ナポレオンの定理

幾何学において、ナポレオンの定理は、任意の三角形の辺上に、すべて外側またはすべて内側に正三角形を作図すると、それらの正三角形の中心を結ぶ線自体が正三角形を形成すると 述べています。

このようにして形成された三角形は、内側ナポレオン三角形または外側ナポレオン三角形と呼ばれます。外側ナポレオン三角形と内側ナポレオン三角形の面積の差は、元の三角形の面積に等しくなります。

この定理はナポレオン・ボナパルト（1769-1821）の名に帰せられることが多い。フランス皇帝の死後4年後の1825年、W・ラザフォードが『淑女の日記』に発表した問題に遡るのではないかと示唆する者もいるが^{[1] [2]}、この定理の結果は1820年10月にダブリン大学で行われた金メダルを争う試験で出された3つの問題で扱われており、一方ナポレオンは翌年の5月に死去している。

上の図では、△ ABC が元の三角形です。 △ AZB、△ BXC、△ CYA は、その辺の外部に構築された正三角形で、点L、M、Nはそれらの三角形の重心です。外側の三角形の定理によれば、三角形△ LMN (緑)は正三角形です。

△ LMNが正三角形であることを確認する簡単な方法は、 MN がAの周りを時計回りに30° 回転し、同じ中心で比が相似になるときにCZになること、およびLNもB の周りを反時計回りに 30° 回転し、同じ中心で比が相似になるときにCZになることを観察することです。それぞれの螺旋相似性^[3]は⁠ ⁠つまり、 MN = LNであり、それらの間の角度は 60° でなければなりません。^[4]${\displaystyle {\sqrt {3}}}$${\displaystyle {\sqrt {3}}}$${\displaystyle A({\sqrt {3}},-30^{\circ }),\ B({\sqrt {3}},30^{\circ }).}$

実際にこの定理の証明は数多くあり、合成（座標フリー）証明^{[5] 、}三角法による証明^[6]、対称性に基づくアプローチ[ ^{7] 、}複素数を使った証明^[6]などがある。

この定理はナポレオンに帰せられることが多いが、この問題に関していくつかの論文が書かれており^{[8] [9]、}この主張に疑問を投げかけている（Grünbaum 2012を参照）。

次の記述は、1825 年の婦人日記の 47 ページに掲載されています (つまり、1824 年後半、ダブリンの試験問題が編集されてから 1 年ほど後のことです)。これはナポレオンの定理が印刷物に登場した最初の例であり、ナポレオンの名前は記載されていません。

VII. Quest.(1439); W. Rutherford氏、ウッドバーン著。

「任意の三角形△ ABCの 3 辺に正三角形 (頂点がすべて外側またはすべて内側) を描きます。すると、これら 3 つの正三角形の重心を結ぶ線が正三角形を構成します。証明が必要です。」

ウィリアム・ラザフォードは非常に有能な数学者であったため、彼が自分自身で証明できたはずの定理の証明を求めた動機は不明です。おそらく彼は同僚への挑戦としてその質問をしたのでしょう、あるいは、その回答によってより洗練された解決法が得られることを期待したのかもしれません。しかし、 1820 年代のレディース ダイアリーの次号を読むと、編集者が毎年さまざまな問題を掲載することを目指していたことは明らかで、その中には初心者の練習に適した問題も含まれていました。

明らかに、質問にも、1年後の1826年に発表された公開された回答にもナポレオンへの言及はないが、編集者が明らかにいくつかの提出物を省略した。また、印刷された解答の後の解答者名簿にラザフォード自身は登場しないが、数ページ前の集計から、彼が解答を提出したことは明らかであり、ウッドバーン校の彼の生徒や仲間の何人かも、公開された解答の最初のものを含めて提出した。実際、今日知られているウッドバーン問題解決グループは、当時は十分に知られており、ノーサンバーランド州の歴史的、地理的、記述的見解...（第2版第2巻、123〜124ページ）に取り上げられている。この結果がナポレオンの定理として初めて言及されたのは、1911年に出版されたファイフォファーの『幾何学要理』第17版であると考えられていたが、^[10]ファイフォファーは実際にはそれより少し前の版でもナポレオンについて言及している。しかし、これは議論の余地がない。なぜなら、1867年までにナポレオンの名前がこの文脈で百科事典に記載されているからだ。ファイフォファーに関して歴史的にさらに興味深いのは、彼が以前の版で使用していた問題である。これは、トーマス・モスが1754年にレディース・ダイアリーで提起した、与えられた三角形に最大の正三角形を外接させるという古典的な問題であり、翌年ウィリアム・ベヴィルが解いたものの中に、ナポレオンの定理の萌芽が容易に見いだせるだろう。この2つの結果は、少なくともその後100年間、人気のある年鑑の問題ページで交互に登場した。ホンスバーガーが1973年にMathematical Gemsで独自の目新しい考えを提案したとき、彼は実際にはこの膨大な、たとえ非公式ではあったとしても文献の一部を要約していたのである。

