ウェーバー問題

幾何学において、アルフレッド・ウェーバーにちなんで名付けられたウェーバー問題は、立地理論における最も有名な問題の 1 つです。この問題では、平面上の 1 点を見つけ、この点からn 個の目的地点までの輸送コストの合計を最小化する必要があり、目的地点が異なれば単位距離あたりのコストも異なります。

ウェーバー問題は、単位距離あたりの輸送コストがすべての目的地点で同じであると仮定する幾何中央値と、3 点の幾何中央値であるフェルマー点 を計算する問題を一般化したものです。このため、フェルマー-ウェーバー問題と呼ばれることもありますが、同じ名前が重み付けされていない幾何中央値問題にも使用されています。ウェーバー問題は、引力-反発力問題によって一般化されます。引力-反発力問題では、コストの一部が負になることが許容されるため、一部の点からの距離が長いほど良いことになります。

三角形の場合、フェルマーの問題は、点D を3 つの点A、B、Cに関して、Dと他の 3 つの点との距離の合計が最小になるように配置することです。これは、1640 年以前に有名なフランスの数学者ピエール ド フェルマーによって定式化され、配置理論と空間経済の真の始まりと見ることができます。トリチェリは 1645 年頃にこの問題の幾何学的解を見つけましたが、325 年以上経っても直接的な数値解は得られませんでした。E. ワイスフェルドは 1937 年にフェルマー-ウェーバー問題のアルゴリズムを論文で発表しました。この論文は東北数学誌に掲載され、ワイスフェルドは米国に移住して名前をヴァゾーニに変更したため、彼の研究は広く知られることはありませんでした。^[1]クーンとクエンネ^[2]は1962年に独立して一般フェルマー問題に対する同様の反復解法を発見し、1972年にテリエ^[3]は 三角法によるフェルマーの三角形問題に対する直接数値解法を発見した。クーンとクエンネの解法は3辺以上の多角形に適用できるが、テリエの解法は後述する理由により適用できない。

ウェーバー問題は、三角形の場合、点D を3 つの点A、B、Cに関して、Dと他の 3 つの点の間の輸送コストの合計が最小になるように配置することです。ウェーバー問題はフェルマー問題の一般化であり、フェルマー問題は等しい引力のみを扱うのに対し、等しい引力と等しくない引力の両方を扱います (以下を参照)。この問題は、1750 年にトーマス シンプソンによって初めて定式化され、三角形の場合に幾何学的に解決されました。 ^[4]その後、 1909 年にアルフレッド ウェーバーによって普及しました。 ^[5] 1962 年に見つかったクーンおよびクエンの反復解と 1972 年に見つかったテリエの解は、フェルマーの三角形問題だけでなくウェーバーの三角形問題にも適用されます。クーンおよびクエンの解は、4 辺以上の多角形の場合にも適用されます。

最も単純なバージョンでは、引力-反発問題は、点 A 1 、 A 2 、 R の 3 つの点によって及ぼされる引力と点 R によって及ぼされる反発力が互いに打ち消し合うように点 D を配置することです。_これは、_{フェルマー}問題とウェーバー問題の一般_化を構成します。これは、1985 年にリュック-ノルマン テリエによって三角形の場合に初めて定式化され、解決されました_。 [ 6 ] ¹⁹⁹²年に、チェン、ハンセン、ジャマール、トゥイは、4 辺以上の多角形の場合のテリエ問題の解法を見つけました。

