしても、まったく驚くには当たらないだろう。」

実験数学は、コンピュータを使用して大規模なデータセットを生成し、その中でパターンの発見を自動化し、それが推測や最終的には新しい理論の基礎を形成するものです。論文「実験数学：最近の発展と将来の展望」^[8]では、コンピュータ機能の予想される向上について説明しています。速度とメモリ容量の点でハードウェアの改善、アルゴリズムの洗練度の向上の点でソフトウェアの改善、より高度な視覚化機能、数値的方法と記号的方法の混合などです。

ドロン・ツァイルバーガーは、コンピューターが非常に強力になり、数学の主な問題が物事の証明から、それにどれだけの費用がかかるかを判断することに変わる時代について次のように考えている。「より広いクラスの恒等式、そしておそらく他の種類の定理のクラスでさえも、日常的に証明できるようになると、証明（または反証）の見つけ方がわかっている多くの結果を目にすることになるかもしれないが、そのような証明を見つけるためにお金を払うことはできない、あるいは払いたくないだろう。なぜなら、「ほぼ確実性」ははるかに安く買えるからだ。2100年頃の論文の要約を思い描くと、「ある正確な意味で、ゴールドバッハ予想が0.99999よりも大きな確率で真であること、そしてその完全な真実性は100億ドルの予算で決定できることを示す」と書かれている。」^[9]ツァイルバーガーの予測に強く反対する人もいる。例えば、それは挑発的で全く間違っていると評されているが^[10]、一方で、どの定理が資金提供に値するほど興味深いかを選択することは、資金提供機関がどの研究分野に投資するかを決定した結果としてすでに行われているとも言われている。

「大まかな構造と分類」^[11]で、 ティモシー・ガワーズは3つの段階について書いている。1)現時点ではコンピュータは退屈な計算をする奴隷に過ぎない。2)間もなく数学的概念と証明方法のデータベースにより、コンピュータが定理の証明に非常に役立つが脅威ではない中間段階に至る。3)1世紀以内に、コンピュータは定理の証明において人間よりも優れている。

テレンス・タオ氏とアレッシオ・フィガッリ氏（ともにフィールズ賞受賞者）は、ガワーズ氏の発言、特に「脅威」に関する発言に同意していない。

数学の分野によって予測は大きく異なります。たとえば、数学のすべての分野はコンピュータによって変化すると考えられていますが、^[1]一部の分野では人間の業績向上を支援する技術の使用から恩恵を受けると考えられていますが、他の分野ではコンピュータが人間に完全に取って代わると予測されています。

2001年、ピーター・キャメロンは「第三千年紀を迎える組合せ論」^{[12]の中で、}組合せ論の将来についての予測をまとめています。

現在の傾向と将来の方向性について、少し光を当てたいと思います。私は原因を 4 つのグループに分けました。コンピューターの影響、組み合わせ論の高度化、数学の他の分野との結びつきの強化、そして社会の幅広い変化です。しかし、明らかなのは、組み合わせ論は今後も正式な仕様の試みから逃れ続けるだろうということです。

ベーラ・ボロバスは次のように書いている。「ヒルベルトは、問題がたくさんある場合にのみ、その学問は生き生きしていると言ったと思う。まさにこれが、組合せ論を非常に生き生きとさせている。組合せ論が100年後も存在するであろうことに私は疑いの余地はない。それは完全に異なる学問となるだろうが、依然として非常に多くの問題を抱えているからこそ、依然として繁栄するであろう」^{[13] 。}

2000年には、「21世紀の数理論理学の展望」^[14]で、集合論、コンピュータサイエンスにおける数理論理学、証明理論などを含む数理論理学が議論されました。

2000年にロイド・N・トレフェセンは「50年後の科学計算の予測」^[15]を執筆し、 「人間はループから外される」というテーマで結論づけ、2008年にプリンストン数学コンパニオンで、2050年までにほとんどの数値プログラムは99%がインテリジェントラッパーでアルゴリズムは1%のみになると予測し、線形問題と非線形問題、順方向問題（1ステップ）と逆問題（反復）の区別、代数問題と解析問題の区別は、必要に応じてアルゴリズムを組み合わせ、組み合わせる適応型インテリジェントシステム内の反復法によってすべてが解決されるようになると予測した。^[16]

1998年、ミハイル・グロモフは「今後数十年間の数学の可能性のある傾向」^[17]の中で、個々のデータポイント間に構造が欠けているときにガウスの法則などのグローバル構造が現れる場合には従来の確率論が適用されるが、今日の問題の一つは古典的な確率論が適用されない構造化されたデータを分析する方法を開発することであると述べています。そのような方法には、ウェーブレット解析、高次元法、逆散乱の進歩が含まれる可能性があります。

制御理論における大きな課題のリストは、「制御、ダイナミクス、システムの将来の方向性：概要、大きな課題、そして新しい方向性」に概説されています。^[18]

数理生物学は、21世紀初頭に最も急速に発展した数学の分野の一つです。「数学は生物学の次の顕微鏡であり、さらに優れたものであり、生物学は数学の次の物理学であり、さらに優れたものである」^[19]は、ジョエル・E・コーエンによるエッセイです。

数理物理学は膨大かつ多様な分野です。将来の研究の方向性については、「数理物理学の新しい動向：第15回国際数理物理学会議の抜粋」 ^[20]でいくつかの示唆が示されています。

• 数学の未解決問題の一覧

• 数学の未来、アンドレ・ヴェイユ、1950年
• 数学：フロンティアと展望、VI アーノルド、M. アティヤ、B. マズール、AMS 書店、2000 年、ISBN 978-0-8218-2697-3 
• Visions in Mathematics、編集者 N. アロン、J. ブルゲイン、A. コンネス、M グロモフ、V. ミルマン、Springer、2010 年、ISBN 978-3-0346-0421-5 
• 数学の将来についての考察、フェリックス・ブラウダー、2002年6月/7月、AMSの通知
• アンリの水晶玉、フィリップ・J・デイビスとデイビッド・マンフォード、2008年4月、AMSの通知
• 現代数学の本質と成長、エドナ・アーネスティン・クレイマー、プリンストン大学出版、1982年、ISBN 978-0-691-02372-4 
• 応用数学の現在と将来の方向性、編集者：マーク・アルバー、ベイ・フー、ヨアヒム・ローゼンタール、ビルクハウザー、1997年、ISBN 978-0-8176-3956-3 
• 数学無制限：2001年以降、編集者ビョルン・エンクイスト、ウィルフリード・シュミット、シュプリンガー、2001年、ISBN 978-3-540-66913-5 

• Math 2.0 は、数学出版の将来に関連するあらゆるトピックを扱うフォーラムです。
• ジャーナルの域を超え、論文の域を超え、定理の域を超え、フェリックス・ブロイヤー、2012年2月27日