ピタゴラスの定理の一般的な変形、つまり三角形の辺に正方形を置くという定理は、正三角形を三角形の辺に置くというものだったことを思い出すのもいいかもしれない。正方形でできることを正三角形でできるだろうか。たとえば、直角三角形の場合、斜辺にあるものを脚にあるものに分解できるだろうか。著者たちがユークリッドの風車や花嫁の椅子の他の特性について繰り返し検討したのと同じように、正方形を正三角形に置き換えた同等の図は注目を集め、注目を集めた。おそらくこの点で最も壮大な取り組みは、 1864年の淑女と紳士の日記に掲載されたウィリアム・メイソンの「Prize Question」であり、翌年にはその解答と解説が約15ページに及んだ。 1704 年にレディース ダイアリー、1741 年にジェントルマン ダイアリーの掲載が開始されたこの由緒ある媒体は、その頃には廃れつつありましたが、エデュケーショナル タイムズではこの種の問題が1900 年代初頭まで続きました。

1820年10月にダブリン大学一般​​試験の金メダル受験者試験の2日目の朝に出題された幾何学の問題には、次の3つの問題が出題されます。

質問 10. 与えられた三角形A、B、D の辺上に 3 つの正三角形が描かれ、その中心C、C'、C"を結ぶ線は正三角形を形成します。 [添付の図は、正三角形を外側に配置した様子を示しています。]

質問 11. 3 つの正三角形を最後の図のように作図すると、その中心を結ぶ線も正三角形を形成します。 [添付の図では、正三角形が内側に並んでいます。]

質問 12. 与えられた三角形の面積とこれら 2 つの正三角形の面積の関係を調べます。

これらの問題は、

• ダブリン問題：1816年から1822年までの一般試験の金メダル候補者に出された問題集。1823年のフェローシップ試験の記録がこれに続く（G. and WB Whittaker、ロンドン、1823年）^[11]

1829 年のGentleman's Diary; or Mathematical Repositoryの質問1249 (つまり 1828 年後半に登場) がこのテーマを取り上げており、その翌年の号に解答が掲載されています。解答者の 1 人であるTS Davies は、その年の質問 1265 で結果を一般化し、翌年、1826 年にPhilosophical Magazineに寄稿していた論文を基にして独自の解答を発表しました。この資料には、上記の資料への相互参照はありません。ただし、上で触れたように、少なくとも 1750 年代半ば (Moss) にまで遡り、1860 年代半ば (Mason) まで続く、人気のある年鑑の問題ページには、関連する興味深い項目がいくつかあります。

偶然にも、ナポレオンの名前は、 1867 年という早い時期に、チェンバーズの百科事典のような参考書の中でこの結果に関連して言及されています(第 9 巻、三角形の項目の終わり近く)。

三角形のもう一つの注目すべき性質は、ナポレオン問題として知られているもので、任意の三角形に3つの正三角形を描き、これら3つの重心を結んだ場合、こうして形成された三角形は正三角形であり、その重心は元の三角形の重心と一致するというものである。^[12]

しかし、この結果は少なくとも1834年までに証明付きで教科書に掲載されていた（ジェームズ・トムソンのユークリッド、pp. 255-256 ^[13]）。トマソンは末尾の注（p. 372）で次のように付け加えている。