エヴァンジェリスタ・トリチェリによるフェルマーの三角形の問題の幾何学的解決は、次の 2 つの観察から生まれました。

1. 点D は、その位置から大きく移動することで参照点A、B、Cまでの合計距離が正味で増加する場合に最適な位置にあります。つまり、最適点は、3 つの参照点のうちの 1 つに向かう微小な移動によってその点までの距離が短縮され、その短縮幅が他の 2 つの点までの距離の減少幅の合計に等しい唯一の点です。実際、フェルマー問題では、点Aからの距離を 1 キロメートル短縮する利点は、点Bからの距離を 1 キロメートル短縮する利点、または点Cからの距離を同じ長さ短縮する利点に等しくなります。言い換えると、点Dに配置されるアクティビティは、点 A、B、Cによって等しく引き付けられます。
2. ユークリッド幾何学の重要な定理によれば、円に内接する凸四辺形では、反対角は補角です（つまり、それらの合計は 180° に等しい）。この定理は、次のようにも表すことができます。円を弦ABで切ると、 2 つの円弧、たとえばAiB、AjBが得られます。円弧AiB上では、任意の∠ AiB角は任意の点iに対して同じであり、円弧AjB上では、任意の点jに対してすべての∠ AjB角も等しくなります。さらに、∠ AiB、 ∠ AjB角は補角です。

最初の観察から、最適条件では、 AD、BD、CD の直線間の角度は360° / 3 = 120° に等しくなければならないことが証明できます。トリチェリはその結論から次のように推論しました。

1. ∠ ADB角が 120° に等しい任意の三角形△ ABD が円に内接する ABDE 凸四辺形を生成する場合、△ ABE三角形の∠ ABE 角は( 180 ° − 120°) = 60° に等しくなければなりません。
2. ∠ ADB角が 120° に等しい D の位置の集合を決定する 1 つの方法は、E が △ ABC 三角形の外側にある正三角形 △ ABE を描き(正三角形の各角度は60 °に等しいため)、その三角形の周りに円を描くことです。すると、△ ABC円内にあるその円​​周上のすべてのD'点は、 ∠ AD'B角が 120° に等しくなります。
3. 三角形△ ACD、△ BCDについても同様のことが言えます。
4. これにより、△ ABC三角形の外側にF、G を配置した2 つの正三角形△ ACF、△ BCG を描き、これらの正三角形の周りに他の 2 つの円を描き、3 つの円が交差する位置を決定します。その位置では、 AD、BD、CD の直線間の角度は必ず 120° に等しくなり、これが最適な位置であることが証明されます。

いわゆる「ウェーバーの三角形問題」（ 1750 年にトーマス シンプソンが初めて定式化した）に対するシンプソンの幾何学的解は、トリチェリの解から直接導かれたものです。シンプソンとウェーバーは、総輸送最小化問題では、各アトラクション ポイントA、B、Cに近づく利点は、運ぶものとその輸送コストによって決まるという事実を強調しました。その結果、 A、B、Cに 1 キロメートル近づく利点は変化し、∠ ADB、∠ ADC、∠ BDC の角度が 120° に等しい必要はなくなりました。

シンプソンは、フェルマーの三角形の問題の場合、3つの引力が等しいため、構築された三角形△ ABE、△ ACF、△ BCG は正三角形であるのと同様に、ウェーバーの三角形の問題の場合、 E、F、Gが△ ABC三角形の外側に位置する構築された三角形△ ABE、△ ACF、△ BCGは、位置システムの引力に比例する必要があることを実証しました。

解決策は次のようになります。

1. 構築された三角形△ ABEにおいて、AB辺は_{Cに向かう引力wC}に比例し、AE辺は_{Bに向かう引力wB}に比例し、 BE辺は_Aに向かう引力wAに比例する。
2. 構築された三角形△ BCGにおいて、BC辺はA_{に向かう引力wA}に比例し、BG辺はBに向かう引力wCに比例し、 CG辺は_Cに向かう引力wBに比例_する。
3. 最適点Dは△ ABE、△ BCGで構成された三角形の周りに描かれた2つの円周の交点に位置します。

3 番目の力の三角形△ ACF （ F は三角形△ ABC の外側に位置します）は、 AC辺に基づいて描くことができ、その三角形の周囲に 3 番目の円周を描くことができます。 この 3 番目の円周は、同じ点Dで前の 2 つの円周と交差します。

引力-反発力三角形問題には幾何学的解法が存在する。その発見は比較的最近のことである。^[7] この幾何学的解法は、前の 2 つの解法とは異なり、この場合、構築された 2 つの力の三角形が△ A ₁ A ₂ R位置三角形 (ここで、A ₁とA ₂は引力点、Rは反発点) と重なり合うが、前の場合には重なり合うことはなかった。

