財務相関

スティーブン・ヘストンは相関アプローチ^{[ 5 ]}を適用して、確率的株式リターンの負の相関関係を調べた。$\displaystyle {\frac {dS(t)}{S(t)}}}$確率的変動性${\displaystyle \ \sigma (t)}$オリジナルのヘストンモデルの中核となる方程式は、 2つの確率微分方程式（SDE）である。

${\displaystyle {\frac {dS(t)}{S(t)}}=\mu \,dt+\sigma (t)\,dz_{1}(t)}$（１）

そして

${\displaystyle d\sigma ^{2}(t)=g[\sigma _{L}^{2}-\sigma ^{2}(t)]\,dt+\xi \sigma (t)\,dz_{2}(t)}$（２）

ここでSは原資産株であり、${\displaystyle \ \mu }$の予想成長率は${\displaystyle S}$、 そして${\displaystyle \ \sigma (t)}$確率的変動性とは${\displaystyle S}$時刻 t において。式 (2) では、g は平均回帰率 (重力) であり、分散を引き寄せます。$\displaystyle \ \sigma ^{2}(t)$長期平均に対して$\displaystyle \sigma _{L}^{2}}$、 そして${\displaystyle \ \xi }$はボラティリティ σ(t) のボラティリティです。dz(t) は標準ブラウン運動です。${\displaystyle dz(t)=\varepsilon _{t}{\sqrt {dt}}}$、${\displaystyle \ \varepsilon _{t}}$特にiidである${\displaystyle \varepsilon _{t}}$は標準正規分布 n~(0,1) からのランダム抽出です。式 (1) では、基礎となる${\displaystyle S}$これは標準的な幾何ブラウン運動に従うが、これはブラック・ショールズ・マートンモデルにも適用されている。ただし、ブラック・ショールズ・マートンモデルは一定のボラティリティを仮定している。確率過程（1）と（2）の間の相関は、2つのブラウン運動を相関させることによって導入される。$dz_1$そして$dz_2$瞬間相関${\displaystyle \ \rho }$ブラウン運動の間には

${\displaystyle \operatorname {Corr} [dz_{1}(t),dz_{2}(t)]=\rho \,dt}$（３）

定義（３）は、次の恒等式を用いて都合よくモデル化できる。

${\displaystyle dz_{1}(t)={\sqrt {\rho }}dz_{2}(t)+{\sqrt {1-\rho }}\,dz_{3}(t)}$（４）

どこ$dz_2(t)$そして$dz_3(t)$独立しており、${\displaystyle dz(t)}$そして${\displaystyle dz(t')}$t ≠ t' は独立である。

もう一つの金融相関尺度として、主にデフォルト相関に適用されるのが、ルーカス（1995）の二項相関アプローチである。^{[ 6 ]}二項事象を定義する${\displaystyle 1_{X}=1_{\{\tau _{X}\leq T\}}}$そして${\displaystyle 1_{Y}=1_{\{\tau _{Y}\leq T\}}}$どこ$\displaystyle \tau _{X}}$エンティティのデフォルト時刻です${\displaystyle X}$そして$\displaystyle \tau _{Y}}$エンティティのデフォルト時刻です${\displaystyle Y}$したがって、エンティティ${\displaystyle X}$デフォルト設定は、その前またはその時点で行われます。${\displaystyle T}$ランダム指標変数${\displaystyle 1_{X}}$1 の場合は値を取り、それ以外の場合は 0 を取ります。${\displaystyle Y}$。 さらに、${\displaystyle P(X)}$そして${\displaystyle P(Y)}$デフォルトの確率は${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$それぞれ、${\displaystyle P(XY)}$は、デフォルトの同時確率です。1回の試行による二項事象の標準偏差は${\displaystyle {\sqrt {P(X)-(P(X))^{2}}}}$ここで、Pは結果Xの確率である。したがって、二項事象の同時デフォルト依存係数を導出する。${\displaystyle 1_{\{\tau _{X}\leq T\}}}$そして${\displaystyle 1_{\{\tau _{Y}\leq T\}}}$として

