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これは、フーリエ解析に関連する関数の線形変換 の一覧です。このような変換は、関数を基底関数の係数のセットにマッピングします。ここで、基底関数は正弦波であるため、周波数スペクトルに強く局在します。(これらの変換は、通常、可逆になるように設計されています。) フーリエ変換の場合、各基底関数は単一の周波数成分に対応します。
連続変換
連続引数の関数に適用すると、フーリエ関連の変換には次のものが含まれます。
- 両側ラプラス変換
- メリン変換、もう一つの密接に関連する積分変換
- ラプラス変換：フーリエ変換は、両側ラプラス変換の虚軸の特殊なケースと考えることができる。
- フーリエ変換、特殊なケース：
- フーリエ級数
- 入力関数/波形が周期的である場合、フーリエ変換出力は、一般に複素数値である有限値係数の離散シーケンスによって変調されたディラック櫛形関数です。これらは、フーリエ級数係数と呼ばれます。フーリエ級数という用語は、実際には逆フーリエ変換を指し、これは、フーリエ級数係数によって重み付けされた離散周波数での正弦波の合計です。
- 入力関数の非ゼロ部分が有限の持続時間を持つ場合、フーリエ変換は連続的で有限値になります。しかし、その値の離散的なサブセットは、分析された部分を再構築/表現するのに十分です。同じ離散セットは、セグメントの持続時間を周期関数の 1 周期として扱い、フーリエ級数係数を計算することによって得られます。
- 正弦変換と余弦変換:
- 入力関数が原点を中心に奇対称または偶対称である場合、フーリエ変換はそれぞれ正弦変換または余弦変換になります。関数は奇関数と偶関数に一意に分解できるため、それぞれの正弦変換と余弦変換を追加して関数を表現できます。
- フーリエ変換は、コサイン変換とサイン変換の積として表すことができます。
- フーリエ級数
- ハートレー変換
- 短時間フーリエ変換（または短期フーリエ変換）（STFT）
- チャープレット変換
- 分数フーリエ変換(FRFT)
- ハンケル変換: ラジアル関数のフーリエ変換に関連します。
- フーリエ・ブラザーズ・イアゴルニッツァー変換
- 線形正準変換
離散変換
コンピュータ、数論、代数学での使用では、離散引数（一連の離散サンプルの関数など）の方が適切な場合が多く、変換によって処理されます（上記の連続ケースと同様）。
- 離散時間フーリエ変換(DTFT) :サンプル値を使用してディラック コームを変調することにより離散入力関数から構築される「連続」関数のフーリエ変換に相当します。サンプル値が実数直線 ƒ( x ) 上の関数をサンプリングすることによって導出されるとき、DTFT はƒのフーリエ変換の周期的な合計に相当します。DTFT 出力は常に周期的(巡回的) です。別の見方では、DTFT は1 サイクルの長さで
制限された (または有限の)周波数領域への変換です。
- 離散フーリエ変換（DFT）：
- 入力シーケンスが周期的である場合、DTFT出力もディラック櫛形関数であり、フーリエ級数[1]の係数によって変調され、入力シーケンスの1サイクルのDFTとして計算できます。DFTの1サイクル内の離散値の数は、入力シーケンスの1サイクルと同じです。
- 入力シーケンスの非ゼロ部分が有限の持続時間を持つ場合、DTFT は連続的で有限値になります。しかし、その値の離散サブセットは、分析された部分を再構築/表現するのに十分です。同じ離散セットは、セグメントの持続時間を周期関数の 1 サイクルとして扱い、DFT を計算することによって取得されます。
- 離散正弦変換と離散余弦変換: 入力シーケンスが原点を中心に奇数または偶数の対称性を持つ場合、DTFT は離散正弦変換(DST) または離散余弦変換(DCT) に縮小されます。
- 周期が事前に固定されているのではなく、データによって決定される回帰離散フーリエ級数。
- 離散チェビシェフ変換(第 1 種チェビシェフ多項式の「根」グリッドと「極値」グリッド上)。この変換は、グリッド ポイント値からチェビシェフ級数係数に迅速かつ効率的に移行できるため、微分方程式を解くスペクトル法の分野で非常に重要です。
- 離散フーリエ変換（DFT）：
- 一般化 DFT (GDFT) は、DFT と定数モジュラス変換の一般化であり、位相関数は整数値と実数値の傾斜を持つ線形になる場合もあれば、非線形位相になる場合もあるため、自己相関や相互相関などのさまざまなメトリックの最適設計に柔軟性をもたらします。
- 離散空間フーリエ変換 (DSFT) は、1D 信号から 2D 信号への DTFT の一般化です。最も一般的な用途は、入力関数の引数が空間座標の等間隔のサンプルであるイメージングと画像処理であるため、「離散時間」ではなく「離散空間」と呼ばれます。DSFT出力は、 両方の変数で周期的です。
- Z変換、DTFTを複素平面全体に一般化したもの
- 修正離散コサイン変換(MDCT)
- 離散ハートレー変換(DHT)
- また、離散化された STFT (上記参照)。
- アダマール変換（ウォルシュ関数）。
- 有限群上のフーリエ変換。
- 離散フーリエ変換（一般）
これらすべての変換の使用は、高速フーリエ変換(FFT) に基づく効率的なアルゴリズムの存在によって大幅に容易になります。ナイキスト-シャノンのサンプリング定理は、このような離散変換の出力を理解する上で重要です。
参照
注記
- ^ フーリエ級数は、T がサンプル間の間隔を表します。
参考文献
- AD ポリアニンと AV マンジロフ、積分方程式ハンドブック、CRC プレス、ボカラトン、1998 年。ISBN 0-8493-2876-4
- EqWorld: 数式の世界における積分変換の表。
- AN Akansu および H. Agirman-Tosun、「非線形位相による一般化離散フーリエ変換」、IEEE Transactions on Signal Processing、vol. 58、no. 9、pp. 4547-4556、2010 年 9 月。