このソリューションは次のようになります。

1. △ A ₁ A ₂ R の位置三角形と部分的に重なる構築された三角形△ RA ₂ Hでは、 RA _2側はA ₁に向かう引力w _{A 1}に比例し、RH側はA ₂に向かう引力w _{A 2}に比例し、A ₂ H側は点Rから離れる方向に押す反発力w _Rに比例します。
2. △ A ₁ A ₂ R位置三角形と部分的に重なる構築された三角形△ RA ₁ Iでは、 RA _1側はA ₂に向かう引力w _{A 2}に比例し、RI側はA ₁に向かう引力w _{A 1}に比例し、A ₁ I側は点Rから離れる方向に押す反発力w _Rに比例します。
3. 最適点Dは、△RA2Hと△RA1Iで_作られた三角形の周りに_描かれた2つの円周の交点にあります。

この解決策は、力の 1 つが他の 2 つの力の合計よりも大きい場合、または角度が適合しない場合には役に立ちません。場合によっては、どの力も他の 2 つの力よりも大きくなく、角度も適合しません。その場合、最適な位置は、より大きな引力を発揮する点にあります。

フェルマーの三角形の問題が初めて定式化されてから、反復を必要としない数値解法が発見されるまで 332 年以上が経っていますが、その間ほぼずっと、幾何学的な解法が存在していました。これには何か説明があるのでしょうか。その説明は、 3 つの吸引点に向かう 3 つのベクトルの原点が一致しない可能性にあります。それらの原点が一致し、最適な場所Pにある場合、 A、 B、 Cに向かうベクトルと、 △ ABC位置三角形の辺は、6 つの角度∠1、 ∠2、 ∠3、 ∠4、 ∠5、 ∠6を形成し、 3 つのベクトルは∠ α _A、 ∠ α _B、 ∠ α _C角度を形成します。 6 つの未知数 (角度∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6 ) と 6 つの既知の値 (値が与えられている角度∠ A、∠ B、∠ Cと、A 、B 、C の引力点に向かう 3 つの引力の相対的な大きさにのみ依存する角度∠ α _A、∠ α _B、∠ α _C ) を関連付ける次の 6 つの方程式を書くのは簡単です。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\angle 1+\angle 2&=\angle C;\\\angle 3+\angle 4&=\angle A;\\\angle 5+\angle 6&=\angle B;\\[4pt]\angle 1+\angle 6+\angle \alpha _{A}&=180^{\circ };\\\angle 2+\angle 3+\angle \alpha _{B}&=180^{\circ };\\\angle 4+\angle 5+\angle \alpha _{C}&=180^{\circ }.\end{aligned}}}$$

残念ながら、6 つの未知数を持つ 6 つの同時方程式のシステムは未確定であり、3 つの吸引点に向けられた 3 つのベクトルの原点が一致しない可能性がその理由を説明します。一致しない場合は、6 つの方程式すべてがまだ有効であることがわかります。ただし、三角形内に存在する三角形の穴のために、最適な位置P は消えています。実際、Tellier (1972) ^[8]が示し​​たように、その三角形の穴は、Simpson の幾何学的解で描いた「力の三角形」とまったく同じ比率でした。

この問題を解くには、6 つの連立方程式に、位置三角形の中央に三角形の穴があってはならないという 7 番目の要件を追加する必要があります。つまり、3 つのベクトルの原点が一致している必要があります。