この奇妙な命題は、1823 年に出版された『ダブリン問題』以外では見たことがありません。『ダブリン問題』では、この命題は説明なしに挿入されています。

第2版​​（1837年）では、トムソンはベルファストの元学生からの証拠を添えて脚注を拡張しました。

以下は、数学の探求において素晴らしい趣味と才能を持った私の元教え子であるベルファストのアダム・D・グラスゴー氏による、非常に簡単で簡潔な証明の概要です。

したがって、トムソンは、 1825 年のレディース ダイアリーや 1829 年のジェントルマン ダイアリーに問題が掲載されたことに気付いていないようです(JS マッケイは、前者については言及しながら、後者のダブリン問題への言及については気付かなかったのと同じです。アメリカ数学月刊誌の読者は、1920 年 1 月号のRC アーチボルドによるジェントルマン ダイアリーの質問 1249 へのポインター、p. 41、脚注 7 を参照できます。ただし、1826 年のレディース ダイアリーに最初に公開された解答は、アーチボルドでさえ優先順位の問題に関しては全知ではなかったことを示しています)。

内側と外側のナポレオン三角形の中心は両方とも、元の三角形の重心と一致している。この一致は、上で引用したように、1867 年の Chambers の百科事典で言及されている。そこの項目には署名がない。当時エディンバラ大学の自然哲学教授であったPG Taitが寄稿者の一人として挙げられているが、同じくエディンバラ大学の数学講師である JU Hillhouse が、百科事典の正規スタッフと長期または短期にわたって関わりのある他の文学紳士の中に名を連ねている。しかし、 1867 年のAn Elementary Treatise on Quaternions ^[14]のセクション 189(e) で、Tait はこの問題を扱っている (実際には、1831 年の Gentleman's Diary での質問 1265 に関する Davies の発言を、今度は四元数の設定で繰り返している)。

三角形の各辺の中点に、それぞれ対応する辺に比例する垂線を外側に立てると、その両端の中点は元の三角形の中点と一致します。新しい三角形が正三角形になるためには、各垂線と古い三角形の対応する辺の半分の比を求めます。

テイトは、正三角形の平均点を任意の三角形の辺の外側に立てると、正三角形が形成されると結論付けました。この議論は、1873年と1890年のその後の版、および1873年にフィリップ・ケランドと共同で執筆した「四元数入門」 ^[15]にも引き継がれています。

面積△の三角形の内側のナポレオン三角形の面積は

$${\displaystyle {\text{面積(内側)}}=-{\frac {\triangle }{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{24}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 0,}$$

ここで、a、b、cは元の三角形の辺の長さであり、ヴァイツェンベックの不等式により、元の三角形が正三角形である場合にのみ等しくなります。しかし、代数的な観点から^[16]、内側の三角形は「逆行」しており、その代数的面積はこの式の負になります。^[17]

ナポレオン三角形の外側の面積は^[18]

$${\displaystyle {\text{面積(外側)}}={\frac {\triangle }{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{24}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}).}$$

解析的に^[6]、ナポレオン三角形の外側の3辺の長さはそれぞれ $${\displaystyle {\text{Side(outer)}}={\sqrt {{a^{2}+b^{2}+c^{2} \over 6}+{{\sqrt {(a+b+c)(a+bc)(a-b+c)(-a+b+c)}} \over {2{\sqrt {3}}}}}}.}$$

後者の2つの式の関係は、正三角形の面積は辺の長さの2乗に等しいということである。${\displaystyle {\sqrt {3}}/4.}$

任意のn角形A ₀の辺に頂点角⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {2k\pi }{n}}}$を持つ二等辺三角形を立て、このプロセスを三角形の自由頂点によって形成されるn角形に対してkの値を変えて繰り返し、すべての値1 ≤ k ≤ n − 2が使用されるまで（任意の順序で）続けると、重心がA ₀の重心に一致する正n角形A _{n −2}が形成される。^[19]

n角形Pの辺上に構築された正n角形の中心は、 Pが正n角形のアフィン像である場合にのみ、正n角形を形成します。^{[20] [21]}

六角形A ₁ A ₂ A ₃ A ₄ A ₅ A ₆の各辺に内側または外側に正三角形が描かれ、正三角形の頂点にB _{i という}ラベルが付けられているとする。G ₁、G ₃、G ₅がそれぞれ△ B ₆ B ₁ B ₂、 △ B ₂ B ₃ B ₄、 △ B ₄ B ₅ B ₆の重心である場合、G ₁、G ₃、G _{5 は}正三角形を形成します。^[22 ]