${\displaystyle \rho (1_{\{\tau _{X}\leq T\}},1_{\{\tau _{Y}\leq T\}})={\frac {P(XY)-P(X)P(Y)}{{\sqrt {P(X)-(P(X))^{2}}}{\sqrt {P(Y)-(P(Y))^{2}}}}}}$（５）

式（5）は、その構成上、デフォルトと非デフォルトといった二項事象のみをモデル化できます。式（5）の二項相関アプローチは、第1節で説明したピアソン相関アプローチの極限ケースです。したがって、金融モデリングにおけるピアソン相関アプローチの重大な欠点は、二項相関モデルにも当てはまります。

コピュラと2008年の金融危機

コピュラアプローチを悪者扱いし、 2008年の金融危機の原因だと非難する非学術的な記事が数多く書かれており、例えば Salmon 2009 ^{[ 11 ]} 、 Jones 2009 ^{[ 12 ]}、Lohr 2009 ^{[ 13 ]}を参照のこと。コピュラアプローチに対する主な批判は 3 つある。(a) テール依存性、(b) キャリブレーション、(c) リスク管理。

（a）末尾依存性

危機時には、金融相関は通常増加します。Das、Duffie、Kapadia、Saita (2007) ^{[ 14 ]}および Duffie、Eckner、Horel、Saita (2009) ^{[ 15 ]}の研究、およびそれらの参考文献を参照してください。したがって、結合分布の下側テールで高い共変動を持つ相関モデルを適用することが望ましいでしょう。次の散布図に示すように、ガウスコピュラは比較的テール依存性が低いことが数学的に示せます。

図1：異なるコピュラモデルの散布図

図1bに示すように、スチューデントtコピュラは裾依存性が高く、金融相関のモデリングに適している可能性があります。また、図1(c)に示すように、ガンベルコピュラは特に負の共変動において裾依存性が高いことがわかります。資産価格が下落すると相関が増加すると仮定すると、ガンベルコピュラも金融モデリングにおける相関アプローチとして適している可能性があります。^{[ 16 ]}

（b）校正

ガウス型コピュラに対するもう一つの批判は、市場価格に合わせて較正するのが難しいという点です。実際には、通常、単一の相関パラメータ（相関行列ではない）を使用して、担保付債務証券（CDO）内の任意の2つのエンティティ間のデフォルト相関をモデル化します。概念的には、この相関パラメータはCDOポートフォリオ全体で同じであるべきです。しかし、トレーダーは、望ましいトランシェスプレッドを得るために、異なるトランシェの相関パラメータをランダムに変更します。トレーダーは、エクイティトランシェやシニアトランシェなどの「極端な」トランシェの相関を高めます。これは相関スマイルと呼ばれます。これは、ブラック・ショールズ・マートンモデルでよく引用されるインプライドボラティリティスマイルに似ています。ここでは、トレーダーは、特にアウトオブザマネーのプットオプション、そしてアウトオブザマネーのコールオプションのインプライドボラティリティを高めて、オプション価格を上げます。

平均分散最適化フレームワークでは、分散共分散行列の正確な推定が極めて重要です。そのため、ガウスコピュラと適切に指定された周辺分布を用いたモンテカルロシミュレーションによる予測が有効です。^{[ 17 ]}自己回帰、非対称ボラティリティ、歪度、尖度などの株式リターンの経験的特性をモデリングプロセスで考慮できるようにすることが重要です。これらの属性を考慮しないと、負のバイアスを持つ相関と分散に深刻な推定誤差が生じます（真の値の最大70%）。^{[ 18 ]}

（c）リスク管理

コピュラアプローチに対するさらなる批判は、コピュラモデルが静的であるため、リスク管理が限定的であるという点である（Finger (2009) ^{[ 19 ]}または Donnelly and Embrechts (2010) ^{[ 20 ]}を参照）。Vasicek (1987) および Li (2000) のオリジナルのコピュラモデル、および Hull and White (2004) ^{[ 21 ]}や Gregory and Laurent (2004) ^{[ 22 ]}などのモデルのいくつかの拡張は、 1 期間の時間軸を持つ、つまり静的である。特に、重要な基礎変数であるデフォルト強度とデフォルト相関には確率過程がない。しかし、これらの初期のコピュラ定式化においても、異なる時間軸での変数のバックテストとストレステストによって貴重な感度が得られる（Whetten and Adelson (2004) ^{[ 23 ]}および Meissner, Hector, and. Rasmussen (2008) を参照）。^{[ 24 ]} さらに、Hull、Predescu、および White (2005) のように、コピュラ変数を時間の関数にすることもできます。^{[ 25 ]}これだけでは、柔軟なヘッジングとリスク管理を可能にする、ドリフトとノイズのある完全な動的確率プロセスは作成されません。最良のソリューションは、真に動的なコピュラフレームワークです。以下の「動的コピュラ」のセクションを参照してください。