テリエによるフェルマーとウェーバーの三角形問題の解決には、次の 3 つのステップが含まれます。

1. 3 つの引力w _A、 w _B、 w _{C が}互いに打ち消し合って平衡を保つような角度∠ α _A、 ∠ α _B、 ∠ α _Cを決定します。これは、次の独立した方程式を使用して行います。$${\displaystyle {\begin{aligned}\cos \angle \alpha _{A}=-{\frac {w_{B}^{2}+w_{C}^{2}-w_{A}^{2}}{2\,w_{B}w_{C}}};\\\cos \angle \alpha _{B}=-{\frac {w_{A}^{2}+w_{C}^{2}-w_{B}^{2}}{2\,w_{A}w_{C}}};\\\cos \angle \alpha _{C}=-{\frac {w_{A}^{2}+w_{B}^{2}-w_{C}^{2}}{2\,w_{A}w_{B}}};\end{aligned}}}$$
2. 角度∠3の値を決定します（この式は、点Dが点Eと一致しなければならないという要件から導き出されます）。ここで$${\displaystyle \tan \angle 3={\frac {k\sin k'}{1+k\cos k'}};}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}k&={\frac {\overline {CB}}{\overline {CA}}}\times {\frac {\sin \angle \alpha _{B}}{\sin \angle \alpha _{A}}},\\[4pt]k'&=(\angle A+\angle B+\angle \alpha _{C})-180^{\circ }.\end{aligned}}}$$
3. ∠3がわかっている次の連立方程式を解きます。$${\displaystyle {\begin{aligned}\angle 1+\angle 2&=\angle C;\\\angle 3+\angle 4&=\angle A;\\\angle 5+\angle 6&=\angle B;\\[4pt]\angle 1+\angle 6+\angle \alpha _{A}&=180^{\circ };\\\angle 2+\angle 3+\angle \alpha _{B}&=180^{\circ };\\\angle 4+\angle 5+\angle \alpha _{C}&=180^{\circ }.\end{aligned}}}$$

Tellier (1985) ^{[9] は}フェルマー・ウェーバー問題を反発力の場合に拡張した。2つの引力w _{A 1}、w _{A 2}と1つの反発力w _Rがある三角形の場合を考えてみよう。ここでも前の場合と同様に、3つのベクトルの原点が一致しない可能性がある。したがって、解法ではそれらの一致が必要となる。この問題に対する Tellier の三角法による解は次のようになる。

1. 角度∠eを決定します。$${\displaystyle \cos \angle e=-{\frac {w_{A1}^{2}+w_{A2}^{2}-w_{R}^{2}}{2\,w_{A1}w_{A2}}};}$$
2. 角度∠pを決定します。$${\displaystyle \cos \angle p=-{\frac {w_{A1}^{2}+w_{R}^{2}-w_{A2}^{2}}{2\,w_{A1}w_{R}}};}$$
3. 角度∠cを決定します。$${\displaystyle \angle c=180^{\circ }-\angle p;}$$
4. 角度∠dを決定します。$${\displaystyle \angle d=\angle e-\angle c;}$$
5. 角度∠3の値を決定します（この式は、点Dが点Eと一致しなければならないという要件から導き出されます）。ここで$${\displaystyle \tan \angle 3={\frac {x}{y}};}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\sin \angle f-{\frac {\overline {RA_{1}}}{\overline {RA_{2}}}}\times {\frac {\sin \angle d\sin(\angle e-\angle b)}{\sin \angle c}};\\[4pt]y&={\frac {\overline {RA_{1}}}{\overline {RA_{2}}}}\times {\frac {\sin \angle d\cos(\angle e-\angle b)}{\sin \angle c}}-\cos \angle f;\end{aligned}}}$$
6. ∠1を決定する:$${\displaystyle \angle 1=180^{\circ }-\angle e-\angle 3;}$$
7. ∠5を決定する:$${\displaystyle \angle 5=180^{\circ }-\angle b-\angle c-\angle 1;}$$
8. ∠2を決定する:$${\displaystyle \angle 2=\angle a-\angle 5.}$$

力の数が3より多い場合、位置ポリゴンの幾何学的形状を考慮せずに、さまざまな力を隔てる角度を決定することはできなくなります。幾何学的および三角法は、その場合無力になります。このような場合には、反復最適化法が使用されます。KuhnとKuenne (1962) ^[10]は、重み付けされていない問題に対してワイスフェルトのアルゴリズムを一般化した、反復的に再重み付けされた最小二乗法に基づくアルゴリズムを提案しました。彼らの方法は、多くの力が関係するフェルマー問題とウェーバー問題には有効ですが、引力-反発力問題には有効ではありません。この方法では、距離の加重和を最小化する 点yへの近似値を見つけるために、 解y ₀への初期近似値が求められ、その後、アルゴリズムの各段階で、入力点の 初期重みw _iを各点から前段階の近似値までの距離で割った加重二乗距離の合計を最小化する点に y _{j + 1 を}設定することで、最適解に近づきます。加重最小二乗問題に対する唯一の最適解として、各連続近似値は加重平均として求められる場合があります。 $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}w_{i}\,\|x_{i}-y\|,}$$$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{\|x_{i}-y_{j}\|}}\|x_{i}-y\|^{2}}$$$${\displaystyle y_{j+1}={\frac {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}x_{i}}{|x_{i}-y_{j}|}}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{|x_{i}-y_{j}|}}}}}$$