Daoの最初の一般化：正三角形∆のABG、DHC、IEFが、AB、CD、EFの各辺に内側または外側に交互に構築された六角形ABCDEFが与えられます。A ₁、B ₁、C ₁をそれぞれ∆FGC、∆BHE、∆DIAの重心とし、A ₂、B ₂、C ₂をそれぞれ∆DGE、∆AHF、∆BICの重心とします。すると、∆A ₁ B ₁ C ₁と∆A ₂ B ₂ C ₂は正三角形です。^[23]（たとえば、点AとF、BとC、DとEが一致すると、Dao Than Oaiの結果はナポレオンの定理に帰着します）。

Dao の 2 番目の一般化:三角形 が 、底角 ですべて外側またはすべて内側にある3 つの相似な二等辺三角形 BA 0 _C、CB ₀ A、AC ₀ B を作成します。点 A ₁、B ₁、C ₁、A ₂、B ₂、C ₂が次の 光線上にあるとします。${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle {\overrightarrow {AA_{0}}},{\overrightarrow {BB_{0}}},{\overrightarrow {CC_{0}}}}$${\displaystyle {\frac {\overline {AA_{1}}}{\overline {AA_{0}}}}={\frac {\overline {BB_{1}}}{\overline {BB_{0}} }}={\frac {\overline {CC_{1}}}{\overline {CC_{0}}}}={\frac {2}{3-{\sqrt {3}}\tan \alpha }}}$${\displaystyle {\frac {\overline {AA_{2}}}{\overline {AA_{0}}}}={\frac {\overline {BB_{2}}}{\overline {BB_{0}}}}={\frac {\overline {CC_{2}}}{\overline {CC_{0}}}}={\frac {2}{3+{\sqrt {3}}\tan \alpha }}}$

すると、2つの三角形A ₁ B ₁ C ₁とA ₂ B ₂ C _2は正三角形となる^[24]

ダオの3番目の一般化：ABCを三角形とし、Fを第1（または第2）フェルマー点とし、Kをキーパート双曲線上の任意の点とする。Pを線分FK上の任意の点とする。Pを通りBCに垂直な線はAKとA ₀で交わる。B ₀、C _0を循環的に定義すると、A ₀ B ₀ C _0は正三角形となる。^[25]

• ナポレオンポイント
• ルモワンヌの問題
• ナポレオンの問題
• ヴァン・オーベルの定理

• Coxeter, HSM ; Greitzer, SL (1967). Geometry Revisited . New Mathematical Library . Vol. 19.ワシントン D.C. : Mathematical Association of America . pp. 60–65. ISBN 978-0-88385-619-2.ZBL0166.16402  。​
• グリュンバウム、ブランコ (2012)、「ナポレオンの定理は本当にナポレオンの定理か?」アメリカ数学月刊誌、119 (6): 495–501、doi :10.4169/amer.math.monthly.119.06.495、S2CID  42928783、Zbl  1264.01010
• Wetzel, John E. (1992 年 4 月). 「ナポレオンの定理の逆」(PDF) . The American Mathematical Monthly . 99 (4): 339–351. doi :10.2307/2324901. JSTOR  2324901. Zbl 1264.01010. 2014 年 4 月 29 日の オリジナル(PDF)からアーカイブ。

ウィキメディア・コモンズには、ナポレオンの定理に関連するメディアがあります。

• ナポレオンの定理と一般化、Cut-the-Knotにて
• 建設現場を見るには、instrumenpocheへ
• Jay Warendorff 著「ナポレオンの定理」、Wolfram デモンストレーション プロジェクト。
• Weisstein, Eric W.「ナポレオンの定理」。MathWorld。
• ナポレオンの定理といくつかの一般化、バリエーション、逆定理（Dynamic Geometry Sketches より）
• ナポレオンの定理、2つの簡単な証明
• Alvy Ray Smithによる「三角形上の無限正六角形シーケンス (ナポレオンの定理の一般化)」。

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