ポートフォリオ内の各エンティティペア間のデフォルト相関を指定することを避けるために、因子分解がしばしば適用されます。これにより、条件付き独立デフォルト（CID）モデリングが実現します。最も広く適用されているCIDモデルは、1因子ガウスコピュラ（OFGC）モデルです。これは、2008年の金融危機以前は、CDOの価格設定における事実上の市場モデルでした。OFGCモデルのコア方程式は以下のとおりです。

${\displaystyle x_{i}={\sqrt {\rho }}M+{\sqrt {1-\rho }}Z_{i}}$（１０）

どこ${\displaystyle M}$そして${\displaystyle Z_{i}}$ランダムな描画${\displaystyle N(0,1)}$そして${\displaystyle 0\leq \rho \leq 1}$結果として、潜在変数${\displaystyle x_{i}}$は、i の資産価値として解釈されることもあります。Turc、Very、Benhamou、Alvarez ら (2005) を参照してください。^{[ 29 ]}は n~(0,1) でもあります。共通因子${\displaystyle M}$これは経済環境、おそらくはS&P500指数の回復によって表されるものと解釈できる。${\displaystyle Z_{i}}$は、エンティティ i の固有の要素、つまり「強さ」であり、エンティティ i の株価収益率によって測定される可能性があります。式 (10) から、エンティティ i 間の相関は、潜在変数を条件付けることによって間接的にモデル化されていることがわかります。${\displaystyle x_{i}}$共通要因について${\displaystyle M}$例えば、p = 1 の場合、すべてのエンティティの潜在変数は${\displaystyle i=1,...,n,\ x_{i}=M}$なので、${\displaystyle x_{i}}$各シミュレーションで同一です。p = 0 の場合、すべてのエンティティのすべての潜在変数${\displaystyle i=1,\ldots ,n,\ x_{i}=Z_{i}}$したがって${\displaystyle x_{i}}$これらは独立している。重要なのは、Mの値を固定すれば、n個のエンティティのデフォルト値は（Mを条件として）互いに独立しているということである。

2010年現在、OFGCはバーゼルIIにおける信用リスク管理の基礎となっている。このモデルの利点は、シンプルさと直感性にある。モデルの主な欠点の1つは、トレーダーがCDOの価格設定時に、望ましいトランシェスプレッドを実現するために、異なるCDOトランシェの相関パラメータをランダムに変更してしまうことである。しかし、概念的には、相関パラメータはポートフォリオ全体で同一であるべきである。

伝染デフォルトモデリングは、CIDモデリングの変形と見なすことができます。セクション2.3で説明したように、CIDフレームワークでは、相関は共通の市場要因Mに基づいてモデル化され、Mはすべてのエンティティに同じ程度で影響を与えます。Mのランダム抽出値が低いほど、すべてのエンティティのデフォルト強度は高くなります（ρ = 0の場合を除く）。したがって、CIDモデリングはデフォルトのクラスタリングを明らかにすることができます。対照的に、伝染アプローチでは、あるエンティティのデフォルト強度を別のエンティティのデフォルトの関数としてモデル化します。したがって、伝染デフォルトモデリングは、カウンターパーティリスク、つまりデフォルトしたエンティティが別のエンティティのデフォルト強度に直接与える影響を組み込んでいます。特に、特定のエンティティがデフォルトした後、ポートフォリオ内のすべての資産のデフォルト強度が増加します。このデフォルト伝染は、通常、指数関数的に減衰して非伝染性のデフォルト強度レベルになります。伝染デフォルトモデリングの先駆者であるDavisとLo（2001）^{[ 30 ]}およびJarrowとYu（2001）^{[ 31 ]}の論文を参照してください。