ヴァリニョンフレームはウェーバー問題の実験的な解決策を提供します。

引力-反発力問題に関しては、代わりにChen、Hansen、Jaumard、Tuy（1992）によって提案されたアルゴリズムに頼る必要があります。^[11]

空間経済学の世界では、反発力はどこにでも存在します。土地の価値は、その主な例証です。実際、農村と都市の両方における土地価値理論のかなりの部分は、次のように要約できます。

誰もが単一の魅力ポイント（田舎の市場または都市の中心業務地区）に惹かれる場合、中心に拠点を構えようとするさまざまな入札者間の競争により、土地の価値が生み出され、システムの固有の魅力ポイントが土地の価値の観点から反発ポイントに変わり、均衡状態では、各住民と活動は、中心から彼らに及ぼされる魅力と反発の力が相殺されるポイントに配置されることになります。

テリエ問題は、新経済地理学の出現に先立つものでした。オッタヴィアーノとティッセ（2005）^[12]は、これを1990年代に発展し、 2008年にポール・クルーグマンにノーベル経済学賞をもたらした新経済地理学（NEG）の前兆と見ています。引力の概念は、NEGの集積や求心力の概念に似ており、斥力の概念は、NEGの分散や遠心力の概念に似ています。

• Chen, Pey-Chun、Hansen, Pierre、Jaumard, Brigitte、Hoang Tuy、1992、「Weber の引力と反発力に関する問題」、Journal of Regional Science 32、467–486。
• Kuhn, Harold W. および Robert E. Kuenne、1962、「空間経済学における一般化ウェーバー問題の数値解法のための効率的なアルゴリズム」Journal of Regional Science 4、21–34。
• オッタヴィアーノ、ジャンマルコ、ジャック・フランソワ・ティッセ、2005年、「新しい経済地理学：Nについてはどうか？」、環境と計画A 37、1707-1725。
• シンプソン、トーマス、1750年、「フラクシオンの教義と応用」、ロンドン。
• Tellier、Luc-Normand、Boris Polanski、1989、「ウェーバー問題: さまざまな解の種類の頻度と反発力および動的プロセスへの拡張」、Journal of Regional Science、第 29 巻、第 3 号、387 ～ 405 ページ。
• Tellier, Luc-Normand、1972、「ウェーバー問題：解決と解釈」、地理分析、第4巻、第3号、215〜233ページ。
• Tellier、Luc-Normand、1985 年、空間経済: 合理性と空間習慣、シクーティミ、ガエタン モラン編集、280 ページ。
• Tellier、Luc-Normand、2013 年、«付録 1: Solution géométrique du cas triangulaire du problème d'attraction–répulsion »、ピエール・ハンセン、クリストフ・マイヤー、リュック・ノルマン・テリエの論文の付録、« Modeles Topodynamique et de la Nouvelle économie地理 : 互換性、収束と前衛の比較 »、Marc-Urbain Proulx (編)、2013、Sciences du territoire II : 方法論、ケベック州、ケベック大学出版局。
• Weber、Alfred、1909 年、Über den Standort der Industrien、Tübingen、JCB Mohr) — 英語翻訳: The Theory of the Location of Industries、シカゴ、シカゴ大学出版局、1929 年、256 ページ。
• ウェソロフスキー、ジョルジュ、1993、「ウェーバー問題：歴史と展望」、ロケーションサイエンス、第1巻、p.5-23。

• 「ウェーバー問